数学与应用数学毕业论文(设计)-一元函数极限的求法.doc

编号：07005110239 南阳师范学院 2011 届毕业生 毕业论文（设计） 题 目： 一元函数极限的求法 完 成 人： 班 级： 2007- 02 学 制： 4 年 专 业： 数学与应用数学 指导教师： 完成日期： 2011-03-9 目 录 摘要 （1） 0 引言 （1） 1 利用初等函数的连续性求函数极限（直接代入法） .（1） 1.1 连续的性质 （1） 2 利用函数极限的四则运算求函数极限 .（2） 2.1 直接运用法则 （2） 2.2 间接运用法则利用恒等变形化简表达式，然后再用四则运算 （2） 2.2.1 约分法.（2） 2.2.2 通分法.（3） 2.2.3 根式有理化法.（3） 2.2.4 分子分母同除以无穷大量或根据结论求之.（3） 3 利用迫敛性求函数极限 .（4） 4 利用两个重要极限公式求函数极限 .（4） 5 利用无穷小量的性质求函数极限 .（5） 6 利用替换法函数极限.（6） 6.1 变量替换 （7） 6.2 等价无穷小量替换 （7） 6.2.1 定理.（7） 6.2.2 常见的等价无穷小量.（7） 6.3 泰勒公式的等价量代换麦克劳林展式 （8） 7 利用洛必达法则求函数极限 .（1） 7.1 定理 （9） 7.2 对于型或型直接使用法则 .（10） 0 0 8 利用对数运算求函数极限 .（1） 9 利用极限的定义验证极限 .（1） 9.1 极限的“”定义 .（5） 10 利用导数的定义求函数极限 （1） 10.1 导数的定义 .（5） 11 利用左右极限法求函数极限 （1） 12 利用定积分的定义求函数极限 （1） 13 利用级数收敛的必要条件求函数极限 .（15） 13.1 级数收敛的必要条件 （15） 14 利用微分中值定理和积分中值定理求函数极限 .（15） 14.1 拉格朗日中值定理 （15） 14.2 积分中值定理 .(16） 15 总结.（17） 参考文献（17） abstract .（18） 第 1 页 共 18 页 一元函数极限的求法一元函数极限的求法 作 者： 指导教师： 摘要：本文对一元函数极限的常见求法进行了归纳总结，并在某些具体求解方 法就其中要注意的细节和技巧做了说明，以便我们了解函数的各种极限，以及对 各类函数极限进行计算. 关键词：一元函数；极限；求法 0 引言 一元函数极限的计算是“高等数学”基本计算之一。为了能熟练 准确地计算各种极限，就必须掌握其各种极限的求法，解题时要针 对不同函数极限的特点采用相应的求法，同时还要注意每种求解方 法的适应范围，这样才能达到事半功倍的效果。. 1 1 利用初等函数的连续性求函数极限（直接代入法） 1.1 连续的性质8 如果 是初等函数的定义区间内一点，则， x ( )f x 0 0 lim xx f xf x 如果点 是初等函数的可去间断点，那么由复合函数连续性 x ( )fx 可知： 0 0 lim xx fxfx 例 1 求 0 limln 15 x x exx 解：= 0 limln 15 x x exx 0 ln 1 005e 6 例 2 求 1 0 lim1 x x x 解：因为是可去间断点0x 所以 1 0 lim1 x x x 1 0 lim 1 x x xe 第 2 页 共 18 页 2 2 利用函数极限的四则运算法求函数极限 极限四则运算法则的条件是充分非必要的，因此，利用极限四 则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否 满足极限四则运算法则的条件，满足条件者，方能利用极限四则运 算法则求之；不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。 但是，并非不满足四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需要 将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则 求之。 为了叙述方便把自变量的某个变化过程略去不写，用记号 表示在某个极限过程中的极限，因此，极限的四则运算 lim f x f x 法则可确切地叙述如下： 定理定理1 1 在同一变化过程中，设，都存在 lim f x limg x 则（1） limlimlimf xg xf xg x （2） limlimf xg xf xg x （3）当分母时，有 lim0g x lim lim lim f xf x g xg x 2.1 直接运用法则 例例 3 3 求 2 2 0 1 lim 21 x x xx 解： 2 2 00 22 0 000 limlim1 10 1 lim1 21lim2limlim100 1 xx x xxx x x xxxx 2.2间接运用法则利用恒等变形化简表达式，然后再用四则运算 法则求极限 2.2.1 约分法 例例 4 4 求 3 2 1 1 lim 1 x x x 第 3 页 共 18 页 分析：由于当时，。因此，不符合1x 3 10x 2 10x 3 2 1 1 lim 1 x x x 四则运算法则条件，需进行恒等变形：即消去当时，分子、分1x 母为0的因子后方可利用极限四则运算法则求之。1x 解： 2 32 2 111 11 113 limlimlim 11112 xxx xxx xxx xxxx 2.2.2 通分法 例例 5 5 求 2 1 21 lim 11 x xx 分析：当时，因此，不符1x 2 2 1x 1 1x 2 1 21 lim 11 x xx 合四则运算法则条件，需要进行恒等变形再求之。 解： 22 111 212111 limlimlim 111112 xxx xx xxxxx 22.3 根式有理化法：分子或分母有理化 例例 6 6 求 4 123 lim 2 x x x 分析：当时，分子，分母，因此4x 1230x20x 不符合四则运算法则条件，需进行恒等变形再求之。 4 123 lim 2 x x x 解： 444 22242 2412324 limlimlim 4321231231 83 xxx x xxx xxxx 2.2.4 分子分母同除以无穷大量或根据结论求之 1 01 1 0 01 lim nn n mm x m a xa xa b xb xb 0,mn 0 0 , a mn b ,mn 第 4 页 共 18 页 例 7 求 2 3 11 lim 65 x xx xx 解： 2 32 33 11 11 limlim 65656 xx xx xxx xxxx 3 利用迫敛性求函数极限3 定理定理2 2 设，且在某内有 00 limlim xxxx f xg xa 0; ux ，则 f xh xg x 0 lim xx h xa 例 8 求 cos lim x xx x 解：因为，所以当时，1cos1x 0x 11cos11 11 xxxx xxxxx 而， 11 lim 1lim 11 xx xx 由迫敛性定理得， cos lim1 x xx x 4 利用两个重要极限公式求函数极限 4.1 0 sin lim1 x x x 例例 9 9 求 0 sin2 lim x x x 解： 00 sin2sin2 limlim22 2 xx xx xx 4.2 或 1 lim 1 x x e x 1 0 lim 1 x x xe 例例 1010 求 1 0 lim 1 x x x 第 5 页 共 18 页 解：令，则当时，ux 0x 0u 因此 11 00 1 lim 1lim 1 xu xu xu e 5 利用无穷小量的性质求函数极限2 5.1 相关性质 （1）设在某内有定义。若，则称为当 f x 0 ux 0 lim0 xx f x f x 时的无穷小量。 0 xx （2）有限个无穷小量的代数和为无穷小量。 （3）有限个无穷小量的差为无穷小量。 （4）有限个无穷小量的乘积为无穷小量。 （5）有界函数与无穷小量的乘积为无穷小量。 （6）无穷大量的倒数是无穷小量。 例例 1111 求 sin lim x x x 分析：因为不存在，不能直接使用运算法则，故必须先将函limsin x x 数进行恒等变形。 解: ,因为当时，即是当时 sin1 limlimsin xx x x xx x 1 0 x 1 x x 的无穷小，而，即是有界函数，由无穷小量的性质得 sin1x sin x sin lim0 x x x 例例 1212 求 22 32 342 lim 753 x xx xx 第 6 页 共 18 页 解： 22 3 32 3 12 34 3423 limlim 53 7537 7 xx xx xx xx xx 6利用替换法求函数的极限 6.1变量替换 例例 1313 求lim 1 x x x x 解：令，当时，xtx t 故 2 1 2 11 limlimlimlim 111 1111 t xttt xttt xttt ee xttttt 6.2 等价无穷小量替换 6.2.1 定理定理 3 3：设，是某一变化过程中的无穷小量，且 11 , ,f f g g ，若存在，则 11 ,ff gg:lim f g 1 1 limlim ff gg 6.2.2 常见的等价无穷小量 时 0x sin xx:tan xx:ln 1xx: arcsin xx:arctan xx: 2 1 cos 2 x x: 1 x ex :1ln x axa : 在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限 式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替换，而对极限式中 的相加或相减部分则不能随意替换，否则，将导致的出错误的结果。 第 7 页 共 18 页 例例 1414：求 2 0 1 lim tan x x e x 解：当时，0x 2 2 1 x ex :tan xx: 故 2 2 00 1 limlim0 tan x xx ex xx 例例 1515：求 3 0 tansin lim sin x xx x 解：由于 ，而时 sin tansin1 cos cos x xxx x 0x ，sin xx: 2 1 cos 2 x x: 33 sin xx: 故有 2 33 00 tansin11 2 limlim sincos2 xx x x xx xxx 6.3 泰勒公式的等价代换麦克劳林展式1 6.3.1 泰勒定理 定理定理 4 4：若函数在 存在 阶导数，则 f xan xua 有（1） n n f xtxxa o 其中 “ 2 1!2! n n n faff txf axaxaxa n ，即是的高阶无穷小。（1）式称为 o n n rxxa n rx n xa 在 处展开的泰勒公式。 f xa 当时（函数在0处存在 阶导数），（1）式可化为：0a f xn 此式被称为麦克劳林公式 00 0o 1! n nn ff f xfxxx n 6.3.2 常见函数的麦克劳林公式 （1） 2 1o 2! n xn xx exx n 第 8 页 共 18 页 （2） 3521 1 2 sin1o 3!5!21 ! m m m xxx xxx m （3） 242 21 cos11o 2!4!2! m m m xxx xx m （4） 23 1 ln 11o 23 n n n xxx xxx n （5） 2 111 11o 2! nn n xxxxx n （6） 2 1 1o 1 nn xxxx x 例例 1616：求 2 2 4 0 cos lim x x xe x 解：因为 24 5 cos1o 224 xx xx 2 24 5 2 1o 28 x xx ex 而 2 4 5 2 coso 12 x x xex 故求得 2 45 2 44 00 1 o cos1 12 limlim 12 x xx xx xe xx 7 利用洛必达法则求函数的极限7 为了下文叙述简便把两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限 统称为不定式极限。记作： 型或型 0 0 7.1 定理定理 5 5（ 型）：若函数和满足： 0 0 f x g x （1） 00 limlim0 xxxx f xg x 第 9 页 共 18 页 （2）在点的空心领域内两者都可导，且 0 x 0 ux 0gx （3） （可为实数，也可为或） 0 lim xx fx a gx a 则 00 limlim xxxx f xfx a g xgx 定理定理 6 6（型）：若函数和满足： f x g x （1） 00 limlim xxxx f xg x （2）在的某右领域内两者都可导，且 0 x 0 ux 0gx （3）（可为实数，也可为或） 0 lim xx fx a gx a 则 00 limlim xxxx f xfx a g xgx 7.2 对于 型或型直接运用法则 0 0 对于型，型要通过变形为型或 型，再使用法则，0 0 0 对于型，型，型要先取对数变为型，然后再化为型或1 0 0 0 0 型等等。 0 0 如果仍是 型不定式极限，只要有可能，则再次用洛 0 lim xx fx gx 0 0 必达法则，即考察极限是否存在，此时和在的 0 lim xx fx gx fx gx 0 x 某邻域内必须满足定理 4 的条件。 对于不是 型或型时，则通过结合代数运算，等价无穷小代 0 0 换，重要极限等方法，尽力使运算简化。 第 10 页 共 18 页 洛必达法则仅是一个充分性条件的确定商式极限的工具。当满 足条件时，所求的极限存在（或为），但当条件不满足时，不应当 使用这一工具，但这并不等价于极限不存在，因此，必须辩证地理 解商式的分子与分母。 例例 1717：求 2 1 cos lim tan x x x 解： 容易检验与在点的邻域内满足定 1 cosf xx 2 tang xx 0 x 理 5 的条件（1）和（2）， 又因为 2 sincos1 limlimlim 2tan sec22 xxx fxx gxxx 故由洛必达法则得 1 limlim 2 xx f xfx g xgx 例例 1818：求 1 ln2 lim1 x x xx 解：这是一个型不定式极限，作恒等变形得 0 2 ln1 1 ln2 ln 1 xx x x xxe 而 2 2 1 ln1 1 limlim1 ln xx xx x xx 于是有 1 ln2 lim1 x x xxe 第 11 页 共 18 页 例例 1919：求 sin lim sin x xx xx 解： sin 1 sin limlim1 sin sin 1 xx x xx x x xx x 但是不能用洛必达法则来做 不存在，因此，不能用 2 sinsin1 cos limlimlimlimcot sin1 cos2 sin xxxx xxxxxx xxx xx 洛必达法则来计算。 8利用对数运算求函数极限 例例 2020：求 0 lim x x x 解：设，取得对数得 x yxlnlnyxx 因为 0000 2 1 ln lim lnlimlnlimlim0 11xxxx x x yxx xx 所以 ln0 000 limlimlim1 xy xxx xyee 9利用极限的定义验证极限9 9.1 极限的“”定义：设函数在点的某个空心邻域 f x 0 x 内有定义，为定数。若对任给的，存在正数 0; ux a0 第 12 页 共 18 页 ，使得当时，有，则称函数 0 0xx f xa 当 趋于时以为极限。即 f xx 0 xa 0 lim xx f xa 定义法通常适用于求抽象函数的极限，多用于证明。 例例 2121：设，证明 2 4 2 x f x x 2 lim4 x f x 证明：由于当时，2x 2 4 44242 2 x f xxx x 故对给定的，只要取，则当时002x 有，这就证明了。 4f x 2 lim4 x f x 例例 2222：设 ，求 0 lim xx f xa 0 0 lim h f xh 解：因为，则对任意的，存在正数 ，当 0 lim xx f xa 0 0 0xx 时，有，从而当时，有，于 f xa0h 00 0xhx 是 有。故。 0 f xha 0 0 lim h f xha 10利用导数的定义求函数的极限 第 13 页 共 18 页 10.1 导数的定义：设函数在点的某空心邻域内有定义， yf x 0 x 若极限存在，则称函数在处可导，即为 0 0 0 lim xx f xf x xx f x 0 x 0 000 0 0 0 limlim xxx f xf xf xxf x fx xxx : : : 此方法可常常求自变量趋于零的极限，多用于求抽象函数的极限 例例 2323：设存在，求极限 0 fx 00 0 2 lim x f xxf x x : : : 解：因为存在，由导数的定义知 0 fx 00 0 0 lim x f xxf x fx x : : : 故 0000 0 00 22 limlim22 2 xx f xxf xf xxf x fx xx : : : 11利用左右极限法求函数的极限 函数在某点处极限存在的充要条件：可先探求点处的左极 0 x 0 x 限和右极限，当两者存在且相等时，该值即为函数在点处的极限 0 x 值。 此方法多用于求解分段函数的极限 例例 2424：求 0 1 lim x x x 解：表示的整数部分，因此，对任意，都有 1 x 1 x 0x 111 1 xxx 第 14 页 共 18 页 当时，有0x 111 1xxx xxx 即 ，而， 1 11xx x 0 lim 11 x x 0 lim11 x 故 0 1 lim1 x x x 当时，则有0x 111 1xxx xxx 即，而， 1 11xx x 0 lim 11 x x 0 lim11 x 故 0 1 lim1 x x x 综上知，从而 00 11 limlim1 xx xx xx 0 1 lim1 x x x 例例 2525：讨论函数， 当时的极限。1x 解：因为， 11 limlim23 xx f xx 11 limlim 213 xx f xx 即，所以 11 limlim3 xx f xf x 1 lim3 x f x 12利用定积分的定义求函数极限10 由定积分的定义我们知道，定积分是一种和式的极限，因此，如果 关于 的某一和数可以表示成某一积分和形式时，则可以利用定积n ( )f x 2,1xx 21,1xx 第 15 页 共 18 页 分，求出这个和式的极限，显然，若要利用定积分求极限，其关键 在于将和式化成某一函数的积分形式。 例例 2626：求 111 lim 122 n nnn 解： 1 111111111 limlimlim 12 122 1211 n nnn i ni nnnnn nnnn 若令，且将等分为 等份，则每个小区间长度， 1 1 f x x 0,1n 1 x n : 取 为每一小区间的右端点，有： 1 1 0 0 1 111111 limlimln 1ln2 1221 1 n nn i dxx i nnnnx n 13 利用级数收敛的必要条件求函数的极限 13.1 级数收敛的必要条件是：若级数收敛，则，故对 1 n n u lim0 n n u 某些极限，可将函数作为级数的一般项，只须证明此级 lim n f n f n 数收敛，便有。 lim0 n f n 例例 2727：求 lim1 k n n n a a 解：研究级数 ，由于 0 1 k n n n a a 第 16 页 共 18 页 1 1 1 111 limlimlim1 k k n n k nnn n n n un a nunaa a 所以级数 收敛，故 0 1 k n n n a a lim0 k n n n a 14 利用微分中值定理和积分中值定理求函数极限5 14.1 拉格朗日中值定理： 若函数满足下列条件：（1）在闭区间上连续 f x, a b （2）在开区间内可导, a b 则在开区间内至少存在一点 ，使, a b f bf a f ba 14.2 积分中值定理： 如果在连续，在上可积且不变号，则存在， f x, a b g x, a b, a b 使得。 bb aa f x g x dxfg x dx 例例 2828：求 2 limarctanarctan0 1 n aa na nn 解：设，在上用拉格朗日中值定理，得 arctanf xx, 1 aa nn （其中） 2 1 111 aaaa ff nnnn 1 aa nn 第 17 页 共 18 页 故当时，可知：原式=n 0 2 2 1 lim 11 n a na n n 例例 2929：求，其中，为常数， 为自然数。 ln lim 2 n x a xx t dt t 0a n 解：由积分中值定理知，在 与之间存在 ，使xxa lnln 22 nn x a x ta dt t 所以 lnln limlim0 22 nn x a xxx ta dt t 求函数极限的方法较多，本文仅列出了常见的几种。在我们解 题过程中首选的方法就是文中介