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中考状元数学笔记知识点汇总一、实数（一）有理数1、有理数分类：整数正整数/0/负整数 分数正分数/负分数2、数轴：画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴3、相反数 如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。4、倒数 如果两个数之积为1，则称这两个数为倒数5、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。正数的绝对值是他本身/负数的绝对值是它的相反数/0的绝对值是0。 （二）实数1、实数分类：有理数整数/分数无理数(无限不循环小数)2、平方根：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根。一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方。求一个数a的平方根运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。3、算术平方根 如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根4、立方根：如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根。正数的立方根是正数/0的立方根是0/负数的立方根是负数。求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数。5、乘方性质 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。6、实数的运算：加法：同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。一个数与0相加不变。减法： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。任何数与0相乘得0。乘积为1的两个有理数互为倒数。除法：除以一个数等于乘以一个数的倒数。0不能作除数。乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，a叫底数，n叫次数。混合顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减 同级运算，按照从左至右的顺序进行；如果有括号，先小再中后大 运算律： a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) ab=ba (ab)c=a(bc) (a+b)c=ac+bc7、科学记数法: 把一个整数或有限小数表示成a10n 的形式，其中 n是整数。8、近似数 四舍五入法进一法去尾法9、有效数字 从左边第一个不是0的数学起，到末位数字为止，所有的数字都叫这个数的有效数字。如：28.70万有4个有效数字；0.30120有5个有效数字。10、非负数 11、零指数次幂、负指数次幂 二、代数式1、分类：代数式有理式与无理式；有理式整式分式；整式单项式多项式。2、整式概念数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整式。一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。3、整式运算：（1）整式的加减：如果遇到括号先去括号，再合并同类项。整式的乘法：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式。单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。乘法公式：（a+b）（a-b）=a2-b2 (ab) 2=a2 2ab+b2 整式的除法：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式。多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。l幂的运算公式：=;=;=;=;4、分解因式：（1）概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式（2）方法：提公因式法/运用公式法/分组分解法/十字相乘法 （一提二套三分组）5、分式概念及性质：整式a除以整式b，如果除式b中含有分母，那么这个就是分式，（注意：对于任何一个分式，分母不为0）性质10基本性质： 20符号法则：6、分式的运算： 加减法：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式先通分，化为同分母的分式，再加减。乘法：把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。除法：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。7、二次根式性质 运算 加减：化成同类二次根式，再合并。 乘 法 除法： 最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽的因数或因式。同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘积不含有二次根式，则他们互为有理化因式。如：分母有理化：把分母中的根号化去。（方法：分子分母同乘以分母的有理化因式）三、方程（一）一次方程1、概念 等式：用等号连接的两个式子叫等式 方程：含有未知量的等式叫做方程。方程的解：能够使得方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解。一元一次方程：方程化为最简形式后，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程叫一元一次方程。二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程叫二元一次方程。二元一次方程组的解：能使二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值，叫这个二元一次方程的一组解。2、等式性质 等式左右两边都加上或减去同一个数或同一个整式，结果仍然是等式等式左右两边都乘以或除以同一个不为零的数，结果仍然是等式。3、一元一次方程的解法： 去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1（注意：去分母 最小公倍数； 移项 变号）4、二元一次方程组的解法：代入消元法加减消元法。5、列方程解应用题：（1）步骤：审、设、找、列、解、答 （2）类型：和差倍分问题等积变形问题行程问题相遇问题/追及问题/顺逆流问题劳力调配问题工程问题利润率问题数字问题储蓄问题比例分配问题日历中的问题 （二）二次方程1、概念 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程 2、一元二次方程的解法：直接开平方方法因式分解法配方法公式法3、一元二次方程根与系数的关系：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0) 的两个实数根为x1,x2 则有 如：x12+x22=（x1+x2）22 x1x2 4、根的判别式 =b2-4ac 0时，方程有两个不相等的实数根=0时，方程有两个相等的实数根0时，方程没有实数根。（三）分式方程1、定义：分母里含有未知数的方程2、分式方程的解法：（1）思路：将分式方程转化为整式方程，解之并代入公分母中验根。（2）步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、解一元一次方程、验根。3、列分式方程解决实际问题的步骤：审、设、找、列、解、验、答。（不仅要验根还要验是否符合题意）四、不等式及不等式组（一）一元一次不等式1、不等式的定义：用“”、“”、“”、“”等不等号连接的式子。2、不等式的基本性质：如ab，c为实数 则a+cb+c；如ab，c为实数 则a-cb-c 如ab，c0则acbc； 如ab，c0则 如ab，c0则acb，c0k0k0k0k0b0b0则直线的倾斜角为锐角k0直线与y轴的交点在x轴的上方b0k0或x0或x0则开口向上，且图象向上无限伸展；a0则交于y轴的正半轴上；c0时，有两个交点；=0时，有一个交点；0abc），如果ac是线段ab和bc的比例中项，则点c叫作线段ab的黄金分割点，且2、相似多边线 （1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形的对应边的比叫做相似比（或相似系数）（2）性质：相似多边形的周长比等于相似比相似多边形对应的对角线比等于相似比相似多边形中的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比相似多边形的面积比等于相似比的平方。3、相似三角形 （1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形（2）相似三角形所对应的基本图形 （3）性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例 相似三角形的对应中线、角平分线、高的比等于相似比 相似三角形的周长比等于相似比 相似三角形的面积比等于相似比的平方。（4）判定：常见：两角对应相等的两个三角形相似两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似三边对应成比例的两个三角形相似。 特别：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。4、位似图形 （1）概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，可见位似是特殊的相似，其相似比又叫做位似比。（2）性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，利用位似变换可以轻易地将图形放大或缩小。（3）位似图形与相似图形的区别：保持图形的形状不变的几何变换叫做相似变换，位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形不一定是位似图形，利用位似的方法可以把一个多边形放大或缩小。（4）位似图形的画法：先确定位似中心，再过位似中心和每个顶点作直线，在直线的另一侧取原多边形的各顶点的对应顶点，连接各点，即可得到放大或缩小的图形。（注意“放大”与“放大到”的区别）十、解直角三角形1、锐角三角函数（1）定义：锐角a的对边与斜边的比叫做a的正弦，记作 锐角a的邻边与斜边的比叫做a的余弦，记作锐角a的对边与邻边的比叫做a的正切，记作锐角a的正弦、余弦、正切统称为锐角的三角函数。（2）三角函数的函数值及其变化规律当a为锐角时，0sina1,0cosa0一个锐角的正弦、正切值均随着角度的增大而增大，而一个锐角的余弦随着角度的增大而减小。2、特殊角的三角函数304560sin costan 13、三角函数的关系（1）互为余角的三角函数：a为锐角，则有：、（2） 同角三角函数的关系：平方关系：商数关系： 不等关系：当a为锐角时，tanasina4、解直角三角形：直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角（1）解直角三角形的概念：由直角三角形中的两个已知元素（直角除外且其中至少有一个是边），求出其余未知元素的过程，叫解直角三角形。（2）解直角三角形的依据：勾股定理两锐角之间的互余关系边角关系：锐角三角函数的定义 （3）解直角三角形中的四类基本问题已知斜边和一直角边已知斜边和一锐角已知一直角边和一锐角已知两直角边5、解直角三角形的应用（1）内涵：解直角三角形的应用实际上是将实际问题通过图形使之转化到直角三角形中，用锐角三角函数、代数与几何知识综合求解。（2）仰角、俯角、坡角、坡度仰角与俯角：它们都是在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角 坡度与坡角：通常把坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡度，用字母i表示，即 坡度一般写成1:m的形成，坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作，则有 方位角：略十一、四边形梯形 （1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形两条腰相等的梯形叫等腰梯形。一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。（2）等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等、对角线相等（3）等腰梯形的判定：两腰相等的梯形同一底上的两个角相等的梯形对角线相等的梯形平行四边形 （1）定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 （2）性质：平行四边形两组对边分别平行 平行四边形的两组对边分别相等 平行四边形的两组对角分别相等 平行四边形的对角线互相平分。平行四边形关于对角线的交点成中心对称图形 （3）判定：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形矩形 （1）定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（2）性质：矩形的四个角都是直角矩形的对角线相等矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有两条对称轴 （3）判定：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形（四）菱形（1）定义：邻边相等的平行四边形是菱形（2）性质：菱形的四条边都相等菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角菱形的面积等于对角线乘积的一半菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有两条对称轴。（3）判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形。四条边都相等的四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形。正方形 （1）定义：有一组邻边相等并且有一角是直角的平行四边形叫做正方形。性质：正方形的四个角都是直角，四条边都相等正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有四条对称轴。（3）判定：平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角（定义法）矩形+一组邻边相等矩形+对角线互相垂直矩形+一个角为直角菱形+对角线相等十二、圆圆的相关概念1、圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径。2、等圆：半径相等的圆称为等圆 3、弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。4、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。5、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。6、圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另外两个交点的角叫做圆周角。（二）圆的相关性质与定理1、圆的性质：圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线圆是中心对称图形，对称中心为圆心 圆具有旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。2、圆的的确定条件：过一点作圆：以这一点以外的任意一点为圆心，以这两点间的距离为半径即可作出，这样的圆有无数多个过两点作圆：以这两点连线的垂直平分线上的任一点为圆心，以这一点到两个已知点的距离为半径即可作出，过两点可作无数个圆过三点作圆：不在同一条直线上的三点确定一个圆，圆心是每两点连线的垂直平分线的交点，过在同一条直线上的三点则不能作圆。过四点或四点以上的圆：当各点中每两点连线的垂直平分线相交于一点时，过各点的圆有一个，圆心为各垂直平分线的交点，否则过各点的圆不存在。3、垂径定理及其论（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧（2）推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。如图 弧ac=弧bc弧ad=弧bdae=beabcdcd是直径上面5个，只要满足其中的两个，另外三个就一定成立，即所谓“举二反三”。4、弧、弦、圆心角的关系：（1）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦或两条弦心距中有一组量相等，那么它所对应的其余三组量都相等，即所谓“举一反三”。5、圆周角定理：（1）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；（2）推论：半圆（直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。（三）点、直线、圆与圆的位置关系1、点与圆的位置关系（用d表示点与圆心的距离，r表示圆的半径）dr 则点在圆外，反之也成立。2、直线与圆的位置关系（用r表示圆的半径，d为圆心到直线的距离）（1）dr时，直线与圆相离，无公共点；（2）d=r时，直线与圆相切，有一个公共点，直线称圆的切线；（3）dr+r时，两圆外离，无公共点；（2）d=r+r时，两圆外切，只有一个公共点；（3）r-rdr+r时，两圆相交，有两个公共点；（4）d=r-r时，两圆内切，有一个公共点；（5）dr-r时，两圆内含，无公共点。（当d=0时，两圆是同心圆，是内含的一种特殊情况）（四）圆中的计算问题1、正多边形与圆的概念（1）正多边形：各边相等、各角也相等的多边形（2）正多边形的外接圆：经过多边形各个顶点的圆叫做多边形的外接圆，这个多边形叫做圆的内接多边形。（3）正多边形的中心与半径：正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径。（4）正多边形的边心距：内切圆的半径叫做正多边形的边心距。（5）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正n边形的每个中心角都等于 2、正多边形的性质（1）正多边形的各边都相等 （2）正多边形的各角都相等 （3）正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心，边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。（4）边数相同的正多边形相似，它们的周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 附表：边长半径边心距面积正三角形a正方形a 正六边形aa 3、圆中的弧长与扇形面积（1）弧长公式：半径为r的圆中，n的圆心角所对的弧长l的计算公式为（2）扇形面积公式：半径为r的圆中，n的圆心角与弧长所成的扇形面积为 4、圆柱和圆锥的侧面积与表面积（1）圆柱：设圆柱的高为l，底面半径为r， 则：圆锥：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则： 十三、统计与概率（一） 统计1、 数据的收集与表示（1）数据的收集-步骤：明确调查问题确定调查对象选择调查方法展开调查记录结果得出结论 概念：频数-表示每个对象出现的次数；频率-表示每个对象出现的次数与总次数的比值。（2）数据的表示：用统计图来表示数据，常用的统计图表有条形统计图、扇形统计图和折线统计图。（表示出每个项目的具体数目选择条形统计图；反映事物的变化情况选择折线统计图；表示各部分在总体中所占的百分比就选择扇形统计图）2、数据的整理（1）概念与方法：平均数：将一组数据的总和除去个数 （反映各数据的平均大小）极差：把一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围。 方差：用“先平均、再差的平方、后平均”三部曲求得的结果表示一组数据偏离平均值的情况，此结果称为方差（反映一组数据的波动程度，方差越大，波动越大，越不整齐，越不稳定）。标准差：方差的算术平方根。众数：在一组数据中出现次数最多的数。中位数：将一组数据按从小到大排序，如果有奇数个数据，则取最中间的这个数；如果有偶数个数据，则取最中间的两个数的平均数。（2）公式：设有x1、x2xn个数 平均数公式： 方差公式： 标准差公式： 3、统计的意义（1） 调查分为普查和抽样调查两种方式