基于数学史的中学数学研究性学习的分析和探索.pdf

摘要 数学史与数学教育的关系( h p m ) 是国际数学教育的新潮流之一， 其历史渊源可以追溯到1 9 世纪泰尔凯、德摩根等数学家对数学史的 大力提倡，2 0 世纪两力。学者对数学史所具有的教育功能达成共识。 然而在如何运用数学史于数学教育方面，国际上都还处于研究阶段。 把数学史运用于中学数学教学和数学研究性学习是我国正在进 行的数学课程改革的两大热点问题，然而一些研究却表明这两方面都 存在着一些偏差和问题，其中尤为突出的是：数学史教学并未对我国 数学教育产生实质性影响，数学研究性学习并未有效地开展。 基于数学史的中学数学研究性学习是在上述背景下提出的一种 具体、明确、针对性强的教学方案。这种方案把数学史作为数学研究 性学习的内容和载体，而把研究性学习作为运用数学史于巾学数学教 学的一种具体的教学形式，对两者进行有效地整合。 数学和数学学习的特点、认知的历史发生原理、建构主义学习理 论等都为本研究提供了理论支持。而本研究的特别意义则在于基于数 学史的中学数学研究性学习和其他内容形式的数学研究性学习相比 具有以下特点：( 1 ) 兴趣性。对故事和人物的兴趣激发研究学习的兴 趣，而研究学习的过程则使得这种表层的短暂的兴趣转化为深刻的、 持久的兴趣并进一步转化为对数学和数学学习的兴趣；( 2 ) 科学性。 基于数学史的数学研究性学习接近或还原数学发现和发展的过程，遵 循科学研究的一般规律，符合学牛的认知特点；( 3 ) 有效性。基于数 学史的数学研究性学习立足于现在，着眼于将来，能普遍有效地实施， 和我国教育背景相吻合。这对解决数学史教学和数学研究性学习所存 在的一些问题有着重要的意义。 接下来论文具体论述了基于数学史的巾学数学研究性学j = 的实 施策略和建议，从教材的编写与编排、教师的数学史知识水平和素养 的提高、具体的教学过程设计三个方面进行了探索和分析，其中教材 的编写是重点，论文提供了几个案例设计作为参考。 最后，针对本研究中的一些理论观点和实施建议进行了实验和调 查，实验调查结果基本符合理论上的观点，为研究成果的推广和运用 提供丫支持。 关键词：数学史；研究性学刊；数学教育 ， 、 a b s t r a c t t 1 1 er e l a t i o nb e t w e e nh i s t o r ya n dp e d a g o g yo fm a t h e m a t i c s ( h p m ) i st l l et e n d e n c vo fi n t e r n a t i o n a lm a t h e m a t i c a le d u c a t i o n i ts t a r t e df r o m t h e1 9 t hc e n t u r y 0 t e r q u e m ， a d em o 曙a na n do t h e rm a t h e m a t i c i a n s a d v o c a t e dt h ee d u c a t i o n a lf u n c t i o no f h i s t o r yo fm a t h e m a t i c s a m e r i c a n s c h o l a r sh a da g r e e do ni ti nt h e2 0 t hc e n t u r y h o w e v er ，h o wt oa p p l y h i s l o r v0 fm a t h e m a t i c si 1 1m a t h e m a t i c a le d u c a t i o ni ss t i l la ni m p o r t a n t t o p i co fr e s e a r c h i n g a p p l y i n gh i s t o r y o fm a t h e m a t i c st 0m a t h st e a c h i n ga n di n v e s t i g a t i v e s n j d ya r et 、oh o t s p o t si nt h em a t h e m a t i c sc o u r s ei n n o v a t i o n b u tt h e r e a r es e v e f a lp r o b l e m s ：c e a c h i n go fm a t h e m a t i c sh i s t o r yh a s n ta f ! f e c t e d t h em a m e m a t j c a le d u c a l j o l lo fc h i n ae s s e n t i m ui n v e s t 噜a t i v es t u d y h a s n tb e e nr e a l l yp u ti n t op r a c i i c e i n v e s t i g a t i v es t u d yo fm a t h e m a t i c sb a s e do nh i s t o r yo fm a t h e m a t i c s i nh i g hs c h o o li sac o n c r e t ea n dd e f i n i t et e a c h i n gm o d e li n f h e b a c k g r o u n d a b o v e h i s t o r y o fm a t h e m a i i c s i s t h e c o n t e n to f i n v e s t i g a t i v es t u dy i n v e s t i g a t i v es t u d y i st h et e a c h i n gf o 彻o fa p p l y i n g h i s t o r vo fm a t h e m a t i c st om a t ht e a c h i n g t h ec h a r a c t e r i s t i c so fm a t h e m a t i c sa n dm a t h e m a t i c ss t u d y ，m e h i s t o r i c a l 一g e n e t i cp r i n c i p l e ，c o n s t r u c t i v i s mp r o v i d et h et h e o r ys u p p o r t f o rt h i sr e s e a r c h a n dt h es 适n i f i c a n c eo ft h i s r e s e a r c hi st h e c h a r a c t e r i s t i c so fi n v e s f i g a t i v es t u d yo fm a t h e m a t i c sc o m p a f i n gw i t h o i h e r s ：( 1 ) i n t e r e s t i n g t h ei n t e r e s to fs t o r i e sa n dc h a r a c t e r si n s p i r e s t u d e n t s i n t e r e s ti ni n v e s t i g a t i n g t h e r e f o r et h et e m p o r a r yi n t e r e s to f s t u d e n c sw o u l dt r a n s f o r mi n t ot h ep e r m a n e n ti n t e r e s ti nm a t h e m a t l c s s t u d y ( 2 ) s c i e n t i f i c i n v e s t i g a t i v es t u d yo fm a t h e m a f i c si sc l o s e dt ot h e d r o c e s so fm a t h e m a t i c a ld i s c o v e r i tf o l l o w s山er u l e so ft h er e a l r e s e a r c h ， ( 3 ) v a l i d i n v e s t i g a t i v es t u d y o fm a t h e m a t i c sw o u l db e u n i v e r s a l l va n dc a nb ee f f e c t i v e l yp u ti n t op r a c i i c e t h i sm a yh a v e i m p o r t a n ts i g n i f i c a n c e i n s o l v i n g t h e p r o b l e m s i n t e a c h i n g o f m a t h e m a c i c sh i s t o r va n di n v e s c i g a t i v es c u d yo fm a t h e m a t i c s f u r t h er ，t h ep a p e rd i s c u s s e sc h cs t r a t e g i e so fh o wc op u tj l i n t o p r a c t i c e i ta n a l i e sa n de x p l o r e st h r c ea s p e c t s ：h o wc oo 玛a n i z et e a c h i n g m a t e r i a l ，h o wt oi m p r o v et h et e a c h e r s k n o w l e d g eo fm a t h e m a t i c sh i s t o r y 1 1 a n dn o wt o d e s l g n i h ep r o c e s so f t e a c h i n g ，a m o n gw h i c ho r g a n i z i l l g t e a c n l n gm a t e n a l1 so fm o s ti m p o r t a n t i nt h e p a p e rs e v e m lc a s e so f o 昭a n i z i n ga r ep r o v i d e d 1 nt n ee n d ， t h ee x p e r i m e n ta n dt h ec o n c l u s i o n a r ei n t r o d u c e d n e e x p e r l m e n tr e s u l ts u p p o r t st h ev i e wo ft h e r e s e a r c hi n2 e n e r a la n d 1 儿u s t r a t e st h a tt h ed e s i g na n ds u g g e s t i o na r e f e a s i b l e k e yw o r d s ： h i s t o r y0 fm a t h e m a t i c s ；i n v e s t i g a t i v es t u d yo f m a t h e m a t i c s ；m a t h e m a i i c a le d u c a t i o n i i i 基丁数学史的中。产数学研究性学习的分析羽l 探索 1 研究的背景分析与文献综述 1 1研究的背景我国数学课程改革两大热点问题 数学史对数学教育的意义在1 9 世纪已经引起西方数学史家的注 意，法国数学家泰尔凯( o t e r q u e m ，1 7 8 2 1 8 6 2 ) 、英国数学家德摩 根( a _ d em o r g a n ，1 8 0 6 1 8 7 1 ) 等都是其中重要的先驱者。2 0 世纪上叶， 一些欧美数学家大力提倡数学史在数学教学中的运用，1 9 7 2 年，在 第二届国际数学教育大会上，成立了数学史与数学教学关系国际研 究j 、组( i n t e r n a t i o n a ls t u d yg r o u po nt h er e l a t i o nb e t w e e nh i s t o r ya n d p e d a g o g yo fm a t h e m a t i c s ，简称h p m ) ，标志着数学史和数学教育关 系作为一个学术领域的出现。至此，西方数学教育家在数学史对数 学教育的意义上已经有了共识：数学史可以激发学生的学习兴趣， 培养学生的数学精神，促进学生对数学的理解和对数学价值的认识， 学生学习数学的认知过程与数学史的发展过程相类似，数学史可以 启迪学生的思维，预见学生的认知等等。认识到数学史对数学教育 的重要意义，英国、美国、法国、日本等国家都非常重视在数学教 学中发挥数学史的教育功能，很早就在中小学数学教材中加入了数 学史的内容。如今，h p m 已经成为国际数学教育的新潮流之一。 我国的数学史教育起步较晚，始创于2 0 世纪5 0 年代，此后我 国的数学史教育有了很大的发展固。9 0 年代国内很多数学家和数学 教育家认识到数学史对数学教育的重要作用并从不同角度进行了理 论分析，许多线数学教育工作者也纷纷载文从理论和实践两方面 讨论这个问题。我国正在进行的中小学数学课程改革非常关注数学 史教学的问题，已经在新的数学课程标准中做出了明确的说明和界 定。新的全日制义务教育数学课程标准在每个学段的教材编写 建议部分都提到要介绍有关的数学背景知识，这里的数学背景知识 主要是指有关数学史的知识 。普通高中数学课程标准( 实验) 把 “数学史选讲”列为高中数学选修系列3 ，并指出： “通过生动丰富的事例，了解数学发展过程中若干重要事件、重 要人物与重要成果，初步了解数学产生和发展的过程，体会数学对 汪晓勤，欧阳跃h p m 的历史渊源数学教育学报，2 0 0 3 ，1 2 ( 3 ) ：2 4 2 7 王青建数学史与数学教育改革刍议【j 】数学教育学报，1 9 9 5 ，4 ( 4 ) ：6 4 中华人民共和国制订全目制义务教育数学课程标准( 实验稿) 【s 】北京：北京师范大学 出版社，2 0 0 1 1 硕i ：学位论文 人类文明发展的作用，提高学习数学的兴趣，加深对数学的理解， 感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神。”。 另一方面，研究性学习也成为我国近几年数学课程改革中最大的 亮点和热点。自2 0 0 0 年秋，我国的初中启用了九年义务教育全日制 初级中学数学教学大纲试用修订版，在九省7 一市启用了全日制普 通高级中学数学教学大纲试验修订版r 笔者注j 这两个版本均作为2 l 世纪基础教育课程改革的过渡性的教学大纲) 这两个新大纲与 原大纲相比，在一些方面实行了调整和改革，其中变化较大的莫 过于在初中增加了“探究性活动”和在高中增加了“研究性课题”。与上 述高中新大纲同时颁布了全曰制普通中学课程计划( 试验修 订版) ，在这一课程计划中，新增加了一门与语文、数学、外语等学 科课程相并列的必修课“综合实践活动”，它包括研究性学习、社会实 践、社区服务、劳动技术教育等四个部分。由此可以看出，研究性学 习既是一门课程，又是指一种学习方式。我们通常所理解的研究性学 习是。1 种针对“接受性学习”而提出的学习方式。作为学习方式的研 究性学习，广义的理解是学生主动探究问题的学习，它的课程目标主 要是通过亲自参与研究探索，培养发现问题和解决问题的能力，了解、 体验科学研究的一般过程和方法，从而培养科学态度和科学道德，培 养创新能力，培养收集、分析、利用信息的能力，学会交流与和合作 等等 。数学研究性学习是上述意义下的学科研究性学习，因为数学 这门学科所具有的特点及其在科学研究中的重要地位和作用，数学研 究性学习成为研究性学习中最受关注的方面。自提出以来，引起数学 教育工作者极大的兴趣，有关数学研究性学习理论和实践的探索成为 数学课程改革乃至整个课程改革的焦点。 1 2 数学史对数学教育的意义综述 1 21国际的和历史的视角 数学史对数学教育的意义在国内外都有着比较致的理论，然 而西方学者是这一研究领域的发起者和提侣者。1 8 5 5 年，法国数学 家泰尔凯( 0 t e r a u e m ，1 7 8 2 1 8 6 2 ) 在他创办的新数学年刊后 增加附录数学历史、传记与文献通报，极大地增加1 r 法围人对数 中华人民共和国制订普通高中数学课程标准( 吏验) s 】北京：人民教青出版社，2 0 0 3 6 7 杨骞“研究性学习”研究综述i j 】中学数学教学参考，2 0 0 1 ，9 ：2 0 一2 2 张华“研究- 陛学习”课程的本质【j 】教育发展研究，2 0 0 1 ，5 2 基数学史的中学数学研究性学习的分析和探索 学史的研究兴趣，泰尔凯认为，数学家的传记、轶闻、故事可以启 发学生的人格成长。泰尔凯十分关注与数学教学密切相关的数学史 专题，如圆锥曲线的历史、指数的历史、负数的历史等等。这些也 是后世数学世家感兴趣的问题。英国数学家德摩根( a d em o r g a n ， 1 8 0 6 1 8 7 1 ) 不仅强调数学史对数学研究的重要性，而且也强调数学 教学中应遵循历史顺序，他认为在教代数时不要把新符号都解释给 学生，而应该像最初发明这些符号的人那样从完全的书写方法到简 写的顺序学习符号。在美国，早在1 9 世纪9 0 年代就有人提倡将数 学史作为教学工具引入数学教学之中。美国数学史家卡约黎 ( f c a i o r i ，1 8 5 9 1 9 3 0 ) 说：“数学史的学习是非常有益的，他不仅 能告诉我们有了什么，而且能教给我们如何去增添什么。”卡约黎认 为，在历史的解说中，教师可以让学生明白：数学并不是一门枯燥 呆板的学科，而是一门不断进步的生动有趣的学科。 2 0 世纪，欧美数学家进一步提倡数学史在数学教学中的运用。 美国数学史家史密斯( d e s m i t h ，1 8 6 0 1 9 4 4 ) 认为：“为了将数学 发展与人类发展联系起来，为了揭示数学是一条大河而不是一潭死 水，为了强调数学的人文因素，一般的历史介绍是必要的”法国数 学家庞加莱( h p o i n c a r e ，1 8 5 4 1 9 1 2 ) 在1 9 0 8 年出版的科学与方 法( s c i e n c ee tm e t h o d e ) 中说：“如果我们想要预见数学的未来， 适当的途径就是研究这门科学的历史和现状。”并指出数学课程的 内容应完全按照数学史上同样内容的发展顺序展现给读者。数学史 家琼斯( p s j o n e s ) 则指出：“希腊著名几何难题、阿基米德、卡丹、 伽罗瓦、高斯等人的故事、费马最后定理等等都是可用于课堂的精 彩有趣的历史话题。学生对人物、原因和最佳结果等永远有着天生 的好奇心。”美国数学家克莱因十分强调数学史对数学教育的重要 价值，认为“每一位中学和大学数学教师都应该知道数学史，有许多 理由，但最重要的一条理由或许是：数学史是教学的指南 。在克莱 因眼里，数学史的作用无以复加。克莱因批评注重逻辑严密性的数 学教材，指出数学家奋斗的经历对学生的教育作用：“通常的一些数 h o w s o ng ah i s t o r yo fm a l h e m a c i c a le du c a f i o ni ne n g j a n d 【m 】c a m b f i d g e ：c o m b r j d g e u n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 8 2 8 7 - 9 2 ( 多h e p p e lg t h eu s eo fh i s t o r yi nt b a c h i n gm a t h e m a t i c s j 】n a t u r e ，1 8 9 3 ，( 4 8 ) ：1 6 1 8 s m i t hde h i s t o r yo fm a t h e m a t i c s 【m 】b o s t o n ：g i n n & c o m p a n y ，1 9 2 3 i i i j o n e sps t h eh i s t o r yo fm a t h e m a t i c sa s m a c h i n gt o o l m a f l l e m a t i c st e a n c h e r ，1 9 5 7 ， 5 0 ( 1 ) ：5 9 6 4 a l b e r sdj ，a l e x a n d e r s o ngl m a t h e m a t i c a lp e o p l e ：p r o f i l e sa n di n t e r v i e wf m 】b o s t o n ： b r i k h a u s e r - 1 9 8 5 1 7 1 1 硕十学位论文 学课程也使人产生一种错觉，它们给出一个系统的逻辑叙述，使人 们有这种印象：数学家几乎理所当然地从定理到定理，数学家能克 服任何困难，并且这些课程完全经过锤炼，已成定局，学生被湮没 在成串的定理中，特别是当他们正开始学习这些课程的时候， 课本中字斟旬酌的叙述，未能表现出创造过程中的斗争、挫折、以 及在建立一个客观的结构之前，数学家所经历的漫氏的道路，而学 生一旦认识到这些，他将不仅获得真知灼见，还将获得顽强的追究 他所攻问题的勇气，并且不会因为它自己的工作并非完美无缺而颓 丧。”在谈到数学史对数学的重要性时，英国数学家格莱舍 ( j w g l a i s e r ，1 8 4 8 1 9 2 8 ) 有一段经典名言：“任何一种企图将一个 学科和他的历史割裂开来的，我确信，没有哪一个学科比数学的损 失更大。”无独有偶，德国数学家汉克尔( h h a n k e l ，1 8 3 9 1 8 7 3 ) 也 形象地指出数学这，特点：“在大多数学科里，一代人的建筑被下一 代人所摧毁，一个人的创造被另一个人所破坏，唯独数学，每一个 人都在古老的大厦上添加一层楼。” 荷兰数学家和数学教育家弗赖 登塔尔( h f r e u d e n t h a l ，1 9 0 5 1 9 9 0 ) 认为数学史应该是数学教师用 于数学教学的必备知识，批评那种过分注重逻辑严密性、没有历史 感的数学教材是“把火热的思考变成了冰冷的美丽”。 1 9 7 2 年，在第二届国际数学教育大会上，成立了数学史与数学 教学关系国际研究小组( i n t e m a t i o n a ls t u d yg r o u po nt h er e l a t i o n b e t w e e nh i s t o r va n dp e d a g o g yo fm a i h e m a t i c s ，简称h p m ) ，标志着 数学史和数学教育的关系作为一个学术领域的出现。至此，西方数 学教育家在数学史对数学教育的意义上已经有了共识，汪晓勤把西 方学者眼中数学史的教育价值总结为七条 ：( 1 ) 数学史激发学生的 兴趣，改变学生的数学观；( 2 ) 数学原始文献的作用；( 3 ) 数学史 使数学人性化；( 4 ) 数学家遇到的困难和挫折同样会为课堂上的学 生所经历；( 5 ) 学生学习数学的认知过程与数学史的发展过程相似； ( 6 ) 数学史帮助学生理解和欣赏数学；( 7 ) 历史上的数学问题提供 j ，丰富的社会文化信息。 以 奶 境 湘 t 研黼黜渐一篇 】 j ；m 吣鲥篱晰一茎l 臌删勰数 姗重主肿 。 时 i _ 兰 卧 篙钥 n m o 7一i 蒜俄”i l 腊认羹墨裂辫引 m m n 瓯汪h胁枷 基丁数学史的中! 学数学研究性学刊的分析和探索 1 2 2 国内的考察 数学史教育在我国始创于2 0 世纪5 0 年代，当时在一些师范院 校开设数学史的讲座和报告，五六十年代，老一辈数学史家钱宝琮、 严敦杰、李俨等编写的一批数学史普及读物问世，这使数学史得 到了广泛的普及。一些数学家很早就意识到数学史的重要性，早在 上世纪8 0 年代，我国著名数学家吴文俊就说过：“假如你对数学史 的历史发展，对一个领域的发生和发展，对于一个领域的兴旺和衰 落，对一个概念的来龙去脉，对一种重要思想的产生和影响等许多 因素都弄清楚了，我想对数学就会了解得多，对数学的现状就会知 道得更清楚、更深刻，还可以对数学的未来起一种指导作用。” 数 学家徐利治从培养数学思维能力方面论述了数学史的作用，他指出： 学生解题活动中的探索性思维与数学家从事研究活动的探索性思 维，本质上是相通的，正因为这样，有关数学家创造性思维活动的 历史记录，就成为培养学生数学思维能力的好教材。学生们不仅可 以学习到数学家的思想方法，而且可以学习到数学家刻苦钻研精神、 顽强毅力、和严谨作风，这对于调动学生的非智力因素也是大有好 处的 。在上世纪7 0 、8 0 年代，数学史教育在高层次人才的培养方 面有了很大的突破，然而真正提倡把数学史运用于数学教学尤其是 中小学数学教学则是在上世纪9 0 年代。荷兰数学教育家弗赖登塔尔 上世纪8 0 年代两次到中国讲学，对中国的数学教育产生了重大而深 远的影响。弗赖登塔尔的“数学现实”、“数学化”、“再创造”的思想对 中国传统的数学教学产生强大的冲击，他的名言“把火热的思考变成 冰冷的美丽”广泛地被数学教育工作者所引用，弗赖登塔尔非常重视 发挥数学史的作用，这和他关于学生数学学习“再创造”的观点是一 脉相承的。弗赖登塔尔还指出现在的教科书往往把表达的思维过程 和实际创造的进程完全颠倒，因而就严重阻塞了“再创造”的通道。 起始于2 0 世纪9 0 年代的我国的数学课程改革非常重视发挥数学史 的功能，和弗赖登塔尔的数学教育思想有着非常密切的关系，很多 数学教育工作者在论述数学史对数学教育的重要意义时都会引用弗 钱宝琮中国数学史话【m 1 北京：中国青年出版社，1 9 5 7 严敦杰，中学数学课程中的中算史材料f m 】北京：人民教育出版社，1 9 5 7 李俨，杜石然中国古代数学简史( 上下册) f m l 北京：中华书局，1 9 6 3 ，1 9 6 4 吴文俊在教育部的全国高校中外数学史讲习班开学典礼上的讲话f a l 中国数学史论文 集( 二) c 1 脐南：山东教育出版社，1 9 8 6 ：2 3 徐利治徐利治论数学方法学f m l 济南：山东教育出版社，2 0 0 0 ：6 6 9 6 7 0 5 硕卜学位论文 赖登塔尔相关教育观点。另外，美国数学家和数学史家克莱因的数 学教育思想也深刻地影响着我国数学教育工作者，上面已经论述到 他非常重视数学史的价值，他著的古今数学思想就是一本数学 史方面的经典名著，被我国数学教育工作者广为引用。 在新的教育理论的指导f 和数学课程改革呼之欲出的背景下， 围内很多学者纷纷撰文论述数学史对数学教育的意义洮圆。李伯春论 述了数学史的科学价值；骆祖英从以下几个方面论述了数学史不可 替代的德育教育价值：数学史是世界科技发展史的重要组成部分， 有助于爱国主义和国际主义教育；数学史是数学内部矛盾发展史， 充满着辩证唯物主义；数学史是数学家的奋斗拼搏史，展示着数学 家为真理而献身的伟大人格和崇高精神。郭熙汉则从教学目的、教 学方法、思维方法三个方面论证了运用数学史于数学教学将有益于 数学教育成为“最高、最好的教育”。这里的“最高、最好的教育”是 指日本数学家米三国藏所说的以培养数学精神为最终日的的数学教 育。一些数学史方面的学者和数学家也对数学史的意义进行了论述 并加以倡导。梁宗巨把数学史的教育目的总结为以下四点：( 1 ) 开 阔眼界，启发思维，增加兴趣；( 2 ) 表彰前贤，鼓励后进；( 3 ) 弘 扬祖国优秀文化，提高民族自豪感；( 4 ) 发挥文理之问的桥梁作用。 王青建从数学史研究的角度论述了数学史对数学教育的意义囝：为了 全面深刻的了解数学；为了探索数学发展的规律；为了数学的教育 和普及。在面向2 1 世纪的中国数学教育中，数学专家也从不同 方面论述了数学史和数学教育的关系 。一线教师也纷纷结合实践探 讨数学史的教育功能，他们基本上没有理论上的突破，往往是结合 自己的经验谈出体会，真实通俗，有一定的参考价值。总的说来， 我国数学教师所理解的数学史的教育功能集中体现在以下几个方 而：( 1 ) 激发学生学习数学的兴趣。数学教师往往把这一点置丁二首 位，数学是一门相对抽象而枯燥的学科，学生的数学情感恶化是一 个普遍存在的问题，数学史应用于数学教学确实是解决这一问题的 积极有效的措施；( 2 ) n 现数学的文化功能，这和我因数学课程改 革重视数学文化的传播有关，数学史的渗透使得数学得以展示其人 李伯春数学史的科学价值f j l 淮北煤炭师范学院学报f j l 1 9 9 2 ，1 3 ( 3 ) ：7 5 8 2 骆祖英略论数学史的德育价值数学教育学报，1 9 9 6 ，5 ( 2 ) ：1 0 1 4 郭熙汉数学史与数学教育1 数学教育学报，1 9 9 5 ，4 ( 4 ) ：6 8 7 7 梁宗巨世界数学通史( 上册) f m l 沈阳：辽宁教育出版社，2 0 0 l ，4 王青建数学史：从书斋到课堂【j 】自然科学史研究，2 0 0 4 ，2 3 ( 2 ) ：1 4 8 1 5 4 严士健面向2 1 世纪的中国数学教育i m 】，南京：南京教育出版社，1 9 9 4 6 基丁数学史的中学数学研究性学习的分析和探索 文的一面；( 3 ) 加深对数学知识的理解，培养数学思维能力。 1 3 如何运用数学史于数学教学综述 虽然国内外对数学史所具有的教育价值能够在理论上达成共 识，但是在如何将数学史运用于数学教学上却还处于探索研究的阶 段。1 9 9 5 年，美国数学协会在国家科学基金资助下成立了数学史和 及其在教学中的应用研究所，专门致力于研究如何将数学史运用于 课堂教学，由此可知，美国人近年来不仅仅从理论上论证数学史的 教育价值，而且已经开始寻找运用数学史于数学教学的具体方法了 。张奠宙认为：虽然数学史的研究有很长的历史，但如何在数学 教育中运用数学史的知识还是一个新问题。相比其他有些走在前列 的国家而言，我国在这方面的研究还没有进行，数学史知识仅作为 “阅读材料”放在一边，没有和实际教学融为一体。 美国、日本、德国等国家在运用数学史于数学教学方面已经进 行了一些尝试和探索。美国数学教材的编写非常关注数学与历史、 现实生活及其他学科间的关联。u c s m p ( 美国芝加哥大学学校数学项 目组) 开发的中学数学教材代数在每章的首页，会列出该章的 内容表，而第二页上教材则会向学生介绍有关的数学背景知识或是 提出涵盖该章内容知识的现实生活中的实例。日本则在初中课程中 设置了选择性学习，而探究数学史的有关专题作为选择性学习的一 项内容。在高中课程中设置了选择必修课数学基础，它的内容包括 数学和人类社会、社会生活中的数学考察以及周围的统计，其中在 “数学和人类社会”中，就包含大量的数学史话题。德国数学课程中 含有丰富的数学史内容，柏林地区的数学教学纲要在引言部分对数 学史的意义做了如下说明：数学史往往不能独立地成为中学数学的 课程内容，但是这里建议，在适当的时候将内容与数学史进行联结， 有助于增强学习动机，加深与应用数学内容。巴伐利亚州9 2 年实施 的完全中学数学教学计划，就十分强调数学的思想方法与世界观相 结合一，与数学史相结合；最新的完全中学教学纲要，针对7 年级几 何单元的平面几何基本概念内容，十分强调在这个单元应该让学生 有机会了解数学历史。其他国家如法国、英国、俄罗斯都很重视在 其中小学数学教学中发挥数学史的价值。 汪晓勤，林永伟古为今用：美国学者眼中数学史的教育价值【j 】自然辩证法研究， 2 0 0 4 ，2 0 ( 6 ) ：7 3 一7 7 张奠宙数学教育经纬【m 】南京：江苏教育出版社2 0 0 3 ：4 3 9 硕十学位论文 然而在很长一段时间里，我国的初高中数学教材中只有寥寥几 处涉及数学史的内容，即使这几处也常常被忽略。这种状况在上个 世纪九十年代得到，较大的改观，首先是在教学大纲中明确规定丁 有关数学史教学的日的，九年义务教育全日制初级中学数学教学 大纲( 试用) 要求“通过介绍我国的数学成就及数学在社会主义中 的应用，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想感情，使学生逐步 明确要为国家富强，人民富裕而努力。”教材中的数学史的内容大 大增加，据统计整个初中阶段共渗透的数学史方面的内容有2 7 处。 新的全日制义务教育数学课程标准在教材编写建议部分都 提到要介绍有关的数学背景知识，这里的数学背景知识主要是指有 关数学史的知识。例如标准在第三学段的教材编写建议中指出： “在对数学内容学习的过程中，教材中应当包含一些辅助材料， 如史料、进一步研究的问题、数学家介绍、背景材料等，还可以介 绍数学在现代生活r f l 的广泛应用( 如建筑、计算机科学、遥感、c t 技术、天气预报等) ，这样不仅可以使学生对数学发展过程有所了解， 激发学生学习数学的兴趣，还可以使学生体会数学在人类发展中的 重要作用和价值。辅助材料可以以阅读材料的形式出现。” “在数与代数部分，可以穿插介绍代数及代数语言的历史，并将 促进代数兴起与发展的重要人物和有关史迹的图片呈现在学生眼 前，也可以介绍1 些有关正负数和无理数的历史、一些重要数学符 号的起源与演变、与方程及其解法有关的材料( 如九章算术、秦 九韶法) 、函数概念的起源、发展与演变等内容。” “在空间与图形部分，可以通过以下线索向学生介绍有关的数学 背景知识：介绍欧几里得的原木，使学生初步感受几何演绎体系 对数学发展和人类文明的价值；介绍勾股定理的几个著名证法( 如 欧几里得证法、赵爽证法等) 及其有关的些著名问题，使学生感 受数学证明的灵活、优美与精巧，感受勾股定理的丰富文化内涵； 介绍机器证明的有关内容及我国数学家的突出贡献；简要介绍圆周 率z 的历史，使学生领略与玎有关的力。法、数值、公式、性质的历史 内涵和现代价值( 如n 值精确计算已成为评价电脑性能的最佳方法 之一) ；结合有关内容介绍古希腊和中国正i 代的割唧术，使学生初步 感受数学的逼近思想以及数学在不同文化背景下的内涵；作为数学 中华人民共和国国家教育委员会九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲( 试用) 【m 1 北京：人民教育出版社】9 9 5 基丁数学史的中学数学研究性学习的分析和探索 欣赏，介绍尺规作图与几何三大难题、黄金分割、哥尼斯堡七桥等 专题，使学生感受其中的数学思想方法，领略数学命题和数学方法 的美学价值。” “在统计和概率部分，可以介绍一些有关概率论的起源、掷硬币 试验、布丰( b u 肋n ) 投针问题与几何概率等历史事实，统计与概 率在密码学等方面的应用，这样可以使学生对把握随机现象的历程 有一个了解，对于学生进一步学习和发展有一定的激励作用。” 很多专家和学者在如何运用数学史于数学教学方面提出了一些 建议，做了一些工作。王青建从数学史研究和数学史教育的角度提 出：应注意数学史师资力量的培养，数学史普及读物的编写应该 规范化、科学化，数学史研究应从书斋走向课堂才能实现数学史的 教育目的。汪晓勤、韩祥临对中学数学中的数学史进行了挖掘整理 ， 通俗易懂而不失科学性。王振辉、汪晓勤在如何将数学史融入中学 数学教材上进行了研究，认为：数学史在中学数学教材中的总体布 局应该具有连续性，综合性，蕴含重要数学思想方法的相关历史知 识应重点介绍，同时附印数学家头像，以唤起学生对数学家及数学 史的亲近、肃穆之感；介绍数学史的视角则应该体现数学上的多元 文化，把握各个民族发展的历史进程，增加可读性，增加历史知识 的介绍形式。徐利治等从培养学生数学思维能力出发，提出数学哲 学、数学史、和数学教育相结合的思想。他把数学史研究分为“内 史”和“外史”两个方面，“内史”研究以考察数学理论成果的历史形态 为主，包括数学成果产生的年代、最初的形态和后来的演变、创立 者的贡献、数学成果的传播等。“外史”研究考察数学发展和社会生 活各个方面的关系为主，对于数学教育而言，数学史的“外史”研究 以下几个方面有利用价值：首先是数学与哲学的关系史，这是数学 思想演变的基本线索；其次要注意数学家思想演变活动的历史纪录， 特别是数学家从事研究工作，获得重大发现的思想记录，特别是数 学家创造性思维活动的思想记录。最后要注意研究数学社会史，即 数学与其社会应用的关系史。数学内史研究也有许多成果可以应用 于数学教育。张奠宙提倡利用数学史加深对数学本质的理解，以数 王青建数学史与数学教育改革刍议【j 】数学教育学报，1 9 9 5 ，4 ( 4 ) ：6 4 王青建数学史：从书斋到课堂 j 】自然科学史研究，2 0 0 4 ，2 3 ( 2 ) ：1 4 8 1 5 0 汪晓勤，韩祥临中学数学中的数学史【m 】北京：科学出版社，2 0 0 2 汪晓勤王振辉数学史如何融入中学数学教材 j 】数学通报，2 0 0 3 ，9 ：1 8 - 2 1 徐利治，王前数学哲学、数学史和数学教育的结合【j 】数学教育学报，1 9 9 4 ，3 ( 1 ) ： 3 9 学史上的本原问题展现数学的本质。一些中学教师做了一些具体的 工作，就一些具体的内容设计了数学史教学的案例 。 1 4 数学研究性学习综述 2 0 0 0 年国家教育部制定的中学数学教学大纲，首次提出了要在 中学数学教学中开展研究性课题，进行研究性学习活动，这是我国 中学数学课程改革的一项重大举措。其目的是要通过学生亲身实践 体验获取直接经验，养成科学精神和科学态度，掌握基本的科学方 法，全面培养学生综合运用数学知识的能力、收集处理信息的能力、 分析解决问题的能力、语言表达能力及团结协作。所谓研究性学习， 广义的理解是指学生主动探究问题的学习。在目前的实践中主要是 指学生在教师的指导下，以类似科学研究的方式去主动获得数学知 识，启用数学知识解决问题，这种学习通常都要围绕一个需要解决 的特定问题来展开，所以又称为“主题研究学习”。 研究性学习的 特点表现为它的开放性、探究性、实践性。它的课程目标是：( 1 ) 获得亲自参与研究探索的体验；( 2 ) 培养发现问题和解决问题的能 力；( 3 ) 培养收集和利用信息的能力；( 4 ) 学会分享和合作；( 5 ) 培 养科学态度和科学道德 。研究性学习的实施受到学生、教师、学校、 教育资源等各种不定因素的影响，其组织方式和操作程序有一定程 度上的差异，一般认为有三个阶段：进入问题情境阶段、实践体验 阶段、表达交流阶段。研究性学习的实施目前仍处于初创阶段，还 存在很多问题，同时也给我们广人的教师提出了新的挑战。由于研 究性学习强调学习的过程，强调学生亲自参与探索性实践并获得感 悟和体验，所以研究性学习的评价有三个特点：( 1 ) 评价主体的多 元化；( 2 ) 评价内容的丰富性和多元性，参与研究活动的态度、创 新能力和实践能力的发展、学习的结果等都是要考虑的因素；( 3 ) 评价于段方法的多样性，研究性学习的评价往往采取个人评价和小 组评价相结合，定性评价和定量评价相结合的方式。 张奠宙教育数学是具有教育形态的数学【j 】，数学教育学报，2 0 0 5 ，1 4 ( 3 ) ：1 4 王谧数学史与中学数学结合的几个案例设计数学教学，2 0 0 3 ，5 ：4 5 4 7 陈跃中学数学应用数学史实教学的一些建议川数学教学，2 0 0 4 ，1 ：4 2 4 4 朱哲余弦定理一则体现数学联系与历史的教学案例数学通讯，2 0 0 5 ，1 7 ：l 。3 曹瑞彬，张杰高中数学研究性学习f m i 北京：龙门书局，2 0 0 3 ，1 李建平普通高中如何实施研究性学习，中国教育报，2 0 0 l ，5 ，3 1 夏向东对研究性学习过程的开发的构思教育科学，2 0 0 1 ，2 李雁冰“研究性学习”可资借鉴的两种评价方式f j l 教育发展研究，2 0 0 0 ，】1 基丁数学史的中学数学研究性学习的分析和探索 许多学者和一线教师对数学研究性学习进行了理论和实践上的 探索。研究结论一：数学研究性学习可以从4 个层面上去展开：( 1 ) 立足课堂，让每一个学生都成为研究者；( 2 ) 体验生活，让每一个 学生成为实践者；( 3 ) 倡导合作，让每一个学生成为参与者；( 4 ) 突破传统，让每一个学生成为参与者。研究结论二：开展数学研究 性学习首要的问题是内容的选择，内容选得是否恰当，将直接影响 研究性学习的实施，影响数学创新精神和创造能力的培养。并从4 个方面建议了数学研究性学习内容的选择：( 1 ) 从教材中选择内容； ( 2 ) 从拓宽知识面选择内容；( 3 ) 从习题中选择内容；( 4 ) 从数学 应用中选择内容。研究结论三：结合国内外的研究成果归纳出数学 研究性学习的3 种实施模式：基于数学模型的探究和研究模式，基 于调查访取的研究模式，基于数学实验的调查模式。研究结论四： 从整体上指出了研究性学习实施以来出现的一系列问题，譬如说， 开设和实施研究性学习会不会影响高考成绩? 目前学校规模太大， 研究性学习课程是否难以组织和实施? “研究性学习”作为一门课 程，没有教材教师怎么教? 由于课时的限制学科教学中的研究性专 题教学基本上无法保证，教师又如何面对现代社会、现代科技、现