《不可数集合》PPT课件.ppt

第四节 不可数集合 第一章 集合及其基数 1 不可数集的存在性(区间0,1是不可数集 ) 0 1/3 2/3 1 证明：假设证明：假设0,10,1是可数集是可数集, ,则则 0,1 0,1 可以写成一个无穷可以写成一个无穷 序列的形式序列的形式 0 1/3 2/3 1 定义：与0,1区间对等的集合称为连续势集， 其势记为 ， 显然： 例：1）R (0,1) 0,1 0,1) R+ (ab) 2 连续势集的定义 2）无理数集为连续势集 （无理数要比有理数多得多，同理超越数要比代数数多得多） 例 试作闭区间0,1与开区间(0,1)之间的一一对应 解 3 连续势集的性质（卡氏积） （1）有限个、可数个连续势的卡氏积仍为连续势集 特例就 是定理4 定理4 证明 1874年Cantor考虑 R 与Rn的对应关系，并企图证 明这两个集合不可能构成一一对应，过了三年， 他证明了一一对应关系是存在的，从而说明 Rn具 有连续基数 ，他当初写信给Dedekind说： “我看到了它，但我简直不能相信它”. 推论 平面与直线有“相同多”的点 连续势集的性质（并集） 连续势集的（有限个，可数个，连续势个） 并仍为连续势集 ( ( ( 0 1 2 n-1 n ( ( ( 0 1 2 n-1 n y 定理3 证明 4 无最大势定理 从而说明无限也是分很多层次，且不存在最大的集合. A A的子集全体 尽管尽管 Cantor Cantor 在在18831883年就证明了这个定理，但直到年就证明了这个定理，但直到18991899 年年 Cantor Cantor 才发现，这个定理本身与他给出的集合的定义才发现，这个定理本身与他给出的集合的定义 有矛盾，即所谓的有矛盾，即所谓的 Cantor Cantor 的最大基数悖论的最大基数悖论. . 因此因此CantorCantor在在18991899年给年给 DedekindDedekind 的一封信中曾指出的一封信中曾指出, ,人们人们 要想不陷于矛盾的话要想不陷于矛盾的话, ,就不能谈论由一切集合所组成的集合就不能谈论由一切集合所组成的集合. . 集合悖论 Hilbert在1900年第二届国际数学家大会上 将它列为二十三个难题的第一个问题。 注记： 从前面我们已经看到： Cantor认为在 之间不存在别的基数， 即不存在这样的集合A,使得 但Cantor证明不了,这就是著名的Cantor连续统假设。 连续统假设 在在ZermeloZermelo-Frankel-Frankel公理集合论体系下公理集合论体系下 参见：数学与哲学张景中，数理逻辑概貌莫绍揆 ZF公理集合论体系下的连续统假设 19401940年年GodelGodel证明了连续统假设的相容性证明了连续统假设的相容性 （即不能证明它不真）；（即不能证明它不真）； 19621962年年StanfordStanford大学的大学的P.J.CohenP.J.Cohen证明了它的独立性证明了它的独立性 （即不能用其他公理证明它真）；（即不能用其他公理证明它真）； 5 基数的运算 证明 矛盾 4 x (x,y,z) y z 从而 ，得到矛盾 所以An中至少有一个为连续势集 例3 对平面上的任意两个非有理点，一定存 在一条折线不过有理点 连接两非有理点，并作中垂线， 任取中垂线上一点z，连接xz，zy 得到一条连接x，y的