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文档简介
第二章 极限 1 数列极限 “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 1、割圆术： 播放刘徽 一、概念的引入 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 二、数列的定义 例如 注意 ： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 2.数列是整标函数 播放 三、数列的极限 问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某一 确定的数值?如果是,如何确定? 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它. 数列极限的定性描述: 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意 ： 几何解释: 数列极限的定义未给出求极限的方法. 例1 证 所以, 注意 ： 例2 证 所以, 说明:常数列的极限等于同一常数. 小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 寻找N,但不必要求最小的N. 例3 证 例4 证 四、数列极限的性质 1、有界性 例如, 有界无界 定理1 收敛的数列必定有界. 证由定义, 注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散. 2、唯一性 定理2 每个收敛的数列只有一个极限. 证由定义, 故收敛数列极限唯一. 例5 证 由定义, 区间长度为1. 不可能同时位于长度为1的区间内. 3、子数列的收敛性 注意： 例如， 定理3 收敛数列的任一子数列也收敛且极限 相同 证 证毕 五、小结 数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想、精确定义、几何意义; 收敛数列的性质: 有界性、唯一性、子数列的收敛性. 思考题 证明要使只要使 从而由 得取 当 时，必有 成立 思考题解答 （等价） 证明中所采用的 实际上就是不等式 即证明中没有采用“适当放大
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