量子力学教案7.doc

第七章 自旋在较强的磁场下（），我们发现一些类氢离子或碱金属原子有正常塞曼效应的现象，而轨道磁矩的存在，能很好的解释它但是，当这些原子或离子置入弱磁场（1T）的环境中，或光谱分辨率提高后，发现问题并不是那么简单，这就要求人们进一步探索。大量实验事实证明，认为电子仅用三个自由度来描述并不是完全的。我们将引入一个新的自由度自旋，它是粒子固有的。当然，自旋是Dirac电子的相对论性理论的自然结果。现在我们从实验事实来引入。7.1 电子自旋存在的实验事实（1）Stern-Gerlach实验（1922年）当一狭窄的原子束通过非均匀磁场时，如果原子无磁矩，它将不偏转；而当原子具有磁矩，那在磁场中的附加能量为 如果经过的路径上，磁场在方向上有梯度，即不均匀，则受力 从经典观点看取值（从）,因此，不同原子（磁矩取向不同）受力不同，而取值 所以原子分裂成一个带。但Stern-Gerlach发现，当一束处于基态的银原子通过这样的场时，仅发现分裂成二束，即仅二条轨道（两个态）。而人们知道，银原子（）基态，所以没有轨道磁矩，而分成二个状态（二个轨道），表明存在磁矩，而这磁矩在任何方向上的投影仅取二个值。这磁矩既然不是由于轨道运动产生的，因此，只能是电子本身的（核磁矩可忽），这磁矩称为内禀磁矩，与之相联系的角动量称为电子自旋，它是电子的一个新物理量，也是一个新的动力学变量。（2）电子自旋存在的其他证据A碱金属光谱的双线结构 钠原子光谱中有一谱线，波长为5893，但精细测量发现，实际上，这是由两条谱线组成。这一事实，从电子仅具有三个自由度是无论如何不能解释的。B反常塞曼效应（Anomalous Zeeman effect）原子序数为奇数的原子，其多重态是偶数，在弱磁场中分裂的光谱线条数为偶（如钠和的两条光谱线，在弱磁场中分裂为条和条）。这种现象称为反常塞曼效应。不引入电子自旋也是不能解释的。C在弱磁场中，能级分裂出的多重态的相邻能级间距，并不一定为，而是。对于不同能级，可能不同，而不是简单为 (称因子)。根据这一系列实验事实，G. Uhlenbeck）（乌伦贝克）和S.Goudsmit（古德斯密特）提出假设 电子具有自旋，并且有内禀磁矩，它们有关系 电子自旋在任何方向上的测量值仅取两个值，所以 ，以为单位，则（而） 自旋的回磁比为 现在很清楚，电子自旋的存在可由Dirac提出的电子相对论性理论自然得到。考虑到辐射修正7.2 自旋微观客体的一个动力学变量既然电子有自旋，这表明描述电子运动的变量就不能仅取，还应有第四个变量，相应算符为。（1）电子的自旋算符和它的矩阵表示由于电子具有自旋，实验发现，它也具有内禀磁矩 所以，自旋这个动力学变量是具有角动量性质的量，当然它又不同于轨道角动量（仅取二个值，）。对于这样一个力学量，当然仍应用线性厄密算符来刻划它。于是我们假设：自旋算符有三个分量，并满足角动量所具有的对易关系。A. 对易关系 B. 由于它在任意方向上的分量测量仅取二个数值, ，所以 于是 是一常数C. 矩阵形式由于其分量仅取二个数值，也即本征值有二个，所以可用矩阵表示。1若选作为力学量完全集，即取表象，那在自身表象中的表示自然为对角矩阵，而对角元就是它的本征值 相应的本征矢 其对应的表示为，2在表象中的矩阵表示我们知道，这只要将作用于的基矢并以基矢展开，从展开系数来获得由 因此 由 即 同理可得 得系数矩阵为转置得而 系数矩阵为转置得对于在方向有 则本征矢 Pauli Operator；为方便起见，引入泡利算符 于是，在表象中有（或称Pauli表象） ， ， 称为泡利矩阵。的本征值为。， 由此得 于是有 为使我们对表象变换及算符矩阵表示以及由矩阵表示求本征值，本征矢有进一步性认识，我们作一些例子。例1求的本征值，本征矢因已知在表象中矩阵形式为 矩阵形式的本征方程为 要不同时为，系数行列式应为 对于 ， ， 例2表象变换对于两表象变换 , 显然，列，实为表象基矢在表象中的表示 我们知在自身表象为，所以，它在表象中表示为当然由的变换矩阵 （2）考虑自旋后，状态和力学量的描述A. 自旋波函数（电子的自旋态）对于的本征方程为 由于的本征值仅取, 在其自身表象 而相应本征态的表示为（即：，）， 是的本征值为的本征态在表象中的表示 是的本征值为的本征态在表象中的表示 显然正交， 对于任何一旋量在表象中，其表示为若是归一化的，则为以描述的电子处于的几率，即自旋向的几率。而和可由与标积获得 ( 即由表示计算振幅 ）B. 考虑自旋后状态的描述：由于电子除了之外，还有第四个动学变量，它的特点仅取二个值，而，所以，可在表象中表示体系波函数。仅有两个本征函数。因此，对于处于某状态的体系可按自旋波函数展开。 这即在表象中表示。如令 则在表象中的表示为 若是归一化的态矢量，则 代表体系处于而自旋向上的几率密度代表体系处于而自旋向下的几率密度如同一般变量可分离型一样，当对和是变量可分离型的，则其特解为 C考虑自旋后，力学量的表述 而在表象中 的表示为 而在表象中的表示为 方程在表象中可表为 事实上，直接由在表象中表示来获得 对任一算符的平均值为 例：求 在态矢量中的平均值解：在表象中表示 而 （3）考虑自旋后，电子在中心势场中的薛定谔方程A. 动能项 在非相对论极限下，电子的动能为 当计及电子的自旋后，波函数是两分量。并注意到我们有 而置于电磁场中时，则B自旋轨道耦合项由Dirac方程可以证明，当电子在中心力场中运动，哈密顿量（在非相对论极限下）中将出现自旋轨道耦合项（Thomas项）（核提供的库仑屏敝场和自旋的作用导致） ， C电子置于电磁场中的哈密顿量 D.处于中心场中的电子，并置于电磁场中的薛定谔方程为 应该注意，在表象中，这时是两分量的，即 （1，2，3项是对角矩阵）7.3 碱金属的双线结构引进电子自旋后，我们就能够利用量子力学理论来解释原子光谱中的复杂结构及在外电磁场中的现象。（1）总角动量A. 总角动量引入：当考虑电子具有自旋后，电子在中心力场中的 Hamiltonian为 由于自旋轨道耦合项，和都不是运动常数例： 因此，()不能构成力学量完全集。(与不对易)但 即 引入 当然 而 由于有心势 可证：由上述可见，当计及自旋轨道耦合后，不再是运动常数，代之是运动常数（在中心场下）所以，可选为力学的完全集（如无项，可选）B. 的共同本征矢的表示（在表象中） 1. 它是的本征函数 这表明 取 2它们是的本征函数 因此 3由 而 在表象中矩阵表示 于是有 要求不同时为，则其系数行列式为， 得 即得的本征值为 当给定 ， 于是有 由此可见，取确定值，而不具有确定值，它们取值为 可见，由自旋为态和轨道角动量为的态可以耦合为总角动量为和的态显然，态的数目是一样多的 事实上，上述就是基矢以基矢展开，即 即从表象 表象 B表象 A表象a,b就是平常称的幺正变换系数 人们习惯称为clebsch-Gordan coefficients（它们形成维的幺正矩阵）。自旋和轨道角动量的耦合是两角动量耦合的特例。于是在中心势中，考虑了电子的自旋，则其特解 例：电四极矩电四极矩算符在原子物理和原子核物理中，测量的电四极矩给出的值的定义为 （对于一个电荷均匀分布的带电体，其大小，符号，反映了体系的形状）先看 由 而 注意到与自旋无关，而是正交的 由此可见，时，。这是由于算符是角动量为的算符。当它作用于后，态将从当，则将 ，所以与正交。因此，这时在带电体外，显示“电荷”是球形分布。（2）碱金属的双线结构碱金属原子有一个价电子，它受到来自原子核和其他电子提供的屏蔽库仑场的作用。 价电子的哈密顿量为 如选力学量完全集（运动常数的完全集）则 由于 可表为 因为吸引势 所以。随而（单调上升），于是 因此，根据Hellmann-Feynman定理可证 原来能级 这即观测到纳光谱的双线结构。7.4 两自旋为的粒子的自旋波函数。 A. 表象中两自旋为的粒子的自旋波函数设：两粒子的自旋分别为，显然，如选表象则可能的态为B. 表象中两自旋为的粒子的自旋波函数如令 则满足角动量的对易关系并有 可选表象由 （推论：无论多少幂次，都能化为，可化为） 令 是的本征态则 ，于是有 这时有 个态 而 由 （对于） 因此 当 是交换算符 因此 我们称 为自旋三重态 （对称的）为自旋单态 （反对称的）当两自旋为的全同粒子，其相互作用对空间坐标和自旋变量是变量可分离时，则特解为 但是，这并不是体系可处的状态。微观世界还有一重要规律，使体系波函数不可任意选择，这就是微观粒子的全同性问题。C. Bell基若 ， 。 因，可选的共同本征态作为两自旋为粒子的自旋波函数 7.5 全同粒子交换不变性波函数具有确定的置换对称性各种微观粒子有一定属性，具有一定质量、电荷、自旋，人们根据它的属性的不同分别称为电子，质子，介子，等等。实验证明，每一种粒子，都是完全相同的（如两个氢原子中的质子或电子都一样）经典物理中，我们习惯称这是电子，那是电子，它们在外力作用下，按自己的轨道运动，我们在任何时刻都能跟踪它，我们不会误认电子为电子。即按轨道来区分同一类粒子。但从量子力学的观点来看，情况就发生变化。它的描述不能用轨道概念，而只能用波函数。根据波函数来描述出现在 的体积之中几率大小；或根据一些力学量完全集来描述粒子所处状态。即个粒子处于态；个粒子处于态，或这些态的叠加态上。但它不可能告诉你，那一个粒子处于态，那一个粒子处于态。如 是可能的二种态，对它进行测量是分不清两者的差别。它们每一个都不能用于对二个全同粒子的描述。全同粒子交换是不可观测的。（1）交换不变性设：氦原子的两个质子固定不动，那么描述氦原子中的两个电子组成的体系，其哈密顿量为 若 为粒子交换算符，将 ，则 由于任意，所以 若 是交换不变，即 则 是运动常数（若是交换不变）或如此看，由于体系具有交换不变性，所以经交换后演化到，应等于演化到再进行交换，即 由于的任意性，所以 由于任意 即 则是运动常数若是的本征态，则 ， 因此，有两种态，一种是交换下不变，则为对称态；另一种是交换下改号，则为反对称态。 显然 由于它是运动常数，因此，一开始，体系处于置换对称态时，那以后任何时候都处于这态下与其他运动常数有本质不同之处是：体系要么处于对称态，要么处于反对称态。这是粒子本身所固有的特性。而不是人们能够人为地给一个初条件，让体系处于一个没有确定的置换对称性的状态下。所以，下面一些结论是重要的：A. 由于是一运动常数，因此一开始体系处于某种交换对称态下，则以后任何时刻都处于这态下；B. 与其他运动常数有本质不同之处在于，体系要么处对称态，要么处于反对称态。这是粒子固有的属性，而不是人为地给初条件所致；C. 实验表明：具有自旋为半整数的粒子体系，当两粒子交换，波函数反号，即处于反对称态；而自旋为整数的粒子，两者交换，波函数不变，即处于对称态。在统计物理学中，具有自旋为的半整数的粒子作为单元构成的体系，遵守Fermi-Dirac统计（称为Fermion）。具有自旋为的整数倍的粒子作为单元构成的体系，遵守Bose-Einstain统计（称为Boson）. (2) 全同粒子的波函数结构，泡利原理： 忽略粒子间的相互作用，则个全同粒子的哈氏量为单粒子哈氏量之和 显然，对任何一粒子，其哈氏量的形式完全相同 单粒子的能量本征方程为 它的一个特解为 但它不能作为体系的态函数，因体系真正的态函数必须满足一定的交换对称性。AN个费米子的波函数，泡利原理由于费米子的波函数交换一对费米子是反对称的，因此，它可以如此来构成：取 作为标准排列。 是经过某一置换 来实现由于对换（transposition）一对粒子，波函数改号。而对某一置换（Permutation）它相应的对换数的奇偶性是一定的。因此，置换后的这一项的符号与标准排列项的符号差别取决于该置换的对换数的奇偶性。如 所以有5个对换，其符号为负号。对3个粒子：某一置换，即有一个对换，所以为负号。当然可经三个对换设一个置换对应的对换数为，则真正的波函数应为 这即行列式定义 例如：对N2 可以看出，任意两个粒子交换（即两列交换）改号；若与态是完全相同的态，那（即两行交换）。这表明，对两个全同的费米子不能处于这种态中。于是我们有下面的原理：泡利原理（pauli exclusion principle）：在客观实际的体系中，没有两个或多个全同费米子可处于一个完全相同的单态中（或：全同费米子体系的态中，具有同样量子数的单态不大于1）对于个粒子，有项（有个置换），而每一项中，费米子处于这个单态上的分布是不同的，因此各项之间是正交的。 所以，对于个无相互作用的全同费米子体系的归一化反对称波函数为B个全同玻色子的波函数由于玻色子波函数相对两全同玻色子对换是对称的，即不变号： 由于玻色子不受泡利原理限制，因此处于同一单态上的玻色子可以是任意多个。所以，如果态中具有相同的有个；具有相同单态有个；具有单态中的玻色子有个。 于是上述置换虽具有项，但有些项是相同的。如个态的粒子进行置换，所得项是相同的，而这相同项有，同理个态的粒子置换，所得项相同，而这有项所以，个玻色子的某一种排列有 个相同项。所以，不同单态交换的排列的数应为 例如： 有二个在态，一个在态。 有三个不同分布另一种写法： 有项 （3）全同粒子的交换不变