圆锥曲线数学-高考二轮复习.ppt

2009年高考圆锥曲线第二轮 复习建议 拖一高 赵亚 丽 2009.3 一、高考怎么考 1、教学大纲和考试大纲要求 2、知识类型及命题特点 3、真题回顾 二、我们怎么做 1 、立足一本两纲，回归课本，狠抓双基 2 、立足数学思想方法、着眼通性通法，指导学生 解题 3、立足高考题型，研究热点，强化基本题型 1.1 教学内容（18课时） （1）椭圆定义及其标准方程、椭圆的简单几何性质、椭 圆的参数方程； （2）双曲线定义及其标准方程、双曲线的简单几何性质； （3）抛物线定义及其标准方程、抛物线的简单几何性质。 1.2 教学目标 （1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质； 理解椭圆的参数方程； （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何 性质； （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何 性质； （4）了解圆锥曲线的简单应用； （5）结合教学内容，进行运动、变化观点的教育。 1.3 考试内容： （1）椭圆的定义、标准方程、椭圆的简单几何性质 、 椭圆的参数方程； （2）双曲线的定义、标准方程、双曲线的简单几何 性质； （3）抛物线的定义、标准方程、抛物线的简单几何性 质。 1.4 考试要求： （1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质， 理解椭圆的参数方程； （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何 性质； （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何 性质； （4）了解圆锥曲线的初步应用。 2.1 考查的知识类型 2007 卷别 理科文科 题号载体曲线考查内容题号载体曲线考查内容 全国倒2椭圆最值同理科 全国倒3圆向量同理科 北京倒4圆、双曲线轨迹同理科 天津倒1椭圆轨迹倒1圆、椭圆 安徽倒3抛物线最值倒3抛物线最值 江西倒2双曲线向量、轨迹倒1双曲线轨迹 湖北倒3抛物线最值、定值同理科 湖南倒2双曲线向量、定值倒2双曲线向量、轨迹 四川倒3椭圆向量、最值倒3椭圆向量 重庆倒1椭圆定值倒1抛物线焦点弦、定值 浙江倒3椭圆最值同理科 福建倒3抛物线向量、轨迹倒2抛物线向量、最值 辽宁倒3圆、抛物线最值同理科 江苏倒3抛物线向量同理科 陕西倒2椭圆最值同理科 山东倒2椭圆定点同理科 广东倒4圆、椭圆同理科 宁/海倒4椭圆向量、存在性倒4圆向量、存在性 上海倒1椭圆新定义、中点倒2椭圆新定义、最值 07年全国及各省（市）卷圆锥曲线试题的主要信息 2008 卷别别 理科文科 题号载体曲线考查内容题号载体曲线考查内容 全国倒2双曲线弦长、向量 同理科 全国倒2椭圆向量、最值倒1同理科 北京倒2椭圆最值倒2椭圆最值 天津倒2双曲线弦长倒1同理科 重庆倒2椭圆轨迹倒2双曲线轨迹 四川倒2椭圆向量、最值倒1椭圆向量、最值 辽宁倒3椭圆向量、弦长倒2椭圆向量、弦长 浙江倒3抛物线定义、轨迹倒1同理科 福建倒2椭圆焦点弦倒3椭圆最值 陕西倒3抛物线向量、中点弦倒2同理科 湖北倒3双曲线、圆轨迹、最值倒2双曲线最值 湖南倒2抛物线最值、存在性倒3椭圆对称性 安徽倒1椭圆轨迹、面积倒1椭圆轨迹弦长、最 值 江西倒2双曲线轨迹倒1抛物线存在性 江苏倒3圆、抛物线定点 同理科 山东倒1抛物线向量、存在性倒1椭圆轨迹、最值 广东倒4抛物线、椭圆存在性倒2同理科 宁/海倒3抛物线、椭圆向量倒4圆 上海倒2抛物线、椭圆轨迹倒2椭圆向量、对称性 08年全国及各省（市）卷圆锥曲线试题的主要信息 其中考查的知识主要有5大类型： （1）圆锥曲线定义的运用； （2）圆锥曲线的几何性质； （3）圆锥曲线方程； （4）直线与圆锥曲线位置关系； （5）轨迹问题。 2.2 命题特点 综观07、08年高考数学试题，圆锥曲线这块内容命题 与前几年相比较，仍着眼在一个“稳”字上，具体体现在以 下几个方面： 1、题量、分值、难度基本保持相对稳定 对比07年、08年的高考试卷，每份试卷涉及圆锥曲线 内容的解答题大多依然维持1个的格局。其中大部分省市的 文理科试卷中，该题文理科一样的，文科题位置比理科题 位置靠后；不一样的文科题比较容易。所有试卷均注重用 代数观点研究几何问题，体现交会特色，强调综合运算能 力。 2、考查题型、内容不避热点 以圆锥曲线的定义、方程、离心率、焦点、准线、 渐近线为命题的基本元素，在与圆锥曲线自身多知识点 的综合、或与向量、导数、立体几何、函数、三角、不 等式等内容的交会处设置的有关求参数范围、最值、过 定点、求面积或存在性问题成为数学高考命题的主流。 3、考查解析几何的基本数学思想方法 几何问题代数化思想、曲线与方程思想、消元思 想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想; 在07、08年数学高考试卷圆锥曲线内容的考查中体现 的淋漓尽致。 3 08年真题回顾 3.1 轨迹或曲线方程问题： 此类问题重点考查学生用坐标法或定义法求动点 的轨迹方程的能力、待定系数法求已知曲线方程的能 力以及考查学生几何问题代数化的思想方法。如：全 国（I）（文、理），安徽（文），安徽（理），广东 （文，理），湖北（理），江西（理），辽宁（文） ，山东（文），浙江（文，理），重庆（文，理）均 涉及轨迹方程问题或圆锥曲线标准方程问题。 例1(2008全国卷文、理)双曲线的中心为原点o ，焦点在x轴 上，两条渐近线分别为 ，经过右焦点F垂直于 的 直线分别交 于A、B两点已知 成等差 数列，且 与 同向 （）求双曲线的离心率； （）设直线AB被双曲线所截得的 线段长为4，求双曲线的方程 y o A B F l2 l1 x 本题以双曲线为载体，结合数列、向量等知识，考 查学生对双曲线的标准方程、渐进线、离心率、弦长公 式等基础知识的掌握情况及数形结合的能力。 3.2 最值问题 最值问题常采用设好自变量，建立目标函数，再求 函数的最值的方法。如08年高考卷中安徽（文），北京 （文），北京（理），福建（文），全国（II），山东 （文），四川（文），四川（理）均是涉及最值问题， 解决此类问题一般利用三角函数有界性、函数单调性及 基本不等式等知识求解。有时也利用图形几何意义求解 。 例2（2008安徽文）设椭圆 ，其相应于焦点 F(2,0)的准线方程为x=4。 （）求椭圆的方程； （）已知过点 倾斜角为的直线交椭圆于两点， 求证： （）过点F1(-2,0)作两条互相垂 直的直线分别交椭圆C于A、B和D、 E,求 的最小值。 此题主要考查学生对椭圆的标准方程、几何性质、第 二定义、弦长公式、三角函数公式的掌握程度及数形结合 的能力。 3.3 面积问题 以三角形，四边形为对象，研究它们的面积问题，也 是08年高考试卷中的热点问题,如：北京（理），福建（文 ），湖北（文），湖北（理），全国（II），山东（文） 等省市的试卷均涉及求平面图形的面积问题，此类问题主 要考查学生对面积公式，弦长公式及点到直线距离公式的 掌握程度。有时也会结合图形，用分割的方法求多边形的 面积。 例3（2008北京理）已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆 上 ，对角线BD所在直线的斜率为1。 （）当直线BD过点(1,0)时，求直线AC的方程； （）当 时，求菱形ABCD面积的最大值。 本题主要考查学生对直线方程、直线垂直、弦长公式 、中点公式、菱形的性质及面积公式等知识的掌握及二次 函数在给定区间的最值问题。但要注意直线与椭圆相交这 一隐含条件的挖掘。 x AB D C y o 3.4 存在性问题 为考查学生的猜想，推理和探索能力，近几年全国各 地的数学高考试卷在圆锥曲线这部分内容上设置了一系列 的存在性问题，给原本静态的问题赋予了动态活力，使问 题更具开放性，对学生的考查更直观，区分度更大。如： 广东（文，理），湖南（理），江西（文），山东（理） ，陕西（文，理）。 例4(2008广东文、理)设b0，椭圆方程为 ，抛物线方 程为 ，过点F(0,b+2)作 x轴的平行线，与抛物线 在第一象限的交点为G.已知抛物线在点G的切线经过椭圆 的右焦点 。 (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2)设A,B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线 上是否存在点P，使得ABP为直角三角形？若存在，请 指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些 点的坐标）。 本题主要考查直线、椭圆、抛物线等平面解析几何 的基础知识，考查学生综合运用数学知识进行推理的运 算能力和解决问题的能力。 第（1）问求椭圆与抛物线的方程是解析几何考查的 “热点”，利用代数法去解决几何问题的思想方法，利用 导数的运算工具就能求得，难度系数不大； 第（2）的设计是本题的亮点，通过一个开放性问题 ，考查学生分类讨论的数学思想方法，在考虑APB为 直角时，考查了学生利用向量的工具性作用的能力以及 关于一元二次方程根的特征判别的能力。 3.5 与向量、导数等综合的问题 以圆锥曲线为载体，利用向量的平行、垂直关系、 点积公式、夹角公式、定比分点坐标公式及导数的几何 意义、导数公式等基础知识，发挥向量与导数的工具性 作用是近几年高考的热点。 08年19套高考试卷中海南宁夏(理)、四川(文、理)、 山东（理）、安徽（理）、辽宁（理）、全国I(理)、全 国卷II(文) 、上海(文) 等都在圆锥曲线与导数、向量的交 会处设计了解答题。 例5(2008海南、宁夏理) 在直角坐标系xOy中，椭圆C1： 的左、右焦点 分别为F1、F2。F2也是抛物线C2： 的焦点，点M为C1 与C2在第一象限的交点，且 。 （1）求C1的方程； （2）平面上的点N满足 ，直线lMN，且与C1 交于A、B两点，若 =0，求直线l的方程。 M F1 F2 A 0 y x B l 本题第（2）问以向量的形式引进条件，利用向量的 坐标运算将“形”、“数”紧密联系在一起，既考查了向量的 几何特点，又发挥了向量的工具性作用，同时也让学生明 白韦达定理是解决直线与圆锥曲线位置关系的通性通法。 2.1 立足一本两纲，回归课本，狠抓双基 教师在对教学大纲与考试大纲进行深入研究后 ，要立足对本专题基础知识（圆锥曲线定义、圆锥曲线方程 、圆锥曲线几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等等）和 基本方法（比如用定义法、直接法、代入法、向量法、消参 法、交轨法求轨迹方程；用焦半径公式求弦长等等）的复习 。深化对基本概念、性质与基本方法的理解与掌握，重视知 识间的内在联系，特别是知识交会点要重点掌握。同时要指 导学生回归课本，重视课本的例题和习题。近几年圆锥曲线 部分高考试题都源于教材又高于教材，这是高考的一个命题 趋势。 如教研室二轮专题资料42页 例6 已知双曲线 （ab0）的左右焦点分别为F1、 F2 、P为双曲线左支上一点，P到左准线的距离为d。 （1）若双曲线的一条渐近线是 ，问是否存在点P使 d、 、 成等比数列？若存在，求出点P坐标；若不 存在，说明理由。 （2）在已知双曲线的左支上使d 、 、 成等比数列的 点P存在时，求离心率e的取值范围。 此题显然是利用双曲线的几何性质与焦半径公式， 及等比数列知识解决点的存在性问题。从类型上看是存 在性问题，从知识上看，既考查圆锥曲线的定义、几何 性质，又考查圆锥曲线与数列知识的综合应用。这与我 们08年的高考题是异常相似。 教师在复习中可对每个章节的典型例题做出要求，让学生 们人人过关。对解决某些问题的基本方法（比如用圆锥曲线定 义解决与焦点有关的问题；用韦达定理解决直线与圆锥曲线位 置关系等等）、常见的变形思路以及这部分的知识可能与哪些 知识有联系，印成讲义发给学生，让学生对这章学习内容再作 一次强化，以达到巩固双基的目的。 2.2 立足数学思想方法、着眼通性通法、指 导学生解题 曲线与方程思想、数形结合思想、化归转化思想、分 类讨论思想是解析几何的灵魂，考查学生对数学思想方法 的掌握程度，在这两年数学高考中尤显突出。教师可以以 专题的形式在复习过程中给予学生在这些数学思想方法上 的渗透，同时要注重培养学生用通性通法去解题，淡化特 殊技巧，达到优化解题思维、简化解题过程的目的。 例如直线与圆锥曲线的位置关系是高考的重中之重 ，韦达定理是解决此类问题的通性通法，要教会学生善 于运用“三个二次”的有关知识（如韦达定理、判别式、 实根分布等），方程思想、消元思想是解决此类问题的 常用数学思想方法。直线与圆锥曲线相交的解答题的解 题步骤如下： 又比如弦长问题也是高考的热点问题，主要有三类 ： 一般弦问题：主要考虑韦达定理和弦长公式 焦点弦问题：主要考虑焦半径公式和圆锥曲线的 第二定义 中点弦问题：主要考虑点差法和韦达定理 老师要指导学生学会根据题目提供的信息，判定是 哪种弦长问题，这样才能利用所学知识解决问题。 根据问题中显性条件或隐性条件构建各变量的不等 式组。如利用圆锥曲线的有界性、判别式、二次方程根的 分布、点与曲线的位置关系； 根据变量间的关系，构建变量的目标函数，通过求 函数的最值或值域来确定； 根据平面几何性质求变量的最值。为了提高学生对 重要数学思想方法及通性通法掌握的熟练程度，一定要做 到精讲精练，同时针对学生的作业中出现相似错误的题型 可采用题组式讲评、对一些重要题，采用一题多解、一题 多变方式讲评，以提高课堂效率。 又如求变量的范围和最值问题在2008年高考中出现有 10道之多，这类问题涉及面广、条件隐蔽、能力要求高， 这就要求教师在平时复习中要做到给学生渗透这样的思路 ： 例7(2008湖北理)在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中 ，ODAB，P是半圆弧上一点，POB=30，曲线C是满 足|MA|-|MB|为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P。 （）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程； （）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F。 OEF的面积不小于2，求直线l斜率的取值范围。 本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的 基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合 解题能力。 （）解法1：以O为为原点，AB、OD所在直线线分别为别为 x轴轴 、y轴轴，如图图建立平面直角坐标标系，则则A（-2,0），B（2,0 ），D(0,2)，P（ ) 依题题意得 MA-MB=PA-PB 曲线线C是以原点为为中心，A、B为为焦点的双曲线线.设实设实 半轴轴 长为长为 a，虚半轴长为轴长为 b，半焦距 为为c ，则则 c2，2a2 a2=2,b2=c2-a2=2.曲线线C的方程为为 AB=4. BAO X Y P D ()解法1：依题题意，可设设直线线l的方程为为ykx+2，代入双曲线线C的方程并整理得 （1-k2）x2-4kx-6=0. 直线线l与双曲线线C相交于不同的两点E、F k 设设E（x，y），F(x2,y2)，则则由式得 于是|EF| 而原点O到直线线l的距离d SDEF= 由SOEF则则 综综合知直线线l的斜率的取值值范围为围为 解法2：依题题意，可设设直线线l的方程为为ykx+2，代入双曲线线C的方程并整理， 得（1-k2）x2-4kx-6=0. 直线线l与双曲线线C相交于不同的两点E、F 设设E(x1,y1),F(x2,y2),则则x1-x2= 当E、F在同一支上时时 （如图图1所示）