湖南城市学院-随机过程讲.ppt

第二章 相关理论与二阶矩过程 v随机过程的基本类型 v随机过程的均方微积分 v随机过程的遍历性 随机过程的几种基本类型 二阶矩过程 正交增量过程 独立增量过程 马尔可夫过程 正态过程 维纳过程 平稳过程 二阶矩过程 定义： 设X(t),tT是零均值的二阶矩过程，若对任意的t10，且其条件分布 则称X(t),tT是马尔可夫过程。 马尔可夫性 系统在已知现在所处状态的条件下，它将来所处的状态与过去所处 的状态无关。 马尔可夫过程 定义： 设X(t),tT是随机过程，若对任意正整数n及t1,t2, ,tnT， (X(t1),X(t2), ,X(tn)是n维正态随机变量，则称X(t),tT是正态过程 或高斯过程。 特点： 1. 在通信中应用广泛； 2. 正态过程只要知道其均值函数和协方差函数，即可确定其有限维 分布。 正态过程 定义： 设W(t),-0 则称W(t),-0 ，且Y, Z相互独立，EY=EZ=0， DY=DZ=2，试讨论随机过程X(t), t0的平稳性。 解 所以X(t)，t T 为宽平稳过程。 vv例例2.22.2 设Xn,n=0, 1, 2,是实的互不 相关随机变量序列，且EXn=0，DXn =2 ，试讨论随机序列的平稳性。 解 因为EXn=0， 所以Xn,n=0, 1, 2,是平稳随机序列 。 vv例例2.32.3 设状态连续、时间离散的随机过 程X(t)=sin(2 t)，其中 是(0,1)上的 均匀分布随机变量，t只取整数值1,2, ，试讨论随机过程X(t)的平稳性。 解 所以X(t) 是平稳过程。 联合平稳随机过程 设X(t)，t T 和Y(t)，t T 是两个 平稳过程，若它们的互相关函数 EX(t)Y(t-)及EY(t)X(t-)仅与有关 ，而与t无关，即 RXY(t, t-)=EX(t)Y(t-)=RXY() RYX(t, t-)=EY(t)X(t-)=RYX() 则称X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。 命题：当X(t)和Y(t)是联合平稳随机过 程 时，W(t)=X(t)+Y(t)是平稳随机过程。 事实上，EW(t)=EX(t)+EY(t)=常数， vv例例2.42.4 设X(t)=Asin(t+ )， Y(t)=Bsin( t+ -)为两个平稳过程， 其中A,B, 是常数， 是(0,2)上的均匀分布随机变量， 证明：X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。 证明： 所以X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。 随机过程的均方微积分 v微积分中普通函数的连续、导数和积 分等概念推广到随机过程的连续、导 数和积分上即随机分析 定义2.5：设有二阶矩随机序列Xn和二阶矩 随机变量X，若有 成立，则称Xn均方收敛于X。 记作 或 (mean square) (limit in mean) 定义2.1： （柯西收敛定理） 二阶矩随机序列Xn收敛于二阶矩随机变 量X的充要条件是 定义2.2：设Xn, Yn, Zn,都是二阶矩 随机序列，U是二阶矩随机变量，cn 为常数序列，a,b,c为常数，令 则(1) (2) (3) (4) (5) (6) 定义2.3： 设Xn 为二阶矩随机序列，则 Xn均方收敛的充要条件是下列极限存在 定义2.6：设有二阶矩过程X(t),tT， 若对每一个tT ，有 则称X(t)在t点均方连续，记作 若对T中的一切点都均方连续，则称 X(t)在T上均方连续。 定义2.4： （均方连续准则） 二阶矩过程X(t),tT，在t点均方连续 的充要条件为相关函数RX(t1,t2)在点 (t,t)处连续。 推论 若相关函数RX(t1,t2)在(t,t)， tT上连续，则它在TT上连续。 定义2.7：二阶矩过程X(t),tT，若存 在随机过程X(t)，满足 则称X(t)在t点均方可微， 记作 并称X(t)为X(t)在t点的均方导数。 v若X(t)在T上每一点均方可微，则称 X(t)在T上均方可微。 v类似地可定义二阶均方导数 v相关函数RX(t1,t2)的广义二阶导数定义 为 定义2.5： （均方可微准则） 二阶矩过程X(t), tT，在t点均方可 微的充要条件为相关函数RX(t1,t2)在点 (t,t)的广义二阶导数存在。 推论1 二阶矩过程X(t),tT 在T上均 方可微的充要条件为相关函数RX(t1, t2) 在(t, t)，tT上每一点广义二阶可微 。 推论2 若相关函数RX(t1,t2)在(t,t)， tT上每一点广义二阶可微，则 v均方积分 v设X(t),tT为二阶矩过程，f(t)为普通 函数，其中T=a,b，用一组分点将T划 分如下：a=t0t1tn=b， 定义2.8：如果当n0时，Sn均方收敛 于S，即 ，则称 在区间a,b上均方可积，并记为 定义2.6： （均方可积准则） f(t)X(t)在区间a,b上均方可积的充要 条件为 存在，特别地，二阶矩过程X(t)在区间 a,b上均方可积的充要条件为RX(t1,t2) 在a,ba,b上可积。 定义2.7：设 f(t)X(t)在区间a,b上均方 可积，则有 (1) (2) 定义2.8：设二阶矩过程X(t),tT 在区 间a,b上均方连续，则 在均方意义下存在，且随机过程 Y(t),tT在区间a,b上均方可微，有 Y(t)=X(t)。 推论 设X(t)均方可微，且X(t)均方连 续，则 vv例例2.52.5 设 X(t), tT 是实均方可微过 程，求其导数过程X(t), tT的协方 差函数BX (s, t)。 解：由定理2.5推论2(1) 由定理2.6推论2(4) 所以 随机过程的遍历性 定义2.9 设 X(t), -t 是均方连续的 平稳过程，则 时间均值 时间相关函数 定义2.10 设 X(t), - t 是均方连续 的平稳过程， 若 则称平稳过程的均值具有遍历性； 若 则称平稳过程的相关函数具有遍历性。 定义2.11 如果均方连续的平稳过程 X(t), -t的均值和相关函数都具 有遍历性，则称该平稳过程具有遍历 性。 例例2.62.6 设随机相位过程X(t)=acos(t+ )，a, 为常数， 为服从(0,2)上均匀 分布的随机变量，讨论X(t)的遍历性。 解 例例2.72.7 讨论随机过程X(t)=Y的遍历性， 其中Y是方差