小波变换课件ch3多分辨分析与正交小波的构造.ppt

第三章 多分辨分析与 正交小波的构造 3.1 多分辨率分析 3.1.1 的小波空间分解 l如果有一个正交小波，它的二进尺度伸缩平移 函数族 将构成中的正交规范基。 l进而任何函数 可以展开为二重求和的 小波级数: l进而有 l 是信号 中含有的以第j级小波的平移 函数族为基的展开式, 可简称为 的第 j 级 小波分量 l第j级小波空间 l如果 是正交小波，则 l 的小波空间分解理论上是完美的， 实践中是行不通的 小波级数的双重无限和难以实现 l无穷级数表达式是否有可能用有限求和范围作 近似处理？ k 表征平移位置，只须在有限范围内取值 j 对应信号的某一频率范围，在正整数域中 取值的上界总是有限的，在负整数域中取值至 - 是不可避免的 lJ 级尺度空间 l尺度空间的性质 潜套性 完备性 稠密性 互补性 尺度性质 3.1.2 尺度空间的定义和性质 逼近性 l尺度函数 如果函数 的平移族是空间V0的Riesz基 则称 为一个尺度函数。 l目标：下式成立 (3.1.13) l定理3.1: 如果 是 空间的Riesz基,并且 它和小波函数 存在如下关系 则式(3.1.13)成立 二尺度关系 l具有潜套性，完备性，稠密性，互补性， 尺度性质的空间序列 称为由尺度 函数 生成的一个多分辨率分析(MRA) l对于一幅图像，量化级数决定了图像的分辨率，量化 级数越高，图像就越清晰，即图像的分辨率高。对于 任意一幅图像，都可以用不同的量化空间来表示，细 节比较丰富的部分用高分辨率来表示，细节比较单一 的部分可用低分辨率来表示。 l 我们可以将不同的量化级数构成的空间看成不同的多 分辨空间Vj，显然这些量化空间是相互嵌套的，从图 像处理的角度，多分辨空间的分解可以理解为图像的 分解，假设有一幅256级量化的图像，不妨将它看成 量化空间Vj中的图像，则 可理解为Vj空 间中的图像有一部分保留在Vj-1空间中，还有一部分 放在Wj-1空间 Vj Wj-1 Vj-1 小波空间是两个相邻尺度空间的差，也就是说空间Wj包含了函数f投影 到尺度空间Vj与Vj-1间的细节差别，因此小波空间有时又称为细节空间。 3.1.3 基于正交尺度函数和小波 函数的分解 为了生成一个MRA，在小波函数已经确定的情 况下，需要构造与之对应的尺度函数。反之， 如果已知尺度函数， 则需要构造与之对应的 小波函数 MRA中特殊情况： l正交尺度函数 l正交小波函数 l小波函数与尺度函数正交 l在上述前提下，小波级数可改写为 V0空间 Vj空间 3.2 正交小波构造的理论基础 l二尺度关系的频域表达 1 尺度函数完全由二尺度关系中的序列hk确定 l从信号处理的角度，h是与(t)对应的低通滤波器， g是与(t) 对应的高通滤波器 lh，g既可以表示为时域上的离散序列形式 hk，gkkZ，也可以表示为频域上的2周期函数 h()，g()。两者本质上是一样的。 lRiesz条件的频域表达（定理3.2) 如果函数 满足Riesz条件 那么 满足下列不等式， 反之亦然。 l定理3.3 的平移族 构成空间 的 正交规范基的必充条件是 l推论3.1 根据定理3.2和3.3, 可推出如下结论: 如果 是尺度空间 的Riesz基，那么由 所确定的函数 的平移族 是同一尺度空间的正交规范基。 Poisson公式 利用Poisson公式可以得到部分定理的证明 l定理3.4 平移族是 的正交规范基的充要条件 是 满足 l定理3.5 当 ， 有 l定理3.6 小波函数 的平移族能够张成 在 空间中 正交补 的充要条件是它对应的 满足 构造正交小波的基 本条件 l定理3.7 在 满足构造正交小波的基本条件(3.2.11) ，取 （3.2.16) 则(3.2.13)和(3.2.14)式成立。 l推论3.2 (3.2.16)式等价于 尺度函数 与小波函数 的对比 l定义： l时域二尺度关系： l频域二尺度关系 l系数之和 l递推关系 l频域初值 正交尺度函数的构造 尺度空间的Reisz基 正交尺度函数 性质？ 问题: 不是 的规范正交基. 目标: 构造一个小波,使 构成的规范正交基. 正交小波函数的构造 令 , 则 的标准正交基. 是 构成的标准正交基。 即是一个小波 。 是一个正交小波 。 MRA时域求解过程： 频域求解过程： 构造正交小波的方法 3.3 B_样条函数 lm 阶B_样条函数可由递推定义为 B_样条函数的基本性质： l 非负性 l紧支撑 lFourier变换 l整数节点上的值之和为1 l微分性质 l插值公式 l对称性质 以m/2为对 称中心 平移m/2 l B_样条函数的尺度函数性质 定理3.8 是 中的Riesz基。 3.4 利用B_样条函数构造正交小波 l从B_样条函数的正交化入手, 可按如下步骤构 造正交小波函数 ： Step1 利用正交化公式计算 ,并进行IDFT得 M=8; Nm=zeros(M,M+1);%行表示m次样条，列表示整数k:0M Nm(2,2)=1; for m=3:M for k=2:M Nm(m,k)=(k-1)*Nm(m-1,k)/(m-1)+(m-k+1)*Nm(m-1,k-1)/(m-1); %此处系数k减1是因为第k列代表得是整数k1 end end Nm = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5000 0.5000 0 0 0 0 0 0 0 0.1667 0.6667 0.1667 0 0 0 0 0 0 0.0417 0.4583 0.4583 0.0417 0 0 0 0 0 0.0083 0.2167 0.5500 0.2167 0.0083 0 0 0 0 0.0014 0.0792 0.4194 0.4194 0.0792 0.0014 0 0 0 0.0002 0.0238 0.2363 0.4794 0.2363 0.0238 0.0002 0 Step2 求 和 Step3 求 和 Step4 求正交小波函数 IFT 3.5 紧支撑正交小波的构造 l非严格意义上的紧支撑小波一方面会引入误差 ，另一方面也使分解和重构的计算量比较大。 lDaubechies于1988首先实现了紧支撑正交小 波的构造，其基本思路就是沿图3.1左侧所示 的途径 。 预备定理 l定理3.9 对于任何一个实的余弦多项式 总可以分解为 和 的乘积，这里 是一个实系数的关于 的多项式。 l定理3.10 存在唯一的一对阶次不高于N-1的多项式 和 ，使 成立。并且这一对多项式满足 l定理3.11 上式唯一的阶次不高于N-1的多项式解是 （3.5.14） l构造紧支撑小波的步骤： Step1 对于选定的正整数N，由(3.5.14)式得到相 应的 ； Step2 再利用欧拉公式将它转化为含 的各次幂 的多项式，然后以 代换得到相应的Z多 项式 ； Step3 对 求根并按预备定理所述的方法对 作因式分解，再用 代换得到 ； Step4 最后利用公式 得到一个能满足正交条件的 。 3.6 利用序列 计算 的 迭代算法 Step