上海海事大学概率论第三章(1).ppt

第三章 多维随机变量及其分布 3.13.1 二维随机变量二维随机变量 到现在为止，我们只讨论了一维随机变 量及其分布。 但有些随机现象用一个随机变 量来描述还不够，而需要用几个随机变量来 描述。 在射箭时,命中点的位置 是由一对坐标( X, Y )来确定 的。 飞机的重心在空中的位置是由三 个r.v ( X，Y，Z ）来确定的。 一般地，我们称n个随机变量的整 体 X = (X1 , X2 , ，Xn ) 为n 维随机变 量或随机向量。以下重点讨论二维随机 变量。 请注意与一维情形的对照 。 设是随机试验E的样本空间, 若 定义 则称 ( X , Y )为二维随机向量或二维 随机变量。 设( X , Y )是二维随机向量, 对于 任意实数 x , y 二元函数： 定义 称为二维随机变量( X , Y )的分布函数。 ( x, y) x y ( X , Y ) 基本性质 1. F(x , y )是 x , y 的不减函数。 2. 3. F( x , y ) 关于x , y 均右连续。 4. y x D 二维离散型随机变量二维离散型随机变量 设二维离散型随机变量( X , Y )所有可 能取到的值为： X Y x1x2xi y1p1 1p21pi 1 y2p1 2p2 2pi 2 yjp1 jp2 jpi j 分布律可用如下表格表示： 例 1 X 在 1, 2, 3, 4 中等可能取一个值，Y 在 1 X 中等可能取一个整数值，试求 ( X , Y ) 的分布律。 解： X=i , Y=j 中 i= 1, 2, 3, 4 j 取不大 于 i 的整数。 列表如下： X Y 1234 1 20 300 4000 1/8 1/8 1/4 1/12 1/12 1/12 1/16 1/16 1/16 1/16 二维连续型随机变量二维连续型随机变量 对于二维连续型随机变量( X , Y )的 分布函数F( x, y ) 如果存在非负可积函 数 f ( x, y ) ，对于任意 x , y 有： 则称 ( X , Y ) 是二维连续型随机变量二维连续型随机变量，f( x, y ) 称为二维随机变量称为二维随机变量( X , Y ) 的概率密度或随随 机变量机变量 X 和 Y 的联合概率密度。 ( x, y ) ( X, Y ) 几何 意义 x y z z = f ( x, y ) 基本性质 1) 2) 3) G x y ( X , Y ) 4) 若 f ( x , y ) 在 ( x , y ) 处连续，则有： 以上关于二维随机变量的讨论，可 以容易地推广到 n ( n 2 )维随机变量 的情况。 例2 设二维连续型随机变量( X , Y )具有概率密 度为： 1. 求常数 k ; 2. 求 F( x , y ) ; 3. 求 P X Y 1. 求常数 k ; 解： x y 2. 求 F( x , y ) ; x y ( x , y ) ( x , y ) 3. 求 P X Y x y x = y x=y x=0 3.23.2 边缘分布边缘分布 ( X ,Y ) 的分布 已知 X 的分布 FX ( x ) = ? Y 的分布 FY ( y ) = ? 称 FX( x ) ，FY( y ) 为 ( X，Y ) 的边缘分 布函数。 F( x , y ) F( x , y ) 已知 同理： v二维离散型随机变量 对 ( X , Y ) 已知: 问：对 X 对 Y 例 1 试求3.13.1例 1中 X , Y 的边缘分布律。 解： X Y 1234 11/41/81/121/16 201/81/121/16 3001/121/16 40001/16 X1/41/41/41/4 Y 25/48 13/48 7/48 1/16 v二维连续型随机变量 对 ( X , Y ) 已知 f ( x , y ) 问：对 X fX( x ) = ? 对 Y fY( x ) = ? 例2 设 ( X,Y ) 的概率密度为： 求 (1) c的值； x y 1 y=x 0 （2）两个边缘密度。 解：(1) =5c/24=1, c =24 /5 x y 1 y=x 0 解: ( 2 ) x y 1 y=x 0 解: ( 2 ) x y 1 y=x 0 下面我们介绍两个常见的二维分布。 注：在求连续型随机变量的边缘密度时，往 往要求联合密度在某区域上的积分。 在计 算积分时应特别注意积分限 。 设G是平面上的有界区域，其面积为A. 若二维随机变量（X , Y ）具有概率密度 则称（ X, Y ）在G上服从均匀分布. 二维均匀分布 若二维随机变量（ X,Y