随机信号分析课件第5章.ppt

随机过程 第一章：随机过程的概念与基本类型 第一章：随机过程的概念与基本类型 *1.1 概率空间 *1.2 随机变量 *1.3 随机变量函数的 分布 *1.4 随机变量的数字 特征 1.5 随机过程的定义和 统计描述 1.6 随机过程分布律和 数字特征 1.7 复随机过程 1.8 随机过程基本类型 *1.1 概率空间 n预备知识（概率论） 简要回顾一下概率论中与本课程有 关的基本概念： n随 机试验 n概 率空间 n样 本空间 n概 率 随机试验 试验结果事先不能准确预 言，三个特征： （1）可以在相同条件下重复进 行； （2）每次试验结果不止一个， 可预先知道试验所有可 能结果； （3）每次试验前不能确定那个 结果会出现。 概率空间 概率空间是随机试验和概率的数学模型。概率空间 由三个要素组成： （1）样本空间； （2）定义于样本空间的事件集； （3）定义于事件集上的概率集。 样本空间 随机试验所有可能结果组成的集合，记为。 中的元素e称为样本点，样本点是试验的每一个不可 分解的结果。就是样本空间。 事件 样本空间的子集A称为事件。 基本事件和复合事件。必然事件和不可能事件。 集合运算 和事件 “事件A和事件B至少一个发生”构成的事件。 积事件 “事件A发生而事件B不发生”构成的事件。 “ 事件A和事件B同时发生”构成的事件。 差事件 互不相容关系 事件A与事件B不可能同时发生。 互逆关系 事件A与事件B必有一个发生，且仅有一个发生。 古典概率 n随机试验中一切可能结果是有限多个； n每个结果出现的可能性是相等的； n则事件A发生的概率可表示为： 例如：一批产品共100件，其中次品4件，从这批产品中 任取1件，求取到正品的概率。 几何概率 n计算无穷个基本事件的情形； n样本点具有均匀分布的性质； n设用 L（ ）作为区域大小的量度，而区域中任 意可能出现的小区域A的量度用L（A）表示； n则事件A（或某一区域）发生的概率表示为： 例如：跳伞运动员降落在某一区域的概率。 例题1-1 在时间间隔T内的任何瞬间，两个不相关的信号等可 能地进入收音机。如果当且仅当这两个信号进入收音机的 间隔时间不大于t，则收音机受到干扰，试求收音机收到 干扰的概率。 x-y=t x-y=-t T2-(T-t)2 统计概率 n用于计算前两种概率概括不了的随机事件概率； n用事件的频率近似地去表达事件的概率； n若在同样的条件下，将随机试验独立的重复做n次，事 件A出现了nA次，则事件A的频率是： 当试验次数n增大时，其中大量的频率聚集在一个常数周围； 这个常数是客观存在的，反映了事件A出现可能性的大小，我 们认为这个常数就是事件的概率。 公理化定义的概率 (1933年前苏联科学家柯尔莫哥洛夫) 对于一个事件A样本空间，赋予一个实数P，若满足 ： v0P(A) 1; (非负性) vP()=1; (规范性) v若A1,A2,Ak两两互斥，则: (可加性) 我们称P（A）为事件A的一个概率。 概率空间 规定一个随机试验，所有样本 点之集合构成样本空间 ，在样本 空间中一个样本点或若干个样本点 之适当集合F称为事件域，F中的每 一个集合称为事件。若A F，则 P(A)就是事件A的概率，并称这三 个实体的结合（ ，F，P）为一个 概率空间。 条件概率 在事件B已发生这一条件下，事件A发生的概率： 全概率 若有N个互斥事件An（n=1,2,N），它的并集等于整 个样本空间，则: 其中，事件B伴随事件An发生。 10箱同规格产品，其中5箱为甲厂生产， 3箱为乙厂生 产， 2箱为丙厂生产，而甲厂、乙厂，丙厂生产的次品率 分别为0.1， 0.06，0.03，现在任取1箱，在从箱子中任取 1件，问取得正品的概率? 例题1-2 (后验概率公式或逆概率公式) 设事件A1，A2，An构成一个完备事件组，概率 P(Ai)0,i=1,2,n,对于任何一个事件B，若P(B)0, 有 贝叶斯公式 事件A1，A2，An看作是导致事件B发生的“因素” ，P(Ai)是在事件B已经出现这一信息，得知前Ai出现的概率 ，通常称为先验概率。 公式给出的P(AiB)是在经过试验获得事件B已经发生这 个信息之后，事件Ai发生的概率，称为后验概率。 例题1-3 设一个二进制的数字通信系统，主要由1和0两种符号 组成，如下图，且P(B1)=0.6，P(B2)=0.4，求条件 概率。 10箱同规格产品，其中5箱为甲厂生产， 3箱为乙厂生 产， 2箱为丙厂生产，而甲厂、乙厂，丙厂生产的次品率分 别为0.1， 0.06，0.03，现在任取1箱，若取得的是1件正品 ，问该箱产品是甲厂生产的概率是多少？ 例题1-2 （续 ） 独立事件 设（ ，F，P）为一概率空间，事件AF，BF且 P(A)0，若P(B|A)=P(B)，则称事件B随机独立于事件A。 例题1-4 设每个家庭有3个孩子，男孩、女孩排列的八种可能性的 概率均为1/8，定义如下事件： A既有男孩又有女孩的家庭 P(A)=(8-1-1)/8=3/4 B最多只有一个女孩的家庭 P(B)=(1+3)/8=1/2 问：A，B是否统计独立？ P(AB)=P (1女)=3/8 *1.2 随机变量 定义： 设（ ，F，P）是概率空间，对任一个e ，都有实数 X(e)与之对应，则称X(e)为随机变量，简记为X。 引入随机变量后，随机事件就可以表示为随机变量在某一范围 内的取值。 事件事件随机变量随机变量 只取有限个数值或可列无穷多个数值 。 从原样本空间到新样本空间的映射是某一个范围， 是一段（或几段）实线（也可能是整个坐标轴），随机 变量可以取值于某一区间中的任一连续数值。 离散型随机变量 连续型随机变量 （一个描述随机变量取值的概率分布情况的统一方法 ） 性质： 1. F(x)是非降函数； (单调不减性) 2. 0F(x) 1； (有界性) 3. Px10，且其条件分布 ： 则称 X(t),tT 是马尔可夫过程（Markov Processes) 。 （3）马尔可夫 (Markov) 过程 特点： 系统在已知现在所处状态的条件下，它将来所处的状 态与过去所处的状态无关。 例如: 天气预报；随机游动 定义： 设 X(t),tT 是随机过程，若对任意正整数n及t1,t2, ,tnT，(X(t1),X(t2), ,X(tn) 是n维正态随机变量，则称 X(t),tT 是正态过程或高斯过程。 （4）正态过程（Gauss过程） 特点： n 在通信中应用广泛； n 正态过程只要知道其均值函数和协方差函数，即可确定其 有限维分布。 例如： 高斯白噪声，热噪声 定义： 设 W(t),-0 则称 W(t),-t 为维纳过程，也称布朗运动过程。 维纳过程是正态过 程的一种特殊形式 （5）维纳过程(Wiener Process) 定义： 设 X(t),tT 是随机过程，如果对任意常数和正整数 n， t1, t2, , tn T，t1+, t2+, , tn+ T，( X(t1), X(t2), , X(tn) )与 ( X(t1+), X(t2+), , X(tn+) )有相同的 联合分布，则称 X(t),tT 为严平稳过程或 狭义平稳过程。 （6）平稳过程 狭义平稳过程 定义： 设X(t),tT是随机过程，如果X(t),tT是二阶矩过 程； 对任意tT，mX(t)=EX(t)=常数； 对任意 s,t T，RX(s,t) = EX(s)X(t) = RX(s-t) 则称 X(t),tT为宽平稳过程或者广义平稳过程，简称为平 稳过程。 广义平稳过程 二阶矩存在 对于正态过程，广义平稳过程和严平稳过程是等价的。 广义平稳过程