角平分线的性质(45).ppt

12.3角的平分线的性质 安义县新民中学 魏道贵 2013年9月28日 角平分线的定义： 从一个角的顶点出发，把这个角分成 相等的两个角的射线叫做这个角的角 O B A C 平分线。 O B A C AOC =BOC AOB =2AOC =2BOC 在ADC和 ABC中， AD= AB AC=AC DC=BC ADC ABC（SSS） DAE=DAE = = 已知:AOB,如图. 求作:射线OC,使AOC=BOC. 作法: l用尺规作角的平分线. l1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE. l2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长 为半径作弧,两弧在 AOB内交于点C l3.作射线OC. 请你说明OC为什么是AOB的平分线,并与同伴进行交流. 老师提示: 作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法 要确实掌握. A B O C 则射线OC就是AOB的平分线. D E 角平分线有什么性质呢？ OC是AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点 ， 1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作 PDOA，PE OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的 长.将三次数据填入下表： 2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系， 写出结论：_ PD PE 第一次 第二次 第三次 C O B A PD=PE P P P D E D D E E 角平分线的性质：角的平分线上的点 到角的两边的距离相等 题设：一个点在一个角的平分线上 结论：它到角的两边的距离相等 已知：OC是AOB的平分线，点P在OC上， PD OA ，PE OB，垂足分别是D、E. 求证：PD=PE. A O B P E D 结论： C 已知：AOC= BOC ，点P在OC上，PDOA于D， PEOB于E 求证: PD=PE A O BE D P C PDOA，PEOB证明 ： PDO= PEO= 90 在POD和PEO中 PDOPEO（AAS） PDOPEO AOCBOC OP=OP PDPE OC是AOB的平分线, 且PDOA,PEOB PD=PE (角的平分线上的点到角的两边距离相等) 几何语言: 角平分线性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 E D O A B P C 1、如图,OC是AOB的平分线,点P在OC上 ,PDOA,PEOB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则 PE=_cm. A D O B E P C 4 例1:如图，在ABC中，C900，AD平分 BAC交BC于点D，若BC8,BD5，则点 D到AB的距离为？ A C DB E E 例2：如图，ABC的角平分线BM、CN相交 于点P。求证：点P到三角形三边的距离均相等 。 A B C P E F G M N 例3：在OAB中，OE是 AOB的角平分线， 且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足 为C，D，求证：AC=BD。 O ABE CD A 0 B M N P C 1、如图，OC平分AOB， PMOB于点M， PNOA于点N， POM的面积为6，OM=6， 则PN=_。2 2、如图:ABC中, C=900，AD是 BAC的平分线，DEAB于E，F在AC上 ，BD=DF，求证：CF=EB AD是BAC的平分线 DCAC，DEAB DC=DE 在Rt ABC和中Rt ABC中 BD=DF DC=DE A C D B E F Rt ABC 中Rt ABC（HL） CF=EB 3、如图，ABC中，C=90，AC=CB， AD为BAC的平分线，DEAB于点E。 求证：DBE的周长等于AB。 A B C D E AD是BAC的平分线 ACBC，DEAB DC=DE 在Rt ACD和中Rt AED中 DC=DE AD=AD Rt ABC 中Rt ABC（HL） AC=AE DBE的周长=DB+DE+BE 又AC=CB =DB+CD+BE =BC+BE =AC+BE =AE+BE =AB B 思考： 如图所示OC是AOB 的平分线,P 是OC上任意 一点,问PE=PD?为什么? O A E D C P PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角 平分线上任一点这个角两边的距离, 所以不一定相等. 如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公 路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度 假村到三条公路的距离相等,应在何处修建？ 角平分线的交点 O 练习1：如图，的的外角的平 分线与的外角的平分线相交于 点求证：P在A的平分线上。 M N O 证明：过点p作pM AB,PN AC,PO BC 垂足分别为M,N,O BD平分CBM PM BM PO CB PM=PO 同理：PO=PN PM=PN 又PM AM PN AN 点P在A的平分线上 P 练习2： 如图,求作一点P,使PC=PD, 并且点P到AOB的两边的距离相等. C D A B O P 知识拓展 如图，在ABC中， AC=BC，C=90，AD 是ABC的角平分线， DEAB，垂足为E。 （1）已知CD=4cm，求 AC的长； （2）求证：AB=AC+CDB A C D E 知识拓展 已知如图所示， B = C=90,DM平分 ADC, AM平分 DAB,试探究线段BM与CM的关系， 说明理由。 C M AB D解：BM=CM 理由：如图作MEAD, DM平分 ADC,AM平分 DAB， EM=CM,EM=BM. BM=CM 已知 ABC中， BAC=90,AB=AC,BE平分 ABC,交AC于D，CE BE于E。 求证：BD=2CE A B C D E BAC=90，BE CE， ABD+ ADB=90 FBE+ F=90， ADB= F， 在 ABD和 ACF中， ADB= F BAC= CAF=90 AB=AC ABD ACF（AAS） BD=CF BE平分ABC， EBF= EBC 在 EBF和 EBC中， CEB= FEB=90 BE=BE EBC= EBF EBF EBC， CE=EF BD=2CF=2CE 证明： 延长CE交AB延长线于F， F 1、已知：在Rt ABC中, C