考研数学十年真题数三.pdf

1 2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、 选择题：本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个 选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 . （1） 设函数 ( )f x在区间 1,1 上连续，则0x =是函数 0 ( ) ( ) x f t dt g x x = 的（ ） （A）跳跃间断点 . （B）可去间断点 . （C）无穷间断点 . （D）振荡间断点 . （2） 如图， 曲线段方程为，函数在区间0, a上有连续导数，则定积分 0 ( ) a xfx dx （ ） （A）曲边梯形ABOD面积 . （B）梯形ABOD面积 . （C）曲边三角形ACD面积 . （D）三角形ACD面积 . （3） 设 24 ( , ), xy f x ye + = 则函数在原点偏导数存在的情况是（ ） （A） (0,0),(0,0) xy ff存在不存在存在，(0,0),(0,0) xy ff存在不存在存在 （B）(0,0),(0,0) xy ff存在不存在存在，(0,0),(0,0) xy ff存在不存在不存在 （C） (0,0),(0,0) xy ff存在不存在不存在，(0,0),(0,0) xy ff存在不存在 存在 （D） (0,0),(0,0) xy ff存在不存在 不存在， (0,0),(0,0) xy ff存在不存在 不存在 （4） 设函数( )f x连续， 222 :11，+ uv Dxyuu，若() () 22 22 ,d d + = + uv D f xy F u vx y xy ，其中区域Duv为图 中阴影部分，则 F u = （ ） ( )A() 2 vf u ( )B( )vf u ( )C() 2 v f u u ( )D () v f u u （5） 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵若 3 0A =，则（ ） （A）EA不可逆，EA+不可逆 . （B）EA不可逆，EA+可逆 . （C）EA可逆，EA+可逆 . （D）EA可逆，EA+不可逆 . 2 （6） 设 12 21 A = 则在实数域上与A合同矩阵为（ ） （A） 21 12 . （B） 21 12 . （C） 21 12 . （D） 12 21 . （7） 随机变量,X Y独立同分布且X分布函数为( )F x，则 max,ZX Y= 分布函数为（ ） （A） ( ) 2 Fx. （B）( )( )F x F y. （C） ( ) 2 11F x . （D）( )( )11F xF y . （8） 随机变量 ， 且相关系数 1 XY =，则（ ） （A） 211P YX= =. （B）211P YX=. （C）211P YX= +=. （D）211P YX=+=. 二、填空题 : 本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分 . 请将答案写在答题纸指定位置上 . （9） 设函数 2 1, ( ) 2 , xxc f x xc x + = 在(,) +内连续，则c =_. （10） 函数 3 4 1 1 xx fx xx + += + ，求积分( ) 2 2 2 f x dx = _. （11） 设，则 . （12） 微分方程0 + =xyy满足条件(1)1=y的特解是y =_. （13） 设 3 阶矩阵 E 的特征值为 1，2，2，E 为 3 阶单位矩阵，则 1 4 =AE _. （14） 设随机变量X服从参数为 1 的泊松分布，则 2 P XEX= . 3 2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 三、 解答题 : 本题共 9 小题，共 94 分 . 请将解答写在答题纸指定的位置上 . 解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤 . （15） （本题满分 10 分） 求极限 2 0 1sin limln x x xx （16） （本题满分 10 分） 设z z=( , )x y是由方程() 22 xyzxyz+=+ 所确定的函数，其中具有 2 阶导数且1 ， 求 ： （1） dz ； （2） 记() 1 , zz u x y xyxy = ，求 u x . 4 （17） （本题满分 10 分） 求二重积分 max(,1), D xydxdy 其中 ( , ) 02,02Dx yxy= （18） （本题满分 10 分） ( ) f x是周期为 2 的连续函数， （1） 证明对任意实数 t 都有( )( ) 22 0 t t f x dxf x dx + = （2） 证明( )( )( ) 2 0 2 xt t g xf tf s ds dt + = 是周期为 2 的周期函数 5 2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 （19） （本题满分 10 分） 设银行存款的年利率为0.05r =，并依年复利计算 . 某基金会希望通过存款 A 万元，实现第一年提 取 19 万元，第二年提取 28 万元，第n年取出109n+万元，并能按此规律一直提取下去，问 A 至少应 为多少万元？ （20） （本题满分 12 分） 设矩阵 2 2 21 2 1 2 n n a aa A aa = ，现矩阵A满足方程AXB=，其中() 1, , T n Xxx=， () 1,0,0B = ， （1） 求证()1 n Ana=+ . （2） a为何值时方程组有唯一解，求 1 x. （3） a为何值时方程组有无穷多解，求其通解 . 6 （21） （本题满分 10 分） 设A为 3 阶矩阵， 12 ,a a为A的分别属于特征值1,1 特征向量，向量 3 a满足 323 Aaaa=+ ， 证明 ： （1） 1 23 ,a a a线性无关 ； （2） 令() 123 ,Pa a a=，求 1 P AP . 7 2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 （22） （本题满分 11 分） 设 随 机 变 量X与Y相 互 独 立，X概 率 分 布 为() 1 1,0,1 3 P Xii= ，Y的 概 率 密 度 为 ，记ZXY=+，求 ： （1） 1 0 2 P ZX = （2） Z的概率密度( ) Z fz 8 （23） （本题满分 11 分） 12 , n XXX 是 总 体 为 2 ( ,)N 的 简 单 随 机 样 本 . 记 1 1 n i i XX n = = ， 22 1 1 () 1 n i i SXX n = = ， 2 2 1 TXS n = （1） 证 T是 2 的无偏估计量 . （2） 当 0,1=时 ，求 D(T). 9 2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、 选择题 : 本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分 . 下列每题给出的四个选项中，只有一个 选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 . （1） 函数 3 ( ) sin xx f x x =的可去间断点的个数为（ ） （A）1 （B） 2 （C）3 （D）无穷多个 （2） 当0x 时， ( )sinf xxax= 与 2 ( )ln(1)g xxbx= 是等价无穷小，则（ ） （A）1a =， 1 6 b = （B） 1a =， 1 6 b = （C）1a = ， 1 6 b = （D）1a = ， 1 6 b = （3） 使不等式 1 sin ln x t dtx t 成立的 x 的范围是（ ） （A）(0,1) （B）(1,) 2 （C）(, ) 2 （D）( ,)+ （4） 设函数( ) yf x= 在区间1,3上的图形为 ： 则函数( )( ) 0 x F xf t dt=的图形为（ ） （A） （B） 10 （C） （D） （5） 设 A ，B均为 2 阶矩阵， * AB，分别为AB，的伴随矩阵 . 若| | 2 | 3=AB， ，则分块矩阵 0A B0 的伴随矩阵为（ ） （A） * * 3 2 0B A0 （B） * * 2 3 0B A0 （C） * * 3 2 0A B0 （D） * * 2 3 0A B0 （6） 设,A P均为 3 阶矩阵， T P为P的转置矩阵，且 100 010 002 T P AP = ，若 1231223 (,),(,)PQ =+ 1231223 (,),(,)PQ =+ ，则 T Q AQ 为（ ） （A） 210 110 002 （B） 110 120 002 （C） 200 010 002 （D） 100 020 002 （7） 设事件A与事件 B 互不相容，则（ ） （A） （B） ()( ) ( )P ABP A P B= （C）( )1( )P AP B= （D）()1P AB= （8） 设 随 机 变 量X与Y相 互 独 立， 且X服 从 标 准 正 态 分 布(0,1)N，Y的 概 率 分 布 为 1 01 2 P YP Y=，记( ) z F Z为随机变量ZXY=的分布函数，则函数( ) z F Z的间断点个数为 （ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 11 2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 二、填空题 : 本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分 . 请将答案写在答题纸指定位置上 . （9） cos 320 lim 11 x x x = + ee _. （10） 设() yx zxe=+，则 (1,0) z x = _. （11） 幂级数 2 1 ( 1) nn n n e x n = 的收敛半径为_. （12） 设某产品的需求函数为 ( )QQ P= , 其对应价格P的弹性0.2 p =，则当需求量为 10000 件时，价格 增加 1 元会使产品收益增加 _ 元 （13） 设(1,1,1)T=,(1,0, )Tk=，若矩阵 T 相似于 300 000 000 ，则k =_. （14） 设 X1，X2,Xn是来自二项分布总体 B(n, p) 的简单随机样本，X 和 2 S分别为样本均值和样本方差， 记统计量 2 TXS=，则 E(T)= _. 三、 解答题 : 本题共 9 小题，共 94 分 . 请将解答写在答题纸指定的位置上 . 解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤 . （15） （本题满分 9 分） 求二元函数() 22 ( , )2lnf x yxyyy=+的极值 12 （16） （本题满分 10 分） 计算不定积分 1 ln(1) x x x + + d ( 0)x . （17） （本题满分 10 分） 计算二重积分() D xy dxdy ，其中 22 ( , ) (1)(1)2,Dx yxyyx =+ . 13 2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 （18） （本题满分 11 分） 证明拉格朗日中值定理，若函数 ( )f x在, a b上连续，在(), a b上可导，则 (), ab，得证 () ( )( )( )f bf afba= . 证明 ： 若函数( )f x在0x =处连续，在()0,(0)内可导，且 0 lim( ) x fxA + =，则 (0) f+存在， 且 (0)fA + =. （19） （本题满分 10 分） 设曲线 ( )yf x= ，其中 ( )yf x= 是可导函数，且( )0f x . 已知曲线( )yf x=与直线0,1yx=及 (1)xt t=所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的t倍，求该曲线 方程。 14 （20） （本题满分 11 分） 设 111 A=111 042 , 1 1 1 2 = 求满足 21 A= ， 2 31 =A的所有向量 2 ， 3 . 对中的任意向量 2 , 3 证明 1 , 2 , 3 线性无关。 （21） （本题满分 11 分） 设二次型 222 1231231323 (,)(1)22f x xxaxaxaxx xx x=+ （1）求二次型f的矩阵的所有特征值 ； （2）若二次型f的规范型为 22 11 yy+，求a的值 . 15 2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 （22） （本题满分 11 分） 设二维随机变量(, ) X Y的概率密度为 （1）求条件概率密度 ()fy x Y X ； （2）求条件概率 11P XY. 16 （23） （本题满分 11 分） 袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X、Y、Z 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数。 求()10P XZ=. 求二维随机变量( , )X Y的概率分布 . 17 2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、 选择题 : 本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分 . 下列每题给出的四个选项中，只有一个 选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 . （1） 若 0 11 lim1 x x a e xx = ，则a等于（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （2） 设 12 ,y y是一阶线性非齐次微分方程( )( )yp x yq x + = 的两个特解，若常数,u使 12 yuy+是该方程 的解， 12 yuy是该方程对应的齐次方程的解，则（ ） （A） 11 , 22 u= （B） 11 , 22 u= = （C） 21 , 33 u= （D） 22 , 33 u= （3） 设函数( )( ) ,f xg x具有二阶导数，且 ( )0gx （C）( ) 0fa （4） 设( )( )( ) 10 10 ln, x f xx g xx h xe= ，则当x充分大时有（ ） （A）( )( )( ) g xh xf x （C）若向量组II线性无关，则rs （D）若向量组II线性相关，则rs （6） 设A为 4 阶实对称矩阵，且 2 0AA+=，若A的秩为 3，则A相似于（ ） （A） 1 1 1 0 （B） 1 1 1 0 18 （C） 1 1 1 0 （D） 1 1 1 0 （7） 设随机变量的分布函数 0,0 1 ( ),01 2 1,1 x x F xx ex 为概率密度，则, a b应满足（ ） （A）234ab+= （B）324ab+= （C）1ab+= （D）2ab+= 二、填空题：9 14 小题，每小题 4 分，共 24 分 . 请将答案写在答题纸指定位置上 . （9） 设可导函数 ( )yy x= 由方程 2 2 00 sin x yx t edtxt dt + = 确定 .，则 0x dy dx = = . （10） 设位于曲线 2 1 () (1ln) yx xx =的简单随机样本，统计量 2 1 1 n i i TX n = = 则 ET=_. 19 2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 三、 解答题： 15 23 小题，共 94 分 . 请将解答写在答题纸指定的位置上 . 解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤 . （15） （本题满分 10 分） 求极限 11 ln lim (1) xx x x + （16） （本题满分 10 分） 计算二重积分 3 () D xy+ d，其中 D 由曲线 2 1xy=+与直线20xy+=及20xy=围成 . 20 （17） （本题满分 10 分） 求函数2uxyyz=+在约束条件 222 10xyz+=下的最大值和最小值 . （18） （本题满分 10 分） （1）比较 1 0 lnln(1) n ttdt+ 与 1 0 ln n ttdt （ 1,2,n = ）的大小，说明理由 （2）设 1 0 lnln(1) n n uttdt=+ （ 1,2,n = ）求极限lim n n u 21 2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 （19） （本题满分 10 分） 设函数 ( )f x在闭区间 0,3上连续，在()0,3内存在二阶导数，且 2 0 2 (0)( )(2)(3)ff x dxff=+ ， （1）证明 ： 存在(0,2)使 ( )(0);ff= （2）证明存在(0,3)，使( )0f = （20） （本题满分 11 分） 设 11 011 1 a Ab = 0= 1 1 ， 已知线性方程组Axb=存在两个不同的解 （1）求，a; （2）求方程组Axb=的通解 22 （21） （本题满分 11 分） 设 014 13 40 a a = A，正交矩阵Q使得 T Q AQ为对角矩阵，若Q的第一列为 1 (1,2,1) 6 T ，求a，Q. 23 2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 （22） （本题满分 11 分） 设二维随机变量(, )X Y的概率密度为 22 22 ( , ) xxy y f x yAe + =，x 的泊松分布， 12 ,(2) n XXXn 为来自总体的简单随机样本，则对 应的统计量 1 1 1 , n i i TX n = = 1 2 1 11 1 n in i TXX nn = =+ （ ） （A） 1 ET 2 ET, 1 DT 2 DT （B） 1 ET 2 ET, 1 DT 2 DT （D） 1 ET的简单随机样本，则统计量 12 34 2 XX XX + 的分布为 （ ） （A）() 0,1N （B）(1)t （C） 2(1) （D）() 1,1F 二、填空题：9 14 小题，每小题 4 分，共 24 分 . 请将答案写在答题纸指定位置上 （9） 1 cossin 4 lim(tan ) xx x x _ （10） 设函数( ) ln,1, 21,1. xx f x xx = （B） 2 0I （C） 3 0I （D） 4 0I （4） 设 n a 为正项数列，下列选项正确的是（ ） （A）若 1nn aa + ，则 1 1 ( 1)n n n a = 收敛 （B）若 1 1 ( 1)n n n a = 收敛，则 1nn aa + （C）若 1 n n a = 收敛，则存在常数1p ，使lim p n n n a 存在 （D）若存在常数1p ，使lim p n n n a 存在，则 1 n n a = 收敛 （5） 设, ,A B C均为n阶矩阵，若ABC=，且B可逆，则（ ） （A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 （D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价 （6） 矩阵 11 11 a aba a 与 200 00 000 b 相似的充分必要条件为（ ） 42 （A）0,2ab= （B）0,ab=为任意常数 （C）2,0ab= （D）0,ab为任意常数 （7） 设 123 ,XXX是随机变量，且， 22 (1,2,3) ii PPXi= = ，则（ ） （A） 123 PPP （B） 213 PPP （C） 312 PPP （D） 132 PPP （8） 设随机变量X和Y相互独立，且X和Y的概率分布分别为 X0123 P 1 2 1 4 1 8 1 8 Y-101 P 1 3 1 3 1 3 则2P XY+=（ ） （A） 1 12 （B） 1 8 （C） 1 6 （D） 1 2 二、填空题：9 14 小题，每小题 4 分，共 24 分 . 请将答案写在答题纸指定位置上 （9） 设曲线 ( )yf x= 与 2 yxx=在点(1,0)处有公共切线，则lim () 2 n n nf n = + _ （10） 设函数 ( , )zz x y= 由方程() x zyxy+=确定，则 (1,2) z x = _ （11） 2 1 ln (1) x dx x + = + _ （12） 微分方程 1 0 4 yyy+=的通解为y =_ （13） 设() ij Aa=为3阶非零矩阵，A为A的行列式， ij A为 ij a的代数余子式，若0 ijij aA+=( ,1,2,3)i j = ， 则A =_ （14） 设随机变量X服从标准正态分布(0,1)N，则 2 () X E Xe=_ 43 2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 三、 解答题： 15 23 小题， 共 94 分 . 请将解答写在答题纸指定位置上， 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 （15） （本题满分 10 分） 当0x 时，1 cos cos2 cos3xxx与 n ax为等价无穷小，求n与a的值 . （16） （本题满分 10 分） 设D是由曲线 1 3 yx= ，直线 (0)xa a= 及x轴所围成的平面图形， , xy V V分别是D绕 x 轴，y 轴旋 转一周所得旋转体的体积，若 10 yx =VV，求a的值 . 44 （17） （本题满分 10 分） 设平面区域D由直线3xy=，3yx=及8xy+=围成，计算 2 xx y D d d. （18） （本题满分 10 分） 设生产某产品的固定成本为 60000 元， 可变成本为 20 元/件， 价格函数为60 1000 p = Q （p是单价， 单位 : 元 ；Q是销量，单位 : 件） ，已知产销平衡，求 ： （1）该商品的边际利润 ； （2）当 50p = 时的边际利润，并解释其经济意义 ； （3）使得利润最大的定价p. 45 2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 （19） （本题满分 10 分） 设函数( )f x在0,)+上可导，(0)0f=，且lim( )2 x f x + =， 证明 ： （）存在0a ，使得 ( )1f a = （）对（）中的a，存在 (0, )a ，使得 1 ( )f a = （20） （本题满分 11 分） 设 1 10 a = A ， 01 1b = B ，当, a b为何值时，存在矩阵C，使得 =ACCAB ，并求所有矩阵C. 46 （21） （本题满分 10 分） 设二次型 22 1231 122331 12233 ( ,)2()()f x x xa xa xa xb xb xb x=+，记 1 2 3 a a a = ， 1 2 3 b b b = . （1）证明二次型f对应的矩阵为2 TT +； （2）若, 正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为 22 12 2yy+ . 47 2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 （22） （本题满分 11 分） 设(, )X Y是二维随机变量，X的边缘概率密度为，在给定(01)Xxx= 48 （23） （本题满分 11 分） 设总体X的概率密度为，其中为未知参数且大于零。 12 , n XXX 为来自 总体X的简单随机样本 . （）求的矩估计量 ； （）求的最大似然估计量。 49 2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、 选择题：1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分 . 下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 . （1） 若aan n = lim，且0a，则当n充分大时有（ ） （A） 2 a an （B） 2 a an （D） n aan 1 + （）证明定价模型为 1 1 MC p = ； （）若该商品的成本函数为 2 ( )1600C QQ=+，需求函数为40Qp=，试由（）中的定价模型 确定此商品的价格 （18） （本题满分 10 分） 设函数 ( )f x在定义域I上的导数大于零若对任意的 ，曲线 ( )yf x= 在点 00 ()xf x, 处的切 线与直线 0 xx= 及x轴所围成区域的面积恒为4，且 (0)2f= ，求 ( )f x的表达式 61 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 （19） （本题满分 10 分） （1）设函数 ( )( )u x v x, 可导，利用导数定义证明 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )u x v xu x v xu x v x =+ ； （2）设函数 12 ( )( ) n u x uxu, 可导， 12 ( )( )( )( ) n f xu x uxux= ，写出( ) f x的求导公式 （20） （本题满分 11 分） 设矩阵 10 11 01 a a a = A，且 3 =A0 （1）求a的值 ； （2）若矩阵X满足 22 +=XXAAXAXAE，其中E为3阶单位矩阵，求X 62 （21） （本题满分 11 分） 设矩阵 023 133 12 A a = 相似于矩阵 120 00 031 Bb = （）求 a, b 的值 ； （）求可逆矩阵P，使 1 P AP 为对角矩阵 63 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 （22） （本题满分 11 分） 设随机变量X的概率分布为 2ln2,0 ( ) 0,0 x x f x x = 对X进行独立重复的观测，直到2个大于3的观察值出现时停止，记Y为观测次数 （1）求Y的概率分布 ； （2）求EY 64 （23） （本题满分 11 分） 设总体X的密度函数为 其中为未知参数 12n XXX，为来自该总体的简单随机样本 （）求的矩估计量 ； （）求的最大似然估计量 65 2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、 选择题 :1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分 . 下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 . （1） 设函数 ( )f x在(,) +内连续，其导函数的图形如图所示，则（ ） （A）函数 ( )f x有 2 个极值点，曲线( )yf x= 有 2 个拐点 . （B）函数 ( )f x有 2 个极值点，曲线( )yf x= 有 3 个拐点 . （C）函数 ( )f x有 3 个极值点，曲线( )yf x= 有 1 个拐点 . （D）函数 ( )f x有 3 个极值点，曲线( )yf x= 有 2 个拐点 . （2） 已知函数( , ) x e f x y xy = ，则（ ） （A） 0 xy ff= （B） 0 xy ff+= （C） xy fff= （D） xy fff+= （3） 设 3 (1,2,3) i i D = Jxydxdy i， 其中 1 ( , ) 01,01Dx yxy=， 2 ( , ) 01,0Dx yxyx= 2 3 ( , ) 01,1Dx yxxy=则（ ） （A） 123 JJJ （B）2a ，p 为单价（万元） 。 （1） 求需求函数的表达式 ； （2） 求100p =万元时的边际效益，并说明其经济意义 . （17） （本题满分 10 分） 设函数 1 22 0 ( )(0)f xtx dt x= ，求 ( ) fx并求( )f x的最小值 . 68 （18） （本题满分 10 分） 设函数 ( )f x连续，且满足 00 ()d() ( )d1 xx x f xttxt f tte=+ ，求 ( )f x. （19） （本题满分 10 分） 求幂级数 22 0( 1)(21) n n x nn + = + 的收敛域及和函数 69 2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 （20） （本题满分 11 分） 设矩阵 111 10 111 a a aa = + A， 0 1 22a = ，且方程组 =Ax 无解， （1）求a的值 ； （2）求方程组= TT A AA x的通解 70 （21） （本题满分 11 分） 已知矩阵 011 230 000 A = （1） 求 99 A （2） 设 3 阶 矩 阵 123 (,)B =满 足 2 BBA=. 记 100 123 (,)B =， 将 123 , 分 别 表 示 为 123 , 的线性组合 . 71 2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 （22） （本题满分 11 分） 设 二 维 随 机 变 量(, )X Y在 区 域 2 ( , )|01,Dx yxxyx= （1） 写出(, )X Y的概率密度 ； （2） 问U与X是否相互独立？并说明理由 ； （3） 求ZUX=+的分布函数( )F z. 72 （23） （本题满分 11 分） 设总体 X 的概率密度为其中 (0)+ , 为未知参数， 123 XXX,为来自总 体 X 的简单随机样本，令 123 max()TXXX=, （1）求T的概率密度 ； （2）确定a，使得()a=ET. 73 2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、 选择题：1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 . （1） 若函数 1 cos ,0 ( ) ,0 x x f x ax b x = 在0x =处连续，则（ ） （A） 1 2 ab = （B） 1 2 ab = （C）0ab = （D）2ab = （2） 二元函数 (3)zxyxy= 的极值点（ ） （A）(0,0) （B）(0,3) （C）(3,0) （D）(1,1) （3） 设函数( ) f x可导，且( )( )0f x fx 则（ ） （A）( )() 11ff （B）( )() 11ff （D）( )() 11ff （4） 若级数 2 11 sinln(1) n k nn = 收敛，则k =（ ） （A）1 （B）2 （C）1 （D）2 （5） 设为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（ ） （A） T E不可逆 （B） T E+不可逆 （C） T 2+E不可逆 （D） T 2E不可逆 （6） 设有矩阵 200 021 001 A = ， 210 020 001 B = ， 1 2 2 C = ，则（ ） （A）A 与 C 相似，B 与 C 相似 （B）A 与 C 相似，B 与 C 不相似 （C）A 与 C 不相似，B 与 C 相似 （D）A 与 C 不相似，B 与 C 不相似 （7） 设A，B，C为三个随机事件，且A与C相互独立，B与C相互独立，则AB与C 74 相互独立的充分必要条件是（ ） （A）A与B相互独立 （B）A与B互不相容 （C）AB与C相互独立 （D）AB与C互不相容 （8） 设 12 ,(2) n XXXn为来自总体( ,1)N的简单随机样本，记 1 1 n i i XX n = = ，则下列结论不正确的是 （ ） （A） 2 1 () n i i X = 服从 2 分布 （B） 2 1 2() n XX服从 2 分布 （C） 2 1 () n i i XX = 服从 2 分布 （D） 2 ()n X 服