医用物理学第11章课后习题解答.pdf

第十一章 几何光学 第十一章 几何光学 通过复习后，应该: 1.掌握单球面折射成像、共轴球面系统、薄透镜成像、薄透镜的组合、放大镜和显微 镜; 2.理解共轴球面系统的三对基点、眼的分辨本领和视力、近视眼、远视眼、散光眼的 矫正; 3.了解透镜像差、眼的结构和性质、色盲、检眼镜、光导纤维内窥镜。 通过复习后，应该: 1.掌握单球面折射成像、共轴球面系统、薄透镜成像、薄透镜的组合、放大镜和显微 镜; 2.理解共轴球面系统的三对基点、眼的分辨本领和视力、近视眼、远视眼、散光眼的 矫正; 3.了解透镜像差、眼的结构和性质、色盲、检眼镜、光导纤维内窥镜。 11-1 一球形透明体置于空气中， 能将无穷远处的近轴光线束会聚于第二个折射面的顶点上， 求此透明体的折射率。 习题 11-1 附图（原 11-2 附图） 习题 11-1 附图（原 11-2 附图） 解: 无穷远处的光线入射球形透明体，相当于物距u为，经第一折 射面折射，会聚于第二折射面的顶点，则 v=2r（r 为球的半径） ，已知n1 =1.0，设n2 =n（即 透明体的折射率） ，代入单球面折射成像公式，得 r n r n1.0- 2 0 . 1 解得n=2.0，即球形透明体的折射率。 11-2 在 3m 深的水池底部有一小石块， 人在上方垂直向下观察， 此石块被观察者看到的深度 是多少?（水的折射率n=1.33） 习题 11-2 附图（原 11-3 附图） 习题 11-2 附图（原 11-3 附图） 解: 这时水池面为一平面的折射面，相当于r为，已知u=3m，n1 =1.33，n2 =1.0，观察者 看到的是石块所成的像，设其像距为v，应用单球面折射成像公式，得 1.33-.010 . 1 m3 33. 1 v 解得v=-2.25m，这表明石块在水平面下 2.25m 处成一虚像，即观察者看到的“深度” 。 11-3 圆柱形玻璃棒（n=1.5）放于空气中，其一端是半径为 2.0cm 的凸球面，在棒的轴线上 离棒端 8.0cm 处放一点物，求其成像位置。如将此棒放在某液体中（n=1.6） ，点物离棒端仍 为 8.0cm，问像又在何处?是实像还是虚像? 习题 11-3 附图 （a） 【原 11-5 附图（a） 】 习题 11-3 附图 （a） 【原 11-5 附图（a） 】 解: 如本题附图（a）所示，已知n1 =1.0，n2 =1.5，u=8.0cm，r=2.0cm，代入单球面折 射成像公式，得 cm0 . 2 1.0-.515 . 1 cm0 . 8 0 . 1 v 得v=12cm，在玻璃棒中离顶点 12cm 处成一实像。 如本题附图（b）所示，已知n 1 =1.6，n 2 =1.5，u=8.0cm，r=2.0cm，代入单球面折 射成像公式，得 cm0 . 2 1.6-.515 . 1 cm0 . 8 6 . 1 v 解得v=-6.0cm，在液体中与物体同侧成一虚像。 习题 11-3 附图 （b） 【原 11-5 附图（b） 】 习题 11-3 附图 （b） 【原 11-5 附图（b） 】 11-4 一个半径为 10cm 的透明球，折射率为 1.6，其前表面与折射率为 1.2 且透明的液体接 触，后表面与折射率为 1.3 的透明液体接触。若一点物放在折射率为 1.2 的液体中离球心 20cm 处，求最后成像位置。 习题 11-4 附图（原 11-6 附图，折射率数值要改） 习题 11-4 附图（原 11-6 附图，折射率数值要改） 解: 对第一个折射面，n1 =1.2，n2 =1.6，u1 =20-10=10cm，r=10cm，代入单球面折射成像公 式，得 cm10 1.2-.616 . 1 cm10 2 . 1 1 v 解得v 1 =-80cm， 说明第一折射面成一虚像， 且在第一折射面前 80cm 处， 记为 I1 。 同时 I1 又 是第二折射面的物，在第二折射面前，因此对第二个折射面来说是实物，物距u 2 =d-v 1 =20- （-80）=100cm，n 2 =1.6，n 3 =1.3，r=-10cm，代入单球面折射成像公式，得 cm10 1.6-.313 . 1 cm100 6 . 1 2 v 解得v 2 92.8cm，即最后成像在第二折射面顶点后的 92.8cm 处。 11-5 一玻璃球（n=1.5） ，半径为 10cm，置于空气中（n=1.0） ，有一点光源在球前 40cm 处， 求近轴光线经过玻璃球后所成像的位置。 习题 11-5 附图（原 11-8 附图） 习题 11-5 附图（原 11-8 附图） 解: 对第一折射面，u 1 =40cm，n 1 =1.0，n 2 =1.5，r=10cm，则由单球面折射成像公式得 cm10 1.0-.515 . 1 cm40 0 . 1 1 v 解得v 1 =50cm，说明像在第一折射面后 60cm 处，玻璃球的直径为 20cm，且u2 =d-v1 =20-60=-40cm， 所以也在第二折射面的后面， 是第二折射面的虚物。 对第二折射面， n1 =1.5， n2 =1.0，r=-10cm，则由单球面折射成像公式，得 cm10 1.5-.010 . 1 cm40 5 . 1 2 v 解得v 2 =11.4cm，最后成像在玻璃球后 11.4cm 处。 11-6 焦距为 100mm 的薄双凸透镜 （n=1.50， 两凸面的曲率半径相同） ， 令其一面与水 （n=1.33） 相接，另一面与空气（n=1.0）相接，求此系统的焦距。 解: 本题先根据透镜在空气中的焦距计算两凸面的曲率半径， 然后按单球面折射成像公式分 别求水侧和空气侧的焦距，分三步进行计算。 求凸面的曲率半径。 已知透镜在空气中的焦距f=100mm=10cm，n0 =1.0，n=1.5，设薄透镜的一凸面曲率半径 为r，则另一凸面的曲率半径为-r，根据焦距公式 1 0 0 11 rrn nn f可得 1 11 0 . 1 0 . 15 . 1 cm10 rr 解之，得r=10cm，即为透镜表面的曲率半径。 当此凸透镜一面与空气接触，另一面与水接触时，显然两侧的焦距必定不同。设靠空 气一侧的焦距为f 1 ，靠水一侧的焦距为f 2 ，则当平行光线从空气一侧入射时，最后的像 距必为f2 ，反之，当平行光线从水一侧入射时，最后的像距必为f 1 。 求水一侧的焦距f 2 :设平行光线从空气一侧入射，这时有n1 =1.0，n2 =1.5，u1 =， r=10cm，代入单球面折射成像公式，得 cm10 1.0-5 . 15 . 10 . 1 1 v 解得v 1 =30cm。由于是薄透镜（d=0） ，所以v 1 即为第二折射面的虚物，且v 2 =-30cm，此 时像距2 =f 2 ，n 1 =1.5，n 2 = 3 4 ，代入单球面折射成像公式，得 cm10 5 . 1 3 4 3 4 cm30 5 . 1 2 f 解得f2 =20cm，即水一侧的焦距。 求空气一侧的焦距f1 :设平行光线从水一侧入射，这时有n1 = 3 4 ，n2 =1.5，r=10cm， u1 =，代入单球面折射成像公式，得 cm10 3 4 -5 . 1 5 . 1 3 4 1 v 解得1 =90cm，由于是薄透镜（d=0） ，所以1 为第二折射面的虚物，且u2 =-90cm，此时 像距2 =f 1 ，n1 =1.5，n2 =1，代入单球面折射成像公式 cm10 1.5-0 . 10 . 1 cm90 5 . 1 1 f 解得f1 =15cm，即空气一侧的焦距。 11-7 两个焦距均为+8cm 的薄透镜，放在同一轴上，相距 12cm，在一镜前 12cm 处放置一小 物体，求成像的位置。 习题 11-7 附图（原 11-9 附图） 习题 11-7 附图（原 11-9 附图） 解: 对第一个透镜，u1 =12cm，f1 =8cm，则由薄透镜成像公式得 cm8 11 cm12 1 1 v 解得 v1 =24cm，由于两个透镜相距为 12cm，所以对第二透镜该像为虚物，且u2 =d-1 =12-24=-12cm，f2 =8cm，则 cm8 11 cm12 1 2 v 解得2 =4.8cm，说明像在第二透镜后 4.8cm 处。 11-8 某一玻璃薄透镜（n=1.5）在空气中的焦距为 10cm，求将此透镜放在水中（n=1.33） 时的焦距。 解: 设薄透镜两折射面的曲率半径分别为r1 、r2 ，放在空气中时，n=1.5，f=10cm，根据 薄透镜焦距公式 1 210 0 11 rrn nn f，得 1 21 0 11 0 . 1 0 . 15 . 1 cm10 rr 解得 5 111 21 rr 。 当薄透镜放在水中时n=1.5，n 0 =1.33 3 4 ，根据焦距公式可得 1 21 11 3 4 3 4 5 . 1 rr f cm 将 5 111 21 rr 代入上式，可得f=40cm，即透镜放在水中的焦距。 11-9 把焦距为 15cm 的凸透镜和焦距为-30cm 的凹透镜紧密贴合，求贴合后的焦度。 解: 已知f1 =15cm=0.15m，f2 =-30cm=-0.3m，根据=1+2 = 21 11 ff ，有 = m3 . 0 1 m15. 0 1 3.33D=333 度 11-10 在空气中有一玻璃薄双凸透镜（n=1.5） ，其两折射面的曲率半径分别为 6.010 -1 m 和 1.510 -1 m，现将一物体置于镜前 12cm 处，求像所在的位置和虚实。 习题 11-10 附图（原 11-13 附图） 习题 11-10 附图（原 11-13 附图） 解: 对第一折射面，已知n1 =1.0，n2 =1.5，u1 =12cm，r1 =6.010 -1 m=60cm，代入单球面 折射成像公式，得 cm60 1.0-5 . 15 . 1 cm12 0 . 1 1 v 解得v1 =-20cm，由于是薄透镜，所以-v 1 即为第二折射面的物距，该像在第二折射面的前 面，因此对于第二折射面，u2 =20cm，n1 =1.5，n2 =1.0，r2 =-0.15m=-15cm，代入单球面折 射成像公式，得 cm15 1.5-0 . 10 . 1 cm20 5 . 1 2 v 解得v 2 =-24cm，成像在镜前 24cm 处，为一虚像。 如果用另一种方法，即先求薄透镜的焦距，然后按薄透镜成像公式计算，也可以得到 同样的结果。 11-11 有两个薄透镜 L1 和 L2 ，已知f1 =10cm，f2 =40cm，两镜相距d=7cm，一点光源置于 L1 前 30cm 处，问最后成像在何处? 习题 11-11 附图（原 11-15 附图） 习题 11-11 附图（原 11-15 附图） 解: 对第一透镜，u1 =30cm，f1 =10cm，设其像距为v1 ，代入薄透镜成像公式 fvu 111 ， 得 cm10 11 cm30 1 1 v 解得v1 =15cm，由于，L2 与 L1 相距 7cm，所以对 L2 来说，u2 =d-v1 =7-15=-8cm，f 2 =40cm， 代入薄透镜成像公式，得 cm40 11 cm8 1 2 v 解得v2 =6.67cm，即最后成像在L2 后 6.67cm 处。 11-12 折射率为 1.3 的平凸透镜，在空气中的焦距为 50cm，该透镜凸面的曲率半径是多少? 如果该透镜放在香柏油中（n=1.5） ，其焦距是多少? 解: 透镜放在空气中，有n=1.3，n0 =1.0，f=50cm，r2 =，代入焦距公式，得 1 1 11 1 13 . 1 cm50 r 解之，得r1 =15cm，即凸面的曲率半径为 15cm。 若放在香柏油中，则n=1.3，n0 =1.5，r1 =15cm，r2 =，代入焦距公式得 1 1 cm15 1 5 . 1 5 . 13 . 1 f= -112.5cm -112.5cm 即该透镜放在香柏油中的焦距。可见，该透镜在空气中呈会聚透镜，而在香柏油 中呈发散透镜。 11-13 有一双凸厚透镜置于空气中，已知其焦点到主点的距离为 10cm，而物体离第一主点 的距离为 6cm，求其像的位置。透镜两主点之间距离的大小是否会影响该题的计算结果?对 作图结果的影响呢? 解: 由于厚透镜置于空气中，所以其成像公式与薄透镜成像公式 fvu 111 相同，只是焦 距为焦点到主点的距离，物距为物体到第一主点的距离，像距为像到第二主点的距离。依题 意有，u=6cm，f=10cm，代入上述公式，得 cm10 11 cm6 1 v 解得v=-15cm，即像在第二主点前 15cm 处，为一虚像。在主点与焦点之间距离保持不变的 情况下两主点之间距离的大小不影响计算结果;对于作图，其像的位置到第二主点的距离不 变，但透镜两主点之间距离的大小会影响像在主光轴上的位置。 11-14 一近视眼患者，远点在眼前 40cm 处，他看远物时应戴多少度的眼镜? 解: 因为其远点在眼前 40cm 处，所以要看远处物体，实际上是通过透镜使远处物体在眼前 40cm 处成一虚像。 分析可知， 这时u=，v=-40cm=-0.4m， 代入薄透镜成像公式 fvu 111 ， 得 f 1 m4 . 0 11 = m4 . 0 11 f =-2.50D=-250 度 即应配-250 度的凹透镜。 11-15 一远视眼的近点在 0.8m 处， 今欲使其能看清眼前 15cm 处的物体， 应配多少度的眼镜? 解: 因为其近点在 0.8m 处，也就是说，如果不戴眼镜，无论怎样调节眼的焦度，放在 0.8m 以内的物体都是看不清的，要使其经过最大调节看清 15cm 处的物体，应通过透镜使 15cm 处的物体在 0.8m 处成一虚像。由上述分析可知，u=15cm=0.15m，v=-0.8m，代入薄透镜成像 公式 fvu 111 ，得 f 1 m8 . 0 1 m15. 0 1 =1/f= m8 . 0 1 m15. 0 11 f D5.42D=542 度， 即应配 542 度的凸透镜。 11-16 某人选配焦度为+200 度的眼镜看眼前 10cm 的近物，而看远物时，又改用焦度为-50 度的眼镜，该人的近点和远点各在何处。 解: 该人看近物时需配凸透镜，类同于远视眼，要使近物在他的近点处成一虚像。设该虚 像距离眼为，已知=200 度=2.0D，则f=1/2.0=0.5m=50cm，u=10cm，代入薄透镜成像公 式得 cm50 11 cm10 1 v 解得v=12.5cm，即其近点在眼前 12.5cm 处。 该人看远物的情况类同于近视眼， 需配凹透镜让光线发散， 使远物在其远点处成一虚 像，设该虚像距离眼为，已知=-50 度=-0.5D，则f= 50. 0 1 =-2.00m=-200cm，u=，由 薄透镜成像公式可得 cm200 111 v 解得v=-200cm，即该人的远点在眼前 200cm 处。 11-17 如果进入一散光眼水平子午面的平行光线聚集在视网膜上， 而通过垂直子午面的平行 光线聚焦在视网膜之后，此人应配何种圆柱形透镜?镜轴方向如何? 答: 此人的眼睛为单纯远视散光，应配凸圆柱形透镜，镜轴水平放置。 11-18 一简单放大镜的焦距为 8cm，所成的像在镜前 25cm 处，问:物体放在镜前何处? 此镜的角放大率是多少? 解: 已知f=8.0cm，v=-25cm，代入薄透镜成像公式，得 cm10 1 cm25 11 u 解得u6.06cm，即物体放在镜前 6.06cm 处。 角放大率为 =25 cm /f=25/8=3.12 11-19 显微镜的目镜焦距为 2.5cm，物镜焦距为 12mm，物镜与目镜相隔 21.7cm，把两镜作 为薄透镜处理，问:标本应放在物镜前什么地方?物镜的线放大率是多少?显微镜的总 放大率是多少? 解: 因物镜成的像应落在目镜焦点以内靠近焦点处，而物镜与目镜相距 21.7cm，目镜的 焦距f2 =2.5cm，所以物镜的像距v1 =21.7-2.5=19.2cm，已知物镜的焦距f1 =12mm=1.2cm， 设物镜的物距为u1 ，代入薄透镜成像公式，得 cm2 . 1 1 cm2 .19 11 1 u 解得u1 1.28cm，即标本应放在物镜前 1.28cm 处。 物镜的线放大率 因m=y/y，而y/y=v 1 /u1 ，所以物镜的线放大率m为 0 .15 cm28. 1 cm2 .19 1 1 u v m 总放大率 因M=m，而=25 cm /f 2 ，所以总放大率M为 M=m25 cm /f2 =15.025 cm /2.5 cm =150 11-20 一显微镜的目镜由两个相同的正薄透镜组成，焦距均为 4cm，两透镜相距 2cm，问此 目镜（透镜组）的焦点在何处?如果两正薄透镜是密接组合，焦点又在何处?焦距呢? 解: 相距 2cm 的情况。 一束平行光入射通过透镜组所成像的位置即为透镜组的焦点处。 对 于第一个透镜来说，u1 =，f1 =4.0cm，由薄透镜成像公式，得 cm0 . 4 111 1 v 解之v1 =4cm。对第二透镜来说，物距u2 =d-v1 =2.0-4.0=-2.0cm，f2 =6.0cm，则有 cm0 . 4 11 cm0 . 2 1 2 v 解得v2 =1.33cm，即透镜组的第二焦点位于第二透镜后 2cm 处。由成像系统的对称性可知， 透镜组的第一焦点位于第一透镜前 1.33cm 处。 密接的情况。已知f1 =f2 =4cm=0.04m，则该透镜组的焦度为 =1 +2 = m02. 0 1 m04. 0 1 m04. 0 1 D 由此得焦距 f=2cm，即焦点位于密接透镜组的两侧，距离 2cm 处。 11-21 一显微镜的放大率为 200，若物镜的放大率为 24，那么其目镜的焦距是多少? 解: 已知M=200，m=24，又因M=m=m25/f2 ，则由此可得目镜的焦距为 3 200 24cm25cm25 2 M m fcm 11-22 一台显微镜物镜焦距为 4mm，目镜焦距为 30mm，镜筒长 16cm，若最后成像在眼前明 视距离处，求:物镜所成的像离物镜的距离;标本离物镜的距离。 解: 已知最后成像在明视距离处，说明目镜的像距v2 =-25cm，而f2 =30mm=3.0cm，代入 透镜成像公式，得 cm0 . 3 1 cm25 11 2 u 解得u2 =2.7cm，即目镜的物距，目镜的物是物镜的像，它离物镜的距离为 16-2.7=13.3cm。 13.3cm 即为物镜的像距v1 =13.3cm。 标本离物镜的距离 由f1 =4mm=0.4cm，代入薄透镜成像公式，得 cm4 . 0 1 cm3 .13 11 1 u 解得u1 =0.41cm，即标本离物镜的距离。 11-23 一台显微镜，已知其孔径数为 1.10，光源的波长=550nm，肉眼可分辨的最小间隔 约为 0.1mm，物镜焦距为 2.0mm，目镜焦距为 7.0cm，求:此物镜的最小分辨距离;镜筒 的长度。 解: 已知NA=1.10，=550nm=55010 -9 m，则物镜的最小分辨距离为 10. 1 m1055061. 061. 0 9 AN Z =3.0510 -7 m0.31m 因为肉眼可分辨的最小距离为0.1mm=10 -4 m， 而该显微镜的最小分辨距离Z=0.31m=0.305 10 -6 m，则显微镜的总放大率为 328 m1031, 0 10 6 4 M 已知物镜f1 =2.0mm=0.20cm，目镜f2 =7.0cm，由总放大率公式 21 25 ff s M ，可近似计算镜筒的长度 4 .18 cm25 cm0 . 7cm20. 0328 cm25 21 fMf scm 11-24 若一油浸物镜恰能分辨每厘米有 40000 条的一组线条，照射光为白光（波长取 550nm 计算） ，求此物镜的数值孔径。 解: 由题意，该油物镜的最小分辨距离为 m105 . 2cm 40000 1 7 Z 已知=550nm=55010 -9 m，由公式 AN Z 61. 0 得，该物镜的数值孔径为 34. 1 m105 . 2 m1055061. 061. 0 7 9 Z AN 11-25 某显微镜的油浸数值孔径为 1.5，若用波长为 2.510 -5 cm 的紫外光源照射，可分辨 的最短距离是多大?若改用波长为 500nm 的可见光光源时又将如何? 解: 紫外光源 已知NA=1.5，=2.510 -5 cm=2.510-7 m，可分辨的最短距离为 m 5 . 1 105 . 261. 061