电磁场与电磁波习题答案.pdf

电磁场与电磁波课后习题答案电磁场与电磁波课后习题答案 对应教材： 电磁场与电磁波 沈熙宁 编著科学出版社 北京 答案编辑：中国地质大学（武汉） 程正喜2015 年 6 月 1 日 对应教材： 电磁场与电磁波 沈熙宁 编著科学出版社 北京 答案编辑：中国地质大学（武汉） 程正喜2015 年 6 月 1 日 1.1 在直角坐标系中，求点 P（-3，1，4）到点 P（2，-2，3）的距离矢量R 及R 和 x e 、y e 、 z e 间的夹角。 【考点分析】【考点分析】空间向量与各个坐标轴夹角余弦的计算。 【解题过程】【解题过程】设R 矢量与 x 轴、y 轴、z 轴的夹角分别为、。 R = rr = zyxzyxzyx e-e-e)eee(-)ee-e( 3543322 R = 222 1)(3)(5 =35 因为 35 5 R R cos X ， 35 3 R R cos y ， 35 1 R R cos z 所以 。 32.31) 35 5 arccos( ， 。 120.47) 35 3 arccos(- 。 99.73) 35 1 arccos(- 。 1-3 在球坐标系中，求点 M) 3 , 3 , 6( 与点 N) 0 , 3 , 4( 之间的距离。 【考点分析】【考点分析】球坐标和直角坐标之间的转换。 【解题过程】【解题过程】在直角坐标系中，M、N 的坐标可以表示为 0cosrz 2 9 sinsinry 2 33 cossinrx M 111 1111 1111 ， 2cosrz 0sinsinry 32cossinrx N 222 2222 2222 所以 |MN|= 2 21 2 21 2 21 )z-z()y-y()x-x(=22。 1-7 判断以下矢量场F 是否为均匀矢量场 （1）F = 211 cosFsinFF z eee ， 1 F、 2 F均为常数 （2）F =cba eee r ，a，b，c 均为常数 【考点分析】【考点分析】坐标系之间的转换以及均匀场的判断。 【解题过程】【解题过程】均匀矢量场的定义是：在场中所有点上，模处处相等，方向彼此平行。只 要这两个条件中有一个不符合就称为非均匀矢量场。 （1）由sincos yx eee ， cossin yx eee ， zz ee 可得 ： zy eeF 21 FF， 2 1 2 1 2 2 2 1 C F F arctan CFFF ,(其中 1 C、 2 C为常数) 所以该矢量场是均匀场。 （2）由cossinsincossin zyxr eeee ， cossin yx eee sincososcosos zyx eeee 可得 ： )sincos()cossincossinsin()sincoscoscossin(bacbacba zyx eeeF F 的方向随、的变化而变化，所以该矢量场是非均匀场。 1-10求标量场yzxu 2 在点 P（2，3，1）处的梯度及沿543 zyx eee l方向的方向导 数，并求u在 P 点方向导数的最大值和最小值及对应的方向。 【考点分析】【考点分析】梯度及方向导数的考查。 【解题过程】【解题过程】由12|2xyz| x u PP ，4|zx| y u P 2 P ，12|yx| z u P 2 P 求得 zyx eeeG 12412，又因为 50 3 543 3 cos 222 ， 50 4 543 4 cos 222 ， 50 5 543 5 cos 222 所以沿l 方向的方向导数为 5 256 50 5 5 50 4 4 50 3 12| u P l ， 方向导数在 P 点的最大值为19412412)| u ( 222 maxP G L ，方向为G 方向； 方向导数在 P 点的最小值为194)| u ( minP G L ，方向为G 方向。 1-15 在 r=1 和 r=2 两个球面之间的区域中的矢量场 3 2 cos r r e D ，验证散度定理。 【考点分析】【考点分析】散度定理公式： Vs dvDsdD ，S 为 r=1 和 r=2 围成的两个球面。 【解题过程】【解题过程】球面的面积微元 rdrd drdrddreeesd r sinsin 2 ，又 2 ss sdDsdDsdD 1 s ，其中 21 s和s分别为 r=1 和 r=2 的球面，方向相反，可得： 2 sincossincos 2 0 2 0 2 1 0 2 0 2 rr s dd r dd r sdD ， 由于 4 2 2 3 2 2 cos )r r cos ( r 1 rr D ，其中2 0 , 0 , 21 r，所以： -drdd sinr ) cos (V 2 2 10 2 0 4 2 r v dD 所以， V DdV s sdD ，散度定理成立。 1-18 在0z的平面上，由圆9 22 yx及30 x和30 y所围成的区域，对矢量场 xxy2 yx eeA ，验证斯托克斯定理。 【考点分析】【考点分析】斯托克斯定理公式： sl lsdAdA 【解题过程】【解题过程】 z zyx ex）2（ 02xxy zyx eee A 3 0 2 0 2 ddcos2sdA ）（ s ) 2 1 (9d 0 3 cos 3 2 0 3 2 ）（ OM 段：0xydxd 0y ll l A， ON 段：02xdyd 0 x ll l A， MN 段： ) 2 1 (9)2(d ll xdyxydxl A ， （将直角坐标转换成柱坐标计算） 所以， sl lsdAdA ，斯托克斯定理成立。 M N O 1-19 求矢量场x)z(yz)y(xy)x(z zyx eeeA 在点 M（1，2，3）处沿 zyx eee 22l方向的环量面密度。 【考点分析】【考点分析】旋度及环量面密度的考查。 【解题过程】【解题过程】 zyx eee 345 x)z-(yz)y(xy)x(z zyx eee A zyx M zyx eee 22l方向的方向余弦为： 3 1 cos ， 3 2 cos ， 3 2 cos 所以： 3 19 3 2 3 3 2 4 3 1 5R mn 2-1 一个半径为 a 的球体内均匀分布总电量为 Q 的电荷，球体以角速度绕一个直径旋转， 求球体内的电流密度J 。 【考点分析】【考点分析】求解某点的电流密度J 问题。公式： i ii J 。 【解题过程】【解题过程】以球心为坐标原点，转轴为 Z 轴。设球内任一点 P 的位置矢量为 r，且 r 与 z 轴的夹角为，则 P 点的线速度为： rsin er 球内的体电荷密度为： 3 4 3 a Q 所以： sinr 3 4 3 rsin 3 a4 3Q a Q eeJ 2-4 在球坐标中，电流密度为 )/(10 25 . 1 mAr r eJ 求： （1）通过半径 r=1mm 的球面的电流大小。 （2）在半径 r=1mm 处，电荷体密度的时间变化率。 （3）在半径 r=1mm 的球体内，总电荷的增加率。 【考点分析】【考点分析】考点 1：由电流密度J 求解电流 I，公式为 sdJ s I； 考点 2：电流连续性方程， t J ； 考点 3：电荷守恒定律。 【解题过程】【解题过程】 （1）根据 sdJ s I可得：Ar mmr 97 . 3 40sininrr10 0 0 2 I 1 5 . 021.5 （2）根据电流连续性方程知： t J ， 所以 38 001. 0 2.5 1mmr 0.5 1 2 2 A/m101.585r)(10r rr )r( r 1 t rmmr r A J （3）根据电荷守恒定律知：单位时间内通过闭合曲面流出的总电荷量等于单位时间内体 V 中电荷的减少量为： 3.97AIdv t sV sdJ 。 2-8 一种金属导体，电导率mS /105 7 ，相对介电常数1 r ，若导体中的传导电流密 度为 )/)(22 . 3 ( 1 .117sin10 26 mAzt x eJ 求位移电流密度 d J 。 【考点分析】【考点分析】位移电流密度的求解，公式 t D Jd 。 【习题解答】【习题解答】由 EJ 可得： )z)(A/m3.22tsin117.1(0.02 2 x eJ 1 E 再由ED r0 可得： )z)(A/m3.22tsin117.1(e0.02 1036 1 2 x 9 ED r0 所以：位移电流密度)z)(A/m3.22tcos117.1(106.68 211 t D Jd 。 2-17 一段两端用导体封闭的同轴线，所有导体的电导率。同轴线内导体半径为 a，外 导体半径为 b，长为l，内外导体间为空气，若已知内外导体间的磁场为 tkz H coscos 0 eH 内外导体的轴线为 z 轴，两端面分别位于0z和lz 处，求： （1）E 和k； （2）内外导体间的总位移电流。 【考点分析】【考点分析】考点 1： t D H 和 t B E ； 考点 2：位移电流密度 t D Jd ，总位移电流 s sdJd d I。 【解题过程】【解题过程】（1） tsinkzcos kH HHH z eee 1 0 Z z eH ，根据 t D H 可得： tsinkzsin kH dt 0 eHD tsinkzsin kH 1 0 0 0 eDE 由时变电场为题目给出的磁场的漩涡源得： tsinkzcos kH EEE z 1 0 2 0 Z z e eee E ，根据 t B E 可得： tsinkzcos kH dt 0 2 0 eEB 00 2 2 0 0 k coskzcoswt H 1 eBH 解得： 00 k 。 （2）位移电流密度tsinkzcos kH0 d e t D J sdesdJ tsinkzcos kH0 s d I，柱坐标系中dzd esd ， 所以总位移电流)cos1 (cosH2dztdksinkzcosH 0 2 0 1 00 ttId 。 2-19 半径为 a 的导体球壳外充满了介电常数为，电导率为的均匀导电媒质。设 t=0 时， 导体球壳上均匀分布着总量为 0 q的电荷，而导电媒质中无电荷分布。 （1）求任意时刻 t，导电媒质中的E 和J 。 （2）如果mS /10， 0 2，求导体球壳上的电荷减少到1000/ 0 q时所需的时间。 【考点分析】【考点分析】驰豫现象，教材第 67 页。 【解题过程】【解题过程】（1）t=0 时，导体煤质中无电荷分布，故 t0 的任意时刻，导体煤质中仍无 电荷分布。设 t 时刻导体球壳上的电荷为 q（t） ，取半径为 r（ra）的高斯面，则： )(tq s sdD a)(r 4 )( 2 r eD r tq 所以电场： r eDE 2 4 )(1 r tq ， 电流 r eEJ 2 4 )( r tq ， 由连续方程得：q(t) J4 dt dq(t) 2 r s sdJ 根据初始条件解微分方程得： t 0e qq(t) ，代入上面的式子可得到： 电场强度 t e r q 2 0 4 r eE ， 电流面密度 t e r q 2 0 4 r eJ ； （2）由1000/)( 0 qtq可知： 1000 1 e t )(101.22ln10 10 108.852 ln10 t 113 12 3 s 3-5 有一个半径为 a 的球形电荷分布， 球内外的介电常数均为 0 ， 已知球体内的电场强度为 )0)(/(90 3 armVr r eE 。求： （1）球体内电荷体密度； （2）球体外的电场强度。 【考点分析】【考点分析】高斯定理。 【解题过程】【解题过程】（1）球体内，即 r a）的球面作为高斯面 ，根据 V dv s sdD 可得： 5 0 22 2 000 0 2 0 a904sin450Er4 ddrdrr a r 2 5 r 90a E ，则 r eE 2 5 r 90a 。 3-10 三个同心导体球壳的半径分别为)( 321321 rrrrrr、， 已知球壳 2 上的电荷面密度为 2 ，内球壳 1 的电位 1 等于外球壳 3 的电位 3 。试求： （1）球壳 2 与内、外球壳之间的电场强度； （2）内球壳 1 表面及外球壳 3 的内表面上的电荷面密度 1 和 3 。 【考点分析】【考点分析】高斯定理，电场强度与电位之间的关系。 【解题过程】【解题过程】（1）根据 V DdV s sdD 可得： )rr(r )rr(r 444 44 32 21 2 2 21 2 1230 2 1 2 1120 2 rrEr rEr 由 31 可得：0d r r d r r 2 3 1 2 ll 2312 EE，即有：0d r rr r r d r r r r 2 0 1 2 12 2 2 2 3 2 0 1 2 1 1 2 ll 解得：)r(r )r(rr )r(rr 12 131 232 1 ， )rr(r, )rr(r )r(rrr )rr(r, )rr(r )r(rrr 322 2 130 1232 212 2 130 2321 r23 r12 eE eE （2）根据导体与电介质的界面上的边界条件 23 Den ，此处 rn ee ， 23023 ED ， 所以 3230r Ee ，当 r=r3时，可解得 )r(r, )r(rr )r(rr )r(r, )r(rr )r(rr 32 133 122 3 12 131 232 1 。 3-27 同轴电容器的内导体外半径为 a，外导体的内半径为 b，在内外导体间， 0 0的 部分填充介电常数为的均匀介质，而在其他部分为空气。求同轴电容器单位长度的 电容。 【考点分析】【考点分析】填充不同介质的同轴电容器电容的计算。 【解题过程】【解题过程】设内外导体单位长度带电量分别为 q 和-q，据q s sdD 可得： q)rE(2 000 )r(2 q E 000 ， a b ln )(2 q Edr a b U 000 a b ln )(2 U q C 000 。 5-2 一平行于yoz面，且对称于此平面放置的，厚度为 d 的无限大导体平板中。载有均匀分 布的恒定电流，电流密度为 0 J z eJ 。如下图所示，用安培环路定理求导体板内外的磁 感应强度B 。 （设内外的磁导率均为 0 ） 【考点分析】【考点分析】安培环路定理。 【解题过程】【解题过程】由安培环路定理的积分形式有： lHlHdlHdllll zyyyy eKeeeeH 2dH c d dH)( a b d 2 1 2 1 2 1 2 1c 2 K H ， 因而得： 2 0 0 K HB ， 即 0, 2 K 0x, 2 K 0 0 x y y e e B ， 此时可将体电流分布看成无限多个平行于yoz面的， 厚度为 dx， 面电流密度为 0dx J z eK 的无限大平面的集合，每一个平面电流所产生的磁感应强度以上已经求得。所以可得： 在2/dx 区域内： 2 2 00 2 2 00 dJ dx J B d d yyy eeeB ， 在2/dx 区域内： 2 2 00 2 2 00 dJ dx J B d d yyy eeeB ， 在2/2/dxd区域内：xJdx J dx J B d y y d 00 2 00 2 00 2 2 yyyy eeeeB 。 5-6 下面的矢量函数中， 哪些可以代表磁感应强度？如果可以表示磁感应强度， 求电流密度。 （1）axay yx eeB )( （2）ayax yx eeB （3） a eB （4）ar eB 【考点分析】【考点分析】恒定磁场的基本性质的考查。 【解题过程】【解题过程】根据恒定磁场的基本性质， 满足0 B 的矢量函数才可能是磁感应强度， 否则不是磁场的常矢量。若是磁场的场矢量，则可由HJ 求出电流密度。 （1）0(ax) y ay)( x B ，它是磁感应强度； z 0 e B HJ 2a 1 0axay zyx eee 0 zyx 。 （2）0(-ay) y (ax) x B ，它是磁感应强度； 0 0ay-ax zyx eee zyx 0 B HJ。 （3）0a2)( 1 BB ，它不是磁感应强度。 （4）0(ar) rsin 1 B ，它是磁感应强度； 0 2 r 2aarctana sinar00 r ersine re r 0 ee B HJ 。 6-1 已知在空气中)106cos()10sin(1 . 0 9 ztx y eE ， （1）利用波动方程求；（2）求H 。 【考点分析】【考点分析】波动方程。 【解题过程】【解题过程】（1）电场E 应满足波动方程0 t - 2 00 2 E E ，又 y E y eE ，代入得： 0)106cos10sin10400-(100 t E z E x E 9222 2 y 2 00 2 y 2 2 y 2 zt(x)(.)-， 所以解得：54.41rad/m300。 （2）由 t 0 H E 可得： x E z E 1 yy 0 zx 0 eeE 1 t H ， 对上面得公式对时间 t 求积分可得： )106sin()10cos( 106 1 9 9 0 ztxdt z eEH )106cos()10sin( 106 1 . 0 9 9 ztx x e )/)(106sin()10cos(1033. 1)106cos()10sin(103 . 2 9494 mAztxztx z eex 6-4将下列场矢量做瞬时值与复矢量间的变换。 （1）)cos(3)sin( 00 kztEkztE yx eeE （2） ) 6 cos(3sin 00 tEtE x eE （3） jkz ej )( yx eeH （4） sin 0 jkz eHj y eH 【考点分析】【考点分析】场矢量得瞬时值表示与复矢量表示之间的变换。 【解题过程】【解题过程】（1）kz)tcos(3E) 2 kztcos(E 00 yx eeE jkz 0 2 j jkz 0 e3EeeE yx ee )(eE jkz 0yx e3e j （2）) 6 tcos(3E) 2 tcos(E 00 x eE ee3EeE 6 j jkz 0 2 j 0 x e j)3(3 2 E0 x e （3） -jkz-jkz eje yx eeH ) 2 kztcos(kz)tcos( yx ee kz)tsin(kz)tcos( yx ee （4） jkzsin- 0 2 j eHe y eH ) 2 kzsintcos(H0 y e )kz(Hsinsin 0 y e 6-10 在球坐标系中，已知电磁场为： )/)(cos(sin 0 0 mVrkt r E eE )/)(cos(sin 0 0 0 mArkt r E eH 式中 0 E、 0 、 0 k均为常数。试计算通过以原点为球心， 0 r为半径的球面 S 的总平均功率。 【考点分析】【考点分析】坡印亭矢量的计算。 【解题过程】【解题过程】瞬时坡印亭矢量r)kt(cossin 0 22 2 0 r 0 r E eHES ， s rr drrddrdrddrtP)sinsin()( 2 0 eeeSsdS r s )(cos 3 8 )(cossin 00 2 0 2 0 00 2 2 00 3 0 2 0 rkt E rktdd E 所以：)/( 901203 4 3 4 )dtrk(wtcos 0 T T3 4 P(t)dt 0 T T 1 P 2 2 0 2 0 0 2 0 00 2 0 2 0 av mW EEEE 6-11 在真空中的电磁场为 ： )/(sin 0 mVkzjE x eE )/(sin 0 0 0 mAkzE y eH 式中 , 2 k为波长。求4/, 8/, 0z各点的坡印亭矢量的瞬时值和平均值。 【考点分析】【考点分析】坡印亭矢量的瞬时值和平均值的计算。 【解题过程】【解题过程】E 为复数表达式，所求矢量坡印亭矢量 kzkz j c cossin 2 1 0 0 2 * z 0 e 2 E )HE(S ) 2 sin2kz(k 4 E j 0 0 2 0 z e （1）0z时，0S ，0)Re( cav SS ； （2）8/z时，tsin2 4 E 0 0 2 0 z e -S ，0)Re( cav SS ； （3）4/z时，0S ，0)Re( cav SS 。 【说明】【说明】此题也可以先算出实数表示的坡印亭矢量HES ，再进行计算，讨论。 7-1 已知真空中传播的平面波电场为)/)(2cos(100mVzt x eE ，试求此平面波的 波长、频率、相速、波阻抗、磁场强度和平均功率流密度矢量。 【考点分析】【考点分析】平面波的传播特性的分析计算。 【解题过程】【解题过程】因为)/)(2cos(100mVzt x eE 所以2k，相位常数 00 k 00 k 。 （1）波长：1m 2 2 k 2 （2）频率： 1 2 f，真空中zH103 1 f 8 00 （3）相速：m/s103 2k 8 p （4）波阻抗：377120 0 0 （5）磁场强度：据EeH z 1 得： z)(A/m)t10(30.265cos2 8 y eH （6）平均功率流密度矢量：)/(25.13 2 E e)HE 2 1 Re()SRe(S 2 2 0 z * cav mW z e 7-4 在自由空间传播的均匀平面波的电场 z)(V/m) c cos(0.1Ext 式中 00 1c为真空中的光速。求： （1）瞬时功率流密度矢量S ； （2）8/, 0zt处的瞬时功率流密度； （3）平均功率流密度矢量 av S 。 【考点分析】【考点分析】坡印亭矢量等的计算。 【解题过程】【解题过程】由题意知：z)(V/m) c cos(0.1Ext xx eeE （1）z)(A/m) c tcos( 1200 1 yz eEe 1 H 所以)z)(W/m c (cos 12000 1 22 t z eHES 。 （2）8/, 0zt时，) c 8 (-cos 12000 1 2 z eS 因为fc ， 2 f 2 c 4 c 8 - 所以)/(101.32610 2.4 10 255 mW zz eeS 。 （3）)/(10326 . 1 2 E ) 2 1 Re()Re( 25 2 0 mW zz * cav eeHESS 。 7-5 在自由空间中，某平面波的波长为 0.2m，当波进入到某理想介质后，波长变为 0.09m。 设理想介质的1 r ，求其 r 及平面波在其中的波速 p 。 【考点分析】【考点分析】同一个波在不同介质间传播时传播特性的变化。 【解题过程】【解题过程】 0r0r r 2 2 k 2 （1） rr r 0.09 0.2 ，其中1r4.938 81 400 ) 0.09 0.2 ( 2 r （2）)/(101.35 0.2 0.09 c c 8 r p sm。 7-11 均平面波在无损介质中传播，在某点处的复矢量为)/(24mkV zyx eeeE ， )/(3186mA zyx eeeH ，求： （1）波的平均功率流密度及波传播方向的单位矢量。 （2）设 rr , 1为多少？ 【考点分析】【考点分析】波的平均功率流密度及波矢量的计算。 【习题解答】【习题解答】 （1）HEHES * av 2 1 ) 2 1 Re( )782433( 2 1 3186 214 2 1 zyx zyx eee eee )/(44782433)( 2 1 2222 mkW 传播方向的单位矢量： zyx zyx zyx av av eee eee eee S S e 0.8860.2730.375 )782433( 2 1 )782433( 2 1 （2）考虑波阻抗 369 100021 3)(186 100021)(4 222 222 H E 因为 369 100021 1 120 r0 0 r r 所以2.52.497 100021 )(120 2 2 r 。 7-14 设真空中一平面波的波矢量： )/( 22 mrad)ee (k yx 电场强度振幅)/(33mVEm，z 方向线极化，求： （1）电场强度t), r (E ；（2）磁场强度t), r (H 。 【考点分析】【考点分析】平面波的线极化。 【解题过程】【解题过程】（1）因为 rk EE j 0 e，且 22 )ee (k yx ， zyx zyx eeer ， z0z0 eEeE 33 所以y) 22 x 22 cos(e33e33 z y) 22 x 22 j( t z eE 真空中：m/s103c 8 ，)/(10 2 3 ckvk 8 p srad 所以y) 22 x 22 t10 2 3 cos(33 8 z et)(r,E （2）设n 为k 的单位方向向量 )( 2 2 2 22 22 yx yx ee ee k k n y)(A/m) 22 x 22 t10 2 3 )cos( 80 61 8 yx eeEnH 。 7-20 证明电磁波在良导体中传播时，每经过一个波长，场强衰减 55dB。 【考点分析】【考点分析】导电媒质中均匀平面波的传播特性。 【解题过程】【解题过程】良导体中 2 r ，其中为衰减常数，为相位常数 不妨取100 r ，经过一个周期后： l l 0 0 0 1 e E eE E E ， 衰减量ll l 8.686(lge)20lge E E 20lgL 0 1 ，其中 2 2 l， 所以55dB54.58 8.686L。 7-26 判断下列各式表示的均匀平面波的极化状态： （1） jkz m jkz m eEejE yx eeE （2）)cos()sin(kztEkztE mm yx eeE （3）)4cos()4sin(kztEkztE mmyx eeE （4）)cos(2)sin(kztEkztE mm yx eeE （5） jz y ejj)2()21(eeE x （6） )2( 52 yxj yy ejj eeeE x （7）)4106cos()34()4106sin()43( 88 ztEzt myxy eeeeE x 【考点分析】【考点分析】三种极化状态的判断（线极化、圆极化、椭圆极化） 。 【解题过程】【解题过程】 （1）0 yx ， mymxm EEE，故为线极化，沿 Z 负方向传播； （2）kz)cos(E) 2 kzcos(E