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最优控制习题及参考答案最优控制习题及参考答案 习题 1 求通过，使下列性能指标为极值的曲线： (0)1x=(1)2x= 0 2 (1) f t t J =xdt? + 解：解： 由已知条件知：， 0 0t =1 f t = 由欧拉方程得：(2 )0 d x dt ? = 1 xC=? 12 xC tC=+ 将代入，有： (0)1(1)2xx= ，= 21 11CC=， 得极值轨线： *( ) 1x tt= + 习题 2 求性能指标： 1 2 0 (1)J =xd? +t 在边界条件，(0)0x=(1)x是自由情况下的极值曲线。 解：解： 由上题得： * 12 ( )x tC tC=+ t 0 1 0 x *( ) x t 由得：C (0)0x= 2 0= 由 1 2 ()20 f f f tt tt L x tC x = = = ? ? = 于是： *( ) 0x t = 【分析讨论】对于任意的 0 (0)xx=(1)x，自由。 62 有：，即： 20 Cx= 1 0C = * 0 ( )x tx= 其几何意义：(1)x自由意味着终点在虚线上任意点。 习题 3 已知系统的状态方程为： 12 ( )( )x tx t=? ， 2( ) ( )x tu t?= 边界条件为：， 12 (0)(0)1xx= 12 (3)(3)0xx= 试求使性能指标 3 2 0 1 ( ) 2 J =ut dt 取极小值的最优控制以及最优轨线 *( ) u t *( ) x t。 解：解： 由已知条件知： 2 x f u = Hamiton 函数： T HLf=+ 2 122 1 2 Huxu=+ 由协态方程： 1 21 0 = = ? ? 得： 11 21 C C tC = = + 2 由控制方程： 2 0 H u u =+= 得：u 212 C tC= = 2 由状态方程： 21 xuC tC=? 得： 2 212 1 ( ) 2 3 x tC tC t=+C 由状态方程： 12 xx=? 得： 32 1123 11 ( ) 62 4 x tC tC tC tC=+ 63 将 1 (0) 1 x = ， 0 (3) 0 x = 代入，, 联立解得： 1 10 9 C=， 2 2C = 34 1CC= 由、式得： * 10 ( )2 9 u tt= *32 1 5 ( )1 27 x tttt=+ + *2 2 5 ( )21 9 x ttt=+ 习题 4 已知系统状态方程及初始条件为 ， x=u?(0)1x= 试确定最优控制使下列性能指标取极小值。 1 222 0 () t J =xue d+ t 解：解： 2222tt Hx eu eu=+ 列方程： 2 2 2 2 t t xu xe e u = = += ? ? 0 由得， 2 1 2 t ue = 代入得， 2 22 1 2 1 2 t tt xe xee = = + ? ? ? 将，代入，并考虑到 ux=? 2222 1 ( 2)( 2) 2 tttt xexeee = +?x 整理可得：20xxx+=? 64 特征方程： 2 210ss+ = 12 121ss= += ，2 于是得： 12 * 12 ( ) s ts t x tC eC e=+ *2 ( )22 tt te ue 2 x ? = = 12 *2 1 122 ( )2() s tst teC s eC s e= + t 由(0)1x=，得：CC 12 1+= 由()(1)0 f t=得： 12 1 122 0 ss C s eC s e+= 、联立，可得 12 CC、 代回原方程可得 * xu 求导 （略） 习题 5 求使系统： 12 xx=?， 2 xu=? 由 初 始 状 态出 发 ， 在时 转 移 到 目 标 集 ，并使性能指标 12 (0)(0)0xx=1 f t= 12 (1)(1)1xx+= 1 2 0 1 ( ) 2 J =ut dt 为最小值的最优控制及相应的最优轨线 *( ) u t *( ) x t。 解：解： 本题与习题 3 同，故( )( )fLi ，i( )H i相同方程同通解同 有： 11212 32 1123 2 2123 12 11 62 1 2 CC tC 4 xC tC tC tC xC tC tC uC tC = + =+ =+ = ， 65 0 (0) 0 x = 由 ，有： 34 0CC= 由 12 (1)(1)1xx+=，有： 1212 111 1 622 CCCC+= 12 23 1 32 CC= 由(1)0 T xx =+= ， 12 1xx=+ 有： 12 1 (1)0(1)(1) 1 = 于是：CC 112 C= + 2CC 1=2 12 36 77 C=-、-C 、联立，得： 于是： * 36 77 ut= + *3 1 *2 2 13 147 36 147 2 xtt xtt = + = + 习题 6 已知一阶系统：( )( )( )x tx tu=+?t t ， (0)3x= （）试确定最优控制u，使系统在时转移到，并使性 能泛函 *( ) 2 f t=(2)0x= 2 2 0 (1)minJ =udt+= 66 （）如果使系统转移到的终端时间()0 f x t= f t自由，问应如何确定？ *( ) u t 解：解： 2 1Huux= + 列方程： 20 xxu u = + = += ? ? 由协态方程得： 1 t C e= 由控制方程： 1 1 2 t uC= e 代入状态方程： 12 11 ( ) 24 tt 1 t xxC ex tC eC e = =? 2(2) f tx=，0 21 22 21 1 3 4 1 0 4 CC C eC e = = 解得： 1 4 12 1 C e = ， 4 2 4 3 1 e C e = 代入得： * 4 6 ( ) 1 t u te e = ()2 ff x tt=自由， 21 21 1 3 4 1 0 4 ()0 ff tt f CC C eC e H t = = = 解得： 1 4060.325C?= = 67 *( ) 0.162 t u te= 习题 7 设系统状态方程及初始条件为 ( )( )x tu t=?， (0)1x= 试确定最优控制，使性能指标 *( ) u t 2 0 1 2 f t f J =tu dt+ 为极小，其中终端时间 f t未定， 。 ()0 f x t= 解：解： 2 1 2 Huu=+ 由协态方程得： 1 0C= ? 由控制方程： 1 0uuC+= 由状态方程： 1 ( ) 12 xuCx tC tC= = +? 由始端： 2 (0)11xC= 由末端： 1 ()010 ff x tC t= + = 考虑到：()1 f ff H t tt = = 有： 2 1 1 2 uu+= 222 111 1 12 2 CCC= = 1 2C = 当 1 2C =时，代入 有： 1 11 2 f t C = 68 当 1 2C =时，代入 有： 1 11 2 f t C =，不合题意，故有 1 2C = 最优控制 * 2u = 习题 8 设系统状态方程及初始条件为 12 ( )( )x tx t?=， 1(0) 2x= 2( ) ( )x tu t?=， 2(0) 1x= 性能指标为 2 0 1 2 f t J =u dt 要求达到，试求： （1）时的最优控制； ()0 f x t=5 f t= *( ) u t （2） f t自由时的最优控制； *( ) u t 解：解：本题与前同，故有 ( )( )( )fLHii，i 11 212 32 1123 2 2123 12 11 62 1 2 C C tC 4 xC tC tC tC xC tC tC uC tC = = + =+ =+ = 由 ，得： 2 (0) 1 x = 0 (5) 0 x = 4 3 1234 123 2 1 12525 50 62 25 50 2 C C CCCC CCC = = += += 69 联立得： 12 0.4321.28CC=， * 0.4321.28ut= f t自由 4 3 32 1234 2 123 1 2 11 0 62 1 0 2 ()0 fff ff f C C C tC tC tC C tC tC H t = = + += = = 0 联立有： 2 2 22 22 ff C tC t+=， 无论为何值， 2 C f t均无实解。 习题 9 给定二阶系统 12 1 ( )( ) 4 x tx t=+?， 1 1 (0) 4 x= 2( ) ( )x tu t?=， 2 1 (0) 4 x= 控制约束为 1 ( ) 2 u t，要求最优控制，使系统在 *( ) u t f tt=时转移到， 并使 ()0 f x t= 2 0 ( )min f t J =ut dt= 其中 f t自由。 解：解： 2 1212 1 4 Huxu=+ 本题属最小能量问题，因此： 22 * 2 2 1 1 2 1 ( )1 2 1 1 2 u t = 由协态方程可得： 112121 221 0 t C eC C =+ = ? ? 由 2 () 1() f f t x t = 1 12 1CCe=， 1 11 2 10 1 t et 1=+ = 在的范围内 故： * 10ut= ,1 若 需 计 算 最 优 轨 线 ， 只 需 把 * 1u = 代 入 状 态 方 程 ， 可 得 ： * 1 * 2 ( )21 ( )22 t t xte xtet = = + 习题 11 设系统状态方程为 12 ( )( )x tx t=?， 11 (0) 0 xx= 72 2( ) ( )x tu t=?， 22 (0) 0 xx= 性能指标为 22 1 0 1 (4) 2 J =xu + dt 试用调节器方法确定最优控制。 *( ) u t 解：解： 由已知条件得： 01 00 A = ， 0 1 B = ， 40 00 Q = ， 1R = 01 , 10 BAB = 可控 最优解存在 考虑到 ，故 402 20 000 T QD D = 20D = 闭环系统渐近稳定 20 02 D DA = 由 Riccati 方程 1 0 TT A P