2016年量纲分析谈庆明教授答案修改版.pdf

? 年秋季量纲分析习题修改版 ? ? 授课教授：谈庆明 ? 张旭辉? 中国科学院大学 ? 年 ? 月 ? 日 ?什么是量纲？什么是单位？两者之间有什么关系？ 答：量纲是指物理量的基本属性；而单位是指度量某个物理量时用来进行比较的标准量。任何一 个物理量都表示某种测量的结果，不论是直接的或者是间接的。物理量也总有质和量这两个特征。质 （量纲）是指该物理量所包含的基本物理要素及其结合方式，量（单位）则是指其比较意义上的大小。 针对具体的问题，有两个以上的物理量。例如速度这个物理量是表示物体在单位时间中的位移，基本 物理要素是时间和长度，结合方式是时间除以长度，或写成 L/T。因此，L/T 就描述了速度这个量的 基本属性，即为其量纲，与度量速度的单位（国际单位制中的单位）没有任何关系。至于某一速度的 具体大小，才会用一定的测量单位和测量值来确定。同一量用不同单位得到的大小不同，与所选的单 位有关。 ?请查阅资料，? 一词包含什么涵义？说说它的历史演变（注明资料出处）。 答：在 ? 词典中，? 一词有以下含义： ? 在一个方向上的度量； ? 可以描述一个数学系统（实际或抽象的点集合）的所有特性的集合； ? 向量空间中基向量里元素的数量； ? 空间实体的大小； ? 事物延伸的范围或者程度； ? 任何一个基本的物理量； ? 切成特定形状的木头或者石头； ? 存在或意识的一种程度； 下面介绍量纲和量纲分析的历史演变。? ? 欧几里得提出只有类型相同的东西才能相互比较 ； ?参考 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 年秋季量纲分析习题修改版 ? ? 授课教授：谈庆明 ? 张旭辉 ? 伽利略提出速度是距离和时间的比值， 而不是长度的单位比上时间的单位， 也不是现在的距离等于 速度乘以时间； ? ? 年，牛顿同样也提出力的比值定义，而不是现在的 F = ma； ? 傅里叶在热的解析理论一书中提出物理量是有量纲的，做了一张表记录一些物理量的量纲，还 提出一个齐次性定律，指出方程的各项都应该是无量纲的； ? ? 在 ? 年首次使用量纲分析法分析两个力的合力； ? ? 年，瑞利在声学理论一书中大量使用量纲分析，其中有一章专门介绍量纲分析； ? ? 年到 ? 年，大量法国科学家发展了很多关于量纲分析更加严格的理论； ? ? 年， ? 第一次提出了 定理但没有引起大家重视， 直到 ? 年俄罗斯科学家 ? ? 把这个定理发扬光大（课本中是 ? 年 ? ? 写的 定理） 。 ? 量纲是物理量的基本属性，是物理空间的维度。 ?请查阅百度百科中的量纲条目，并对该条目进行完整的修正。 以下摘自百度百科中的量纲条目： 量纲（?）是指物理量的基本属性。物理学的研究可定量地描述各种物理现象，描 述中所采用的各类物理量之间有着密切的关系， 即它们之间具有确定的函数关系。 为了准确 地描述这些关系，物理量可分为基本量和导出量。基本量是具有独立量纲的物理量，导出量 是指其量纲可以表示为基本量量纲组合的物理量；一切导出量均可从基本量中导出，由此 建立了整个物理量之间函数关系。这种函数关系通常称为量制。以给定量制中基本量量纲 的幂的乘积表示某量量纲的表达式， 称为量纲式或量纲积。 它定性地表达了导出量与基本量 的关系，对于基本量而言，其量纲为其自身。在物理学发展的历史上，先后曾建立过各种不 同的量制：? 量制、静电量制、高斯量制等。? 年后，国际上普遍采用了国际单位制 （简称 ?），选定了由 ? 个基本量构成的量制，导出量均可用这 ? 个基本量导出。? 个基本 量的量纲分别用长度 L、质量 M、时间 T、电流 I、温度 、物质的量 N 和光强度 J 表 示，则任一个导出量的量纲 ?A = LMT INJ 这是量纲的通式。式中的指数 ，? 称为量纲指数，全部指数均为零的物理量，称为 无量纲量，如精细结构常数即为一无量纲量。此外，如速度的量纲 ?V = LT1，加速度 的量纲 ?a = LT2等。 百度百科混淆了量纲和单位的概念，而量纲的引入和单位没有必然的联系。现修改为以下： 量纲（?）是指物理量的基本属性。物理学的研究可定量地描述各种物理现象，描述中所 采用的各类物理量之间有着密切的关系，即它们之间具有确定的函数关系。为了准确地描述这些关系， 物理量可分为基本量和导出量。一切导出量均可从基本量中导出，任何一个物理量都表示某种测量的 ? ? 年秋季量纲分析习题修改版 ? ? 授课教授：谈庆明 ? 张旭辉 结果，不论是基本量或者是导出量。物理量也总有质和量这两个特征。质（量纲）是指该物理量所包 含的基本物理要素及其结合方式，量（单位）则是指其比较意义上的大小。例如速度这个物理量是表 示物体在单位时间中的位移， 基本物理要素是时间和长度， 结合方式是时间除以长度， 或写成 L/T。因 此，L/T 就描述了速度这个量的基本属性，即为其量纲，与度量速度的单位没有任何关系。至于某一 速度的具体大小，才会用一定的测量单位和测量值来确定。（般物理学中基本量纲有哪些？ ） ?请提出一个问题，并用量纲分析来剖析和解决问题。 问题：声音在气体中传播的速度和哪些物理量有关，能不能得出一个数学关系式？ 解：显然，在气体中传播，只有气体的密度 和压强 p 这两个因素可以影响声速。 v = f(,p) 和 p 在本问题中可以充当度量 v 的单位系统。 v = LT ?1 = ML?3 p = ML?1T ?2 注意到 !p/ 与 v 量纲相同，所以 v !p/= f(1,1) = ? = v = C!p/ 根据进一步的实验可得，在空气中 C 1.2。 ?自由落体问题有哪几种提法？各有哪些基本量和导出量？各取什么量做单位，得到什 么结果？ 答：由于自由落体是运动学问题，因此不考虑质量。自由落体问题包含下落高度 h、重力加速度 g、瞬时速度 v、和下落时间 t 等物理量，有很多种提法。画图！ ? 自由释放，问下落 h 高度的时间和瞬时速度？ 影响因素就只有 h、g，取此两个量为单位系统。 t = f(h,g) = t !h/g= ?. v = f(h,g) = v gh= ?. ? 自由释放，问下落 t 时间的瞬时速度 v 和下落高度 h？ 影响因素就只有 t、g，取此两个量为单位系统。 v = f(t,g) = v gt = ?. h = f(t,g) = h gt2 = ?. ? ? 年秋季量纲分析习题修改版 ? ? 授课教授：谈庆明 ? 张旭辉 ? 自由释放，问下落瞬时速度为 v 时的下落高度 h 和下落时间 t？ 影响因素就只有 v、g，取此两个量为单位系统。 h = f(v,g) = h v2/g = ?. t = f(v,g) = t v/g = ?. ?从物理上分析单摆周期与摆锤质量无关的原因。物理分析不是推导过程！ 解：单摆在日常生活中很常见，为了研究方便，做以下假设 ? 单摆摆绳的质量远小于摆锤的质量，可以忽略 ? 摆绳的形变远小于其长度，可以忽略 ? 空气阻力远小于重力，可以忽略 于是能影响单摆周期 T 的物理量只剩下摆锤质量 m、绳的长度 l、重力加速度 g 和初始偏离角 。 T = f(m,l,g,) m、l 和 g 包含了此问题中的所有基本量纲，在此可以组成一个单位系统。注意到 T 的量纲是时间，l 的量纲是长度，g 的量纲是长度?时间 2，于是 T 的量纲可由 l 和 g 的组合 ?长度?加速度?1/2 来表达。 T !l/g= f(1,1,1,) = f1() 因此可以得到以下结论 ? T 正比于 l ? T 正比于 g1/2 ? T 与质量 m 无关 ? T/!l/g 仅仅与 有关 ?求谐振子的自振频率。 解：假设一个质量为 m 的物体和一个劲度系数为 k 的弹簧相连，惯性的度量 m 和恢复力 k，单 位 m，k，那么其自振的角频率 = f(m,k) = !k/m= ?. ? ? 年秋季量纲分析习题修改版 ? ? 授课教授：谈庆明 ? 张旭辉 ?将基尔皮契夫的相似三定理与 定理逐条做比较，看哪种说法更为本质？ 答：基尔皮契夫的相似三定理如下： ? 彼此相似的现象，其同名相似准则无量纲量的数值相同 ? 物理现象中各物理量之间的关系，可以化为各相似准则之间的关系 ? 如果两个现象的单值条件相似，而且由单值量组成的同名相似准则数值相同，则这两个现象相似 而 定理为问题中有 N 个自变量 a1、a2? an和因变量 a，则 a 可以表示为 a = f(a1,a2,.,an) 其中基本量的数目是 k，则一定有 n k 个无量纲自变量和一个无量纲的因变量，上式可以化为 = g(1,2,.,nk) 定理显然包括了基尔皮契夫的相似三定理并且表述更加简洁，可以从以下几个方面看出 ? 定理中的变量对应相似三定理表述中的物理量 ? 定理中的无量纲量对应相似三定理表述中的同名相似准则 ? 对同一个函数 g，各无量纲量值相同时，g 的值也必定唯一，这对应相似三定理表述中的单值条 件相似 因此 定理更加本质，可根据课堂内容将三定理修正。 ? 定理有什么前提假设？得到什么结论？是否普遍适用？ 答：这个定理的前提假设是任何物理定律（问题）都可以用一个确定的函数或是方程来表达。 结论是如果一个物理问题有 n 个变量， 其中有一个因变量、 n1 个自变量、 k 个基本变量和 nk 个导出变量，那么就可构造出 n k 个无量纲量来反应这个物理问题的实质。这个定理是普遍适用 的。 （展开一下说明） ?求盛水容器底部侧壁小孔的出流速度。 解：显然，由于小孔太小，因此液面不会明显下降，可以忽略容器截面积和小孔的面积。出现在 此问题中的物理量有水的密度 （这个问题密度可以去掉） 、重力加速度 g、小孔离水面的高度 h、出 流速度 v，因此 v = f(,0,g,h) 以 、g 和 h 组成单位系统，则上式化为 v gh= f(1, 0 ,1,1) 注意到 0/ 为空气和水的密度之比为一个常数可以忽略，最后上式化为 v gh= ?. ? ? 年秋季量纲分析习题修改版 ? ? 授课教授：谈庆明 ? 张旭辉 ?若溢洪道的断面为三角形，讨论溢洪流量。 解： 假设有足够多的水提供稳定的流量，假设三角形断面的顶角为 ，三角形的高为 h，水的密 度为 ，重力加速度为 g。则流量 Q Q = f(,g,h,) Q = M/T，q = M/L3，g = L/T2，h = L，b = L，所以 Q g1/2h5/2 = f() = Q = g1/2h5/2 f() ?用量纲分析求取定常管流中的摩擦系数；并问什么情况下可不考虑密度的影响？说 明其物理原因。 解：假设密度为 、粘性系数为 的液体在长为 l、直径为 d 的圆管里流动，截面的平均流速为 U。为了求得此定常管流中的摩擦系数，首先来计算单位长度上的液压降 p/l，显然只有以上四个量 会影响单位长度上的液压降。 p l = f(d,U,) 以上方程的 ? 个独立量一共含有 ? 个独立的量纲，选择直径 d、截面的平均流速 U 和液体密度 为 单位系统，则 p U2 d l = f( Ud) = f( 1 ?) 接着来计算管道和液体接触的单位面积上的摩擦力 = p d2/4 d l = p d 4l 定常管流中的摩擦系数的定义为单位动压上的单位面积摩擦力 cd= U2/2 = p U2/2 d 4l = g(?) 根据近一步研究可得 cd= g(?) = ? ? 在层流状态，即雷诺数 ? 很小的时候，每一个液体微团以恒定的速度向前流动，此时流体的惯性即密 度不影响摩擦系数 cd。 ?能否用水洞做机翼的模型试验？如果可以，问尺寸和速度的缩比范围？如果不可以， 为什么？ 解：在一定条件下可以。根据 ? 题的答案进行本题的讨论，为了让模型和原型相似，需要达到以 下两个条件 “l l ,.,? # m = “l l ,.,? # p ? ? 年秋季量纲分析习题修改版 ? ? 授课教授：谈庆明 ? 张旭辉 “ W v2l2 # m = “ W v2l2 # p = Wm Wp = (v2l2)m (v2l2)p 可见有两个条件 ? 几何相似 “l l ,. # m = “l l ,. # p m= p ? 动力相似 (?)m= (?)p 因为水和空气是完全不同的两种流体，所以 (/)m= (/)p，只有当满足 (vl)m (vl)p = (/)m (/)p 时，才有 Wm Wp = (v2l2)m (v2l2)p = (2/)m (2/)p 在 25? 时 (vl)m (vl)p = (/)m (/)p = (8.9 104? ?)/(997?/?) (18.1 106? ?)/(1.1691?/?) = 5.766 102 设 1= vm/vp和 2= lm/lp， 则 12= ? 为可以做缩比实验的条件， 也即是尺寸和速度的缩比范 围。不同问题因为粘性系数和密度不同所以尺寸和速度的缩比范围也不同，但必须满足 12= ? 机翼的航速 vp 0.4 时下硬度和强度成正比。 ?什么是几何相似？什么是几何相似律，举例说明。 答：几何相似是模型和原型（不只是，照片和实物也可以）的形状几何相似，即模型和原型在任 何几何维度上的长度比值相等。比如在 ? 题用水洞做机翼的模型试验讨论中， 我们可以通过模型和原 型尺寸的比例判断，模型和原型几何相似。 几何相似律（无普遍定义，针对具体问题）表示若模型采用与原型同样的材料，则在满足几何形 状相似和分布函数相同的条件下，在几何相似点上，有相同的相对位移，应力和应变。比如在 ? 题用 水洞做机翼的模型试验中，我们遵循几何相似律，因为我们知道流动现象中若两种流动相似，应满足 几何相似。在构建任何模型时，我们都应该考虑到几何相似律。 ? ? 年秋季量纲分析习题修改版 ? ? 授课教授：谈庆明 ? 张旭辉 ?相似律是否一定要求几何相似？为什么？ 答：相似律不一定要求几何相似。凡是具有同一特征的现象，当反应特性的单值条件（包括系统 的几何形状、介质的物理性质、起始条件和边界条件等）彼此相似，即由单值条件的物理量所组成的 相似判据在数值上相等时，则这两个现象必定相似。因为单值条件的物理量所组成的相似判据中有可 能不包含几何相似，因此相似律不一定要求几何相似。比如 ? 题模拟简支梁的挠度分布，由于相似准 数中没有明确的几何相似，就不需要强求几何相似，换言之，可以用工字梁来模拟矩形梁。 ?一维管流是否存在几何相似律，为什么？ 答：一维管流不存在几何相似律，根据 ? 题可知，一维管流的相似准数仅仅只有雷诺数 ?。根 据 ? 题的结论，可知一维管流只有动力相似律没有几何相似律。高速喷管流动呢，? = f(A/A) ?估计和比较几种典型金属材料中弹性变形和热传导的传播时间。 解：以下列举三种常见的金属材料 ? 密度 = 7.8 103?/?，比热容 c = 0.5 103? ?/? ?，热导率 = 50?/? ? ，杨氏模量 E = 2.1 1011?/? ?，特征尺度为 1? 的钢 热传导的特征时间 t?.?. cl2 = 7.8 103 0.5 103 12 50 ? = 0.78 105? 弹性变形传播的特征时间 t?.?. l !E/= 1 !2.1 1011/(7.8 103)? = 1.9 104? = t?.?. t?.?. = 1.9 104 0.78 105 2 109 ? 密度 = 2.7103?/?，比热容 c = 0.88103? ?/? ?，热导率 = 237?/? ? ，杨氏模量 E = 7 1010?/? ?，特征尺度为 1? 的铝 热传导的特征时间 t?.?. cl2 = 2.7 103 0.88 103 12 237 ? = 1.0 104? 弹性变形传播的特征时间 t?.?. l !E/= 1 !7 1010/(2.7 103)? = 2 104? = t?.?. t?.?. = 2 104 1.0 104 2 108 ? 密度 = 1.738 103?/?，比热容 c = 1.0 103? ?/? ?，热导率 = 156?/? ? ，杨氏模 量 E = 4.5 1010?/? ?，特征尺度为 1? 的镁 热传导的特征时间 t?.?. cl2 = 1.738 103 1.0 103 12 156 ? = 1.1 104? 弹性变形传播的特征时间 t?.?. l !E/= 1 !4.5 1010/(1.738 103)? = 2 104? = t?.?. t?.?. = 2 104 1.1 104 1.8 108 可解耦分析 ? ? 年秋季量纲分析习题修改版 ? ? 授课教授：谈庆明 ? 张旭辉 ?估计和比较含水地层中弹性变形和渗流的传播时间。 解：假设含水地层的土质为粉质土（? ?）?，平均密度 = 1.75 103?/?，渗流系数 k = 104?/