北京市昌平区2016年5月高三第二次统一练习数学理试题含答案.doc

昌平区 2016年高三年级第二次统一练习 数学试卷（理科） （满分150分，考试时间 120分钟）2016.5考生须知：1 本试卷共6页，分第卷选择题和第卷非选择题两部分。2 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。3 答题卡上第i卷(选择题)必须用2b铅笔作答，第ii卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2b铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。4 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。5 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。第卷（选择题 共40分）一、 选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)（1）复数 a b c d（2） 已知双曲线的一个焦点为，实轴长为6，则双曲线的渐近线方程为a b. c. d. (3) 若满足则的最小值为 a b. c. d. （4）设是两个不同的平面，是直线且“”是“”的 a充分不必要条件 b必要不充分条件 c充要条件 d既不充分也不必要条件（5）如图，过点和圆心的直线交于两点()，与切于点，于，则的长度为a. 1 b. c. 2 d. （6）执行如图所示的程序框图，否是开始 输出结束 如果输出的值为3，则判断框内应填入的判断条件为a. b. cd（7）已知函数f (x) 是定义在上的奇函数， 当时，f (x) 的图象如图所示，那么满足不等式 的的取值范围是 a. b. c. d. （8）将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形.去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星，如图所示.设正八角星的中心为，并且 若将点到正八角星16个顶点的向量，都写成为的形式，则的最大值为a b. 2 c. d. 第卷（非选择题 共110分）二、 填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）已知是等比数列()的前项和，若，公比 ，则数列的通项公式 .（10）在极坐标系中，为极点，点为直线上一点，则 的最小值为_.(11) 如图，点是的边上一点，那么_;_. (12) 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的棱长为_.（13）2016年3月12日，第四届北京农业嘉年华在昌平拉开帷幕.活动设置了“三馆两园一带一谷”七大板块.“三馆”即精品农业馆、创意农业馆、智慧农业馆；“两园”即主题狂欢乐园、农事体验乐园；“一带”即草莓休闲体验带；“一谷”即延寿生态观光谷.某校学生准备去参观，由于时间有限，他们准备选择其中的“一馆一园一带一谷”进行参观，那么他们参观的不同路线最多有_种. （用数字作答） （14）已知数列中，若则_；记则_.三、解答题(本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)（15）（本小题满分13分）已知函数的部分图象如图所示.（）写出函数的解析式及的值；（）求函数在区间上的最大值与最小值. （16）（本小题满分13分）为了解高一新生数学基础，甲、乙两校对高一新生进行了数学测试. 现从两校各随机抽取10名新生的成绩作为样本，他们的测试成绩的茎叶图如下：甲校 乙校 5 1 9 1 1 2 4 3 3 8 4 77 4 3 2 7 7 8 8 6 5 7 8 （i） 比较甲、乙两校新生的数学测试样本成绩的平均值及方差的大小；（只需要写出结论）（ii） 如果将数学基础采用a、b、c等级制，各等级对应的测试成绩标准如下表：（满分100分，所有学生成绩均在60分以上）测试成绩基础等级abc假设每个新生的测试成绩互相独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，求甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级的概率. （17）（本小题满分14分）如图，三棱柱中，垂直于正方形所在平面，为中点，为线段上的一点（端点除外）， 平面与交于点.（i）若不是的中点，求证：;（ii）若是的中点，求与平面所成角的正弦值;（iii）在线段上是否存在点，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.（18）（本小题满分13分）已知函数，且曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线. 设.（i）求的值，及的关系式；（ii）求函数的单调区间；（iii）设，若对于任意，都有，求的取值范围（19）（本小题满分13分）已知椭圆：的焦距为，点在椭圆上，过原点作直线交椭圆于、两点，且点不是椭圆的顶点，过点作轴的垂线，垂足为，点是线段的中点，直线交椭圆于点，连接（）求椭圆的方程及离心率；（）求证：.（20）（本小题满分14分）定义表示中的最大值.已知数列，其中， .记.（i）求；（ii）当时，求的最小值；（iii），求的最小值.昌平区 2016年高三年级第二次统一练习 数学试卷参考答案及评分标准 （理科） 2016.5一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)题号 1 2 3 4 5 6 78 答案 b a d a c bb c二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9） （10） （11） ; （12） （13）144 （14）三、解答题(本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)（15）（本小题满分13分）解：（i） 7分 （ii）由， 9分当时，即，当时，即， 13分（16）（本小题满分13分）解： （i）两校新生的数学测试样本成绩的平均值相同；甲校新生的数学测试样本成绩的方差小于乙校新生的数学测试样本成绩的方差. 6分 （ii）设事件=“从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级”.设事件=“从甲校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为a”，设事件=“从甲校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为b”，设事件=“从乙校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为b”，设事件=“从乙校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为c”，根据题意，所以 .因此，从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级的概率为 13分（17）（本小题满分14分）（i）证明：连接，交于点，连接. 在三棱柱中， 为中点, 且为中点， 所以. 因为, 所以. 2分由已知，平面与交于点，所以从而，又， 所以,所以. 4分(ii) 建立空间直角坐标系 如图所示.设平面的法向量为由得,令,得. 6分 8分所以，与平面所成角的正弦值为. 9分(iii) 在线段上存在点，使得且.理由如下：假设在线段上存在点，使得设,.则,. . 11分，.,解得: . 13分所以，在线段上存在点，使得且.14分（18）(本小题满分13分）解：（i）因为函数，所以函数，.又因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，所以，即 4分（ii）由已知，.所以.设，所以，r，所以在上为单调递增函数. 6分由（i）得，所以，即0是的零点.所以，函数的导函数有且只有一个零点07分所以及符号变化如下，-+极小值 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.9分（iii）由（ii）知当 时，是增函数.对于任意，都有等价于，等价于当时，因为，所以在上是增函数，又，所以. 13分（19）（本小题满分13分）解：（i）由题意知，则，所以椭圆的方程为，椭圆的离心率为. 5分（ii）设，则由点在椭圆上，所以 点不是椭圆的顶点，-得 .法一：又且点三点共线，所以, 即 所以，即 . 13分法二：由已知与的斜率都存在，又得则，即 . 13分（20）（本小题满分14分）解：（i）由题意，因为，所以，当时，则，当时，则，当时，则. 4分（ii）当时，因为数列为单调递减数列，数列为单调递增数列，所以当时，取得最小值，