黄克智版张量分析第一章习题解析.pdf

1.1 求证：求证：u(vw)=(u w)v(u v) w 并问：并问： u(vw) 与与 (uv)w 是否相等是否相等？u，v，w 为矢量为矢量。 证明：证明： kji kji wv xyyxzxxzyzzy zyx zyx wvwvwvwvwvwv www vvv k ji kji wvu yzzyyzxxzx xyyxxyzzyzzxxzzxyyxy xyyxzxxzyzzy zyx wvwvuwvwvu wvwvuwvwvuwvwvuwvwvu wvwvwvwvwvwv uuu kjivwu zyxzzyyxx vvvwuwuwu kjiwvu zyxzzyyxx wwwvuvuvu k j i kji kji wvuvwu yzzyyzxxzx xyyxxyzzyz zxxzzxyyxy zyxzzyyxx zyxzzyyxx wvwvuwvwvu wvwvuwvwvu wvwvuwvwvu wwwvuvuvu vvvwuwuwu wvuvwuwvu kji kji vu xyyxzxxzyzzy zyx zyx vuvuvuvuvuvu vvv uuu k ji kji wvu zxxzxyzzyy yzzyzxyyxxxyyxyzxxzz zyx xyyxzxxzyzzy vuvuwvuvuw vuvuwvuvuwvuvuwvuvuw www vuvuvuvuvuvu wvuwvu 1.2 求证：求证： (AB) (CD)=B(A CD) A(B CD) =C(A BD) D(A BC) 证明：证明： kji kji BA xyyxzxxzyzzy zyx zyx BABABABABABA BBB AAA kji kji DC xyyxzxxzyzzy zyx zyx DCDCDCDCDCDC DDD CCC kji kji CB xyyxzxxzyzzy zyx zyx CBCBCBCBCBCB CCC BBB kji kji DB xyyxzxxzyzzy zyx zyx DBDBDBDBDBDB DDD BBB xyyxzxxzyzzy xyyxzxxzyzzy DCDCDCDCDCDC BABABABABABA kji DCBA xyyxzzxxzyyzzyx DCDCADCDCADCDCADCA xyyxzzxxzyyzzyx DCDCBDCDCBDCDCBDCB k j i kji kji DCBADCAB zxxzyyzzyxz zxxzyyzzyxz xyyxzyzzyxy xyyxzyzzyxy xyyxzzxxzyx xyyxzzxxzyx zyx xyyxzzxxzyyzzyx zyx xyyxzzxxzyyzzyx DCDCBDCDCBA DCDCADCDCAB DCDCBDCDCBA DCDCADCDCAB DCDCBDCDCBA DCDCADCDCAB AAA DCDCBDCDCBDCDCB BBB DCDCADCDCADCDCA xyyxzzxxzyyzzyx DCDBADBDBADBDBADBA xyyxzzxxzyyzzyx CBCBACBCBACBCBACBA k j i kji kji CBADDBAC yxxyzxyyxzz yxxyzxyyxzz xzzxyzxxzyy xzzxyzxxzyy zyyzxyzzyxx zyyzxyzzyxx zyx xyyxzzxxzyyzzyx zyx xyyxzzxxzyyzzyx CACABCBCBAD DADABDBDBAC CACABCBCBAD DADABDBDBAC CACABCBCBAD DADABDBDBAC DDD CBCBACBCBACBCBA CCC DBDBADBDBADBDBA 1.3 求证矢量的非退化性求证矢量的非退化性。即：若矢量。即：若矢量 v 与它所属的矢量空间与它所属的矢量空间 中的任意矢量中的任意矢量 u 都正交，即：都正交，即：u v=0，则矢量，则矢量 v=0。 证明：证明：因为因为 u 为任意，所以可为任意，所以可取取 u1，u2，u3，使得，使得 0det 333 222 111 zyx zyx zyx uuu uuu uuu U 由由 u v=0 得得 0 0 0 333 222 111 zzyyxx zzyyxx zzyyxx uvuvuv uvuvuv uvuvuv 因为因为 detU0，所以，所以 vx=vy=vz=0 是唯一零解，即：是唯一零解，即：v=0。 1.4 已知：矢量已知：矢量 u，v，求证：，求证： vuvu 证明：证明： vuvuvuvu,sin 1.5 求证：求证： a，b 线性相关。线性相关。 0ba 0 kji kji ba xyyxzxxzyzzy zyx zyx babababababa bbb aaa 证明：证明： 0 0 0 xyyx zxxz yzzy baba baba baba 即即 或或 c b a b a b a z z y y x x 故故 bac 即，即，a，b 线性相关。线性相关。 1.6 求证：求证： a，b，c 线性相关。线性相关。 0cba 证明：证明： 0cbacba 即即 cba 或或 a，b，c 共面。三维空间中共面的三矢量线性相关。共面。三维空间中共面的三矢量线性相关。 1.7 已知：矢量已知：矢量 b=2i +j -2k，c=i +2j +3k，i，j，k 为笛卡儿基；为笛卡儿基； 若将若将 c 分解为与分解为与 b 平行的矢量及垂直于平行的矢量及垂直于 b 的矢量的矢量 a 之和，即之和，即c=a +mb。 求求 a；m( (其中其中 b a =0) ) 解解： kji kjikjibca mmm mm 23221 2232 092 2322212 2322122 m mmm mmmkjikjiab 9 2 mkjia 9 23 9 20 9 13 1.8 利用利用 证明证明gij 是对称正定的。是对称正定的。 ， i i xddgr 证明：证明： 0ddddddd 2 ij ji ji ij j j i i xxgxxgxxggr 即即 gij 是对称正定的。是对称正定的。 1.9 求证：对于一组非共面的求证：对于一组非共面的gi，存在唯一的，存在唯一的 gj，gj 也是非也是非 共面的。共面的。 证明：证明： 参见：参见： 由协变基矢量求逆变基矢量由协变基矢量求逆变基矢量 式（式（1.2.17）及式（）及式（1.2.25 ）。）。 1.10 已知：以已知：以i，j，k 表示三维空间中笛卡坐标基矢量，表示三维空间中笛卡坐标基矢量， jigkigkjg 321 , （1）按公式（）按公式（1.2.17），求），求 g1，g2，g3 以以 i，j，k 表示的式子；表示的式子； （2）求）求grs 。 解：解： 2 011 101 110 321 ggg kji kji gg 011 101 32 kji kji gg 110 011 13 kjig 2 1 3 kjig 2 1 1 kjig 2 1 2 kji kji gg 101 110 21 2 1 2 1 1 2 33 3223 22 3113 2112 11 jiji jiki kiki jikj kikj kjkj g gg g gg gg g 1.11 根据上题结果验算公式根据上题结果验算公式：gj=gjigi 解：解： kj kjikjikji gggg 2 1 2 1 2 1 2 3 13 2 12 1 111 ggg ki kjikjikji gggg 2 1 2 1 2 2 1 3 23 2 22 1 212 ggg ji kjikjikji gggg 2 1 2 2 1 2 1 3 33 2 32 1 313 ggg 1.12 已知：已知：u=2g1+3g2-g3，v=g1-g2+g3，基矢量同上题。运用，基矢量同上题。运用 1.11 题求得的题求得的 grs 计算：计算： （1）u v ；（；（2）u，v 的协变分量。的协变分量。 解：解： 2 21112131122 32 32 333231232221131211 321321 ggggggggg ggggggvu 3 7 6 1 3 2 211 121 112 , 3 2 1 333231 232221 131211 3 2 1 u u u ggg ggg ggg u u u gvvguu ij j iij j i 2 0 2 1 1 1 211 121 112 3 2 1 333231 232221 131211 3 2 1 v v v ggg ggg ggg v v v 2 2 0 2 132 2 1 1 1 376 i i i i vu vu vu 1.13 已知已知: :（1）圆柱坐标系如图（）圆柱坐标系如图（a），），r =x1， =x2，z =x3。 （2）球坐标系如图（）球坐标系如图（b），）， r =x1， =x2， =x3。 x3 O x2 x1 z r x3 O x2 x1 r 求：两种坐标系中：求：两种坐标系中： （1）gi 通过笛卡儿基通过笛卡儿基 i，j，k 的表达式，画出简图。的表达式，画出简图。 （2）求）求 gi，说明，说明 gi 和和 gi 的大小与方向有何关系。的大小与方向有何关系。 （3）由）由 gi 求求 gij，gij， 。 2 dr 解：解：（1） kjig kjig kjig 3 3 3 2 3 1 3 2 3 2 2 2 1 2 1 3 1 2 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x 圆柱坐标系：圆柱坐标系： 33 212 211 sinsin coscos xzx xxrx xxrx kg jig jig 3 2121 2 22 1 cossin sincos xxxx xx jig kjig kjig 321321 3 21321321 2 23232 1 cossinsinsin sinsincoscoscos cossinsincossin xxxxxx xxxxxxxx xxxxx 球坐标系：球坐标系： 213 3212 3211 coscos sinsinsinsin cossincossin xxrx xxxrx xxxrx x3 O x2 x1 z r g1 g2 g3 x3 O x2 x1 r g1 g2 g3 （2） 圆柱坐标系：圆柱坐标系： 321 21 3 321 13 2 321 32 1 , ggg gg g ggg gg g ggg gg g rrr rr kkk kjiji gggggg 22 321321 sincos cossinsincos 1 1 cossincossin 1 gijkjigrr r 2 2 2 1 sincos 1 sincos 1 gijjikg rrr 3 22 3 sincos cossinsincos 1 gkkk jijig rr r 球坐标系：球坐标系： sin cossinsinsin cossinsinsincossin cossinsinsin sincoscoscos sinsincossincossin cossincossincossin cossinsinsin sinsincoscoscos cossinsincossin 2 2222 22 2 2 321321 r rr rrrr rr rr rr rr rr rrr jiji ji ij ik jk ji kji kji gggggg 1 22 22 2 1 cossinsincossin cossinsinsin sincossincoscossin sin 1 cossinsinsin sinsincoscoscos sin 1 gkji ij kk ji kjig rr rrr r 2 2 22 22 2 2 1 sinsincoscoscos 1 coscossincossin sincossinsinsin sin 1 cossinsincossin cossinsinsin sin 1 gkji ik jk kji jig rr r rr r 3 22 22 2 3 sin 1 cossinsinsin sin 1 cossin sin 1 g ji jig r rr r rr r （3） 332313 322212 312111 332313 322212 312111 gggggg gggggg gggggg gggggg gggggg gggggg ij ij g g ji ij j j i i xxgxxddddddd 2 ggrrr 圆柱坐标系：圆柱坐标系： 100 0 1 0 001 , 100 00 001 2 2 r grg ij ij 2 2 2 2 2 2 ddd d d d 100 00 001 dddd zrr z r rzr r 球坐标系：球坐标系： 22 2 22 2 sin 1 00 0 1 0 001 , sin00 00 001 r r g r rg ij ij 2 22 2 2 2 22 2 2 dsindd d d d sin00 00 001 dddd rrr r r rr r x3 O x2 x1 x3 O x2 x1 r z r d dr dz d d dr r dr dr r 1.14 斜圆锥面上坐标系斜圆锥面上坐标系 x1=，x2=z， R，H，C 为已知（如图）。为已知（如图）。 求：求：g ，g ，g （，=1，2）。）。 y z H x O r g1 g2 R C z 解：解：动点所在圆周的半径为动点所在圆周的半径为 R H z R 1 圆心至圆心至 z 轴的距离轴的距离 C H z C 1 在在 xy 平面上，该圆以平面上，该圆以 为参数的方程为为参数的方程为 sin cos 1 11 Ry RCx 于是，动点的矢径为于是，动点的矢径为 kjir 21 2 1 2 sincosxxR H x xRC H x k j i k j i g g HRRC RzRz H x x x x x x x x x x x x 0 sincos cossin 1 2 3 1 3 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 gg g H R RC Rz Rz HRRC RzRz H sin cos 0 cos sin 0 sincos cossin 1 2 cos2sin sin1 222 22 2 RCCRHRCz RCzzR H 22 222 2 2 22 2 1 sin sincos2 coszRRCz RCzRCCRH zCRHR H gg ggg k j i HRRC RzRz H 0 sincos cossin 1 22 222 2 2 22 2 sin sincos2 coszRRCz RCzRCCRH zCRHR H coscos sincos cos 22 22 2 2 22 zCRR zRCRHR zCRHR H k j i 2222 22222 sincos sincos1cos zHRzCRR HRCzCzRzCRHR 1.15 二维空间为半径为二维空间为半径为R的半的半 球面，如图，球面，如图，x1= ，x2= 。 用两种方法求用两种方法求 g ，g ，g ， g (，=1，2)。 z R g2 g1 O y R R x 解：解： kji kjir cossinsincossin cossinsincossin 13213213 RRR xxxxxxxx k j i g g 2 3 1 3 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 x x x x x x x x x x x x k j i g g 0cossinsinsin sinsincoscoscos 2 1 R gg g 2 2 2 sin0 01 0sin cossinsincos sinsincoscos 0cossinsinsin sinsincoscoscos R R 22 1 sin10 01 1 R gg ggg k j i 0cossinsinsin sinsincoscoscos sin10 01 1 22 R R k j i 0sincossinsin sinsincoscoscos 1 R 1.16 已知：圆柱坐标系中已知：圆柱坐标系中、球坐标系中矢量的逆变分量、球坐标系中矢量的逆变分量 v i。 利用题利用题 1.13 结果分别求两个坐标系中的协变分量结果分别求两个坐标系中的协变分量 vi 。 解：解： j iji gvv （1）圆柱坐标系）圆柱坐标系 3 22 1 3 2 1 2 3 2 1 100 00 001 v vr v v v v r v v v （2）球坐标系）球坐标系 3 2 22 1 3 2 1 2 2 3 2 1 sinsin00 00 001 vr vr v v v v r r v v v 1.17 求：题求：题 1.13 所示圆柱坐标和球坐标所示圆柱坐标和球坐标 xi，与笛卡儿坐标，与笛卡儿坐标 xj 的转换系数的转换系数 。与与 j i i j 解：解： 1 , j i i j ij i j j i x x 圆柱坐标系：圆柱坐标系： 33 212 211 sin cos xx xxx xxx 100 0cossin 0sincos rr j i 100 0cossin 0sincos r r i j 球坐标系：球坐标系： 213 3212 3211 cos sinsin cossin xxx xxxx xxxx 0cossinsinsin sinsincoscoscos cossinsincossin rr rrr j i 0sincos sincossincossinsin sinsincoscoscossin r rr rr i j 1.18 （1）已知）已知: :笛卡儿坐标系中笛卡儿坐标系中v 的分量为的分量为v1，v2，v3； 求：圆柱坐标中求：圆柱坐标中 v 的分量的分量 v1，v2，v3。 （2）已知）已知: :笛卡儿坐标系中笛卡儿坐标系中v 的分量为的分量为v1，v2，v3； 求：球坐标中求：球坐标中 v 的分量的分量 v1，v2，v3。 解：解： j j ii ji j i vvvv, （1） 3 2 1 3 2 1 3 3 3 2 3 1 2 3 2 2 2 1 1 3 1 2 1 1 3 2 1 100 0cossin 0sincos v v v rr v v v v v v （2） 3 2 1 3 2 1 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 3 2 1 0cossinsinsin sinsincoscoscos cossinsincossin v v v rr rrr v v v v v v 1.19 试求线元试求线元 dxk 的长度的长度 dsk 。 解：解： k kk k k k kkkkk xgxxsdddddddggsss 1.20 试求线元试求线元 dxk 与与 dxl 的夹角的夹角kl 。 解：解： l lkk lk l l l k kk l l k k lk lk kl gg g xgxg xx dd dd dd dd cos gg ss ss l lkk lk kl gg g 1 cos k k k k xddd 3 1 gsr k kk xddgs 1.27 设一动点轨迹为设一动点轨迹为xi(t)（t0，标量），定义，标量），定义 。 t x t txttx v iii t i d d lim 0 求证：求证：vi 为矢量分量。为矢量分量。 1.28 由应变由应变 ij 的定义的定义 出发，出发， 求证：求证：ij 是对称二阶张量的分量。式中是对称二阶张量的分量。式中dxi 是介质的拉格是介质的拉格 朗日坐标的微分。朗日坐标的微分。 ji ij xx dd2ddddrrrr 1.38 在笛卡儿坐标系中，各向同性材料的弹性关系为在笛卡儿坐标系中，各向同性材料的弹性关系为 31 31 221133 33 23 23 113322 22 12 12 332211 11 1 , 1 1 , 1 1 , 1 EE EE EE （1）利用商法则证明此式必定可以表示为一个张量的代数）利用商法则证明此式必定可以表示为一个张量的代数 运算等式，写出其实体形式，说明等式中各阶张量的阶数。运算等式，写出其实体形式，说明等式中各阶张量的阶数。 （2）将上式表示为可运用于任意坐标系的张量分量形式。）将上式表示为可运用于任意坐标系的张量分量形式。 （3）写出任意坐标系中的协变分量）写出任意坐标系中的协变分量Dijkl 用用E， 及度量张量及度量张量 分量表达的形式，以及分量表达的形式，以及 D 的并矢表达式。的并矢表达式。 解解:(:(1) ) ijij k kij E g 1 :DG E k k 1 kl ijkl kl iljkjlikklij l k jiijij k k ijij k kij D gggg E gg E g E g 2 1 2 1 1 ( (2) ) jkiljlikklijijkl gggg E gg E D 2 1 IGGD EE 1 lkji jkiljlik ggggggggI 2 1 ( (3) ) 1.39 已知：矩阵已知：矩阵A，B，C=AB，a=detA， b=detB，c=detC。求：利用置换符号证明：。求：利用置换符号证明：c=ab。 证明：证明： k j i k i j bac abbeaaa ebababaecccc lmn nml rstn tn m sm l rl