高数大一期末考试复习重点.pdf

1 sin lim 0 x x x e) 1 1(lim x x x 1 两类重要极限两类重要极限 单调有界必有极限单调有界必有极限 夹逼定理夹逼定理 无穷小无穷小 无穷大无穷大 与与 性质性质 有限个无穷小的和 有限个无穷小的和,积仍是无穷小积仍是无穷小 无穷小与有界量的积仍是无穷小无穷小与有界量的积仍是无穷小 (高阶高阶, 低阶低阶, 同阶同阶, 等价等价, 阶阶) k 极限存在准则极限存在准则 比较比较 第一章第一章 极限与连续极限与连续 2 常用等价无穷小常用等价无穷小 1e x x , 0 x当当 1 x aaxln xsinx xtanx xarcsinx xarctanx )1ln(x x xxsintan 2 3 x xcos1 2 2 x 1)1( xx 3 (2) 同除同除最最高次幂高次幂; (1) 消去零因子法消去零因子法; (6) 复合函数求极限法则复合函数求极限法则 (7) 利用左、右极限求分段函数极限利用左、右极限求分段函数极限; (5) 利用无穷小运算性质利用无穷小运算性质 (3) 通分通分; (4) 同乘共轭因式同乘共轭因式; (8) 利用夹逼定理利用夹逼定理; (11) 利用连续函数的性质利用连续函数的性质(代入法代入法); (10) 利用等价无穷小代换利用等价无穷小代换; (9) 利用两类重要极限利用两类重要极限; (12) 利用洛必达法则利用洛必达法则. 函 数 极 限 的 求 法 函 数 极 限 的 求 法 洛必达法则洛必达法则+等价无穷小代换等价无穷小代换 洛必达法则洛必达法则+变上限积分求导变上限积分求导 4 例例 xx x xx sintan 0 ee sin1tan1 lim 故故 )e)(esin1tan1( sintan lim sintan 0 xx x xx xx xx x xx sintan 0 ee sintan lim 2 1 )1e (e sintan lim 2 1 sintansin 0 xxx x xx 1e sintan xx ,sintanxx , 0 x当当 )1e(e sintan lim 2 1 sintansin 0 xxx x xx 原式原式 )sin(tane sintan lim 2 1 sin 0 xx xx x x 2 1 5 两对重要的单侧极限两对重要的单侧极限 , 0lim )1( 1 0 x x aa . 2 1 arctanlim 0 x x ,lim 1 0 x x a , 2 1 arctanlim 0 x x . 1 1 lim 2 x x x 一类需要注意的极限一类需要注意的极限 , 1 1 lim 2 x x x )()(lim 0 0 xfxf xx 闭区间连续函数的性质闭区间连续函数的性质 6 左连续、右连续左连续、右连续 的定义连续连续 间断点的分类间断点的分类 有界性有界性 最大最大,最小值定理最小值定理 介值定理介值定理, 第一类间断第一类间断 第二类间断第二类间断 (可去型可去型, 跳跃型跳跃型) (无穷型无穷型, 振荡型振荡型) 零点定理零点定理 7 , e1 1 )( 1 的间断点的间断点求求 x x xf 解解 函数无定义函数无定义, ,1, 0时时当当 xx是函数的间断点是函数的间断点. , 0 x )(lim 0 xf x 由于由于 x x x 1 e1 1 lim 0 , 所以所以 0 x是函数的是函数的第二类间断点第二类间断点, 且是且是无穷型无穷型. , 1 x 由于由于 )(limxf x x x 1 e1 1 lim 1 0 )(limxf x x x 1 e1 1 lim 1 1 所以所以 1 x是函数的是函数的第一类间断点第一类间断点, 且是且是跳跃型跳跃型. 并指出其类型并指出其类型. 1x 1x 例例 8 求求 的间断点的间断点, , )1)(1( sin)1( lim 1 xxx xx x ,1sin 2 1 x = 1为第一类为第一类可去间断点可去间断点 ,)(lim 1 xf x x = 1为第二类为第二类无穷间断点无穷间断点 ,1)(lim 0 xf x x = 0为第一类为第一类跳跃间断点跳跃间断点 例例 解解 并判别其类型并判别其类型. . 0, 1, 1 xxx是间断点是间断点, , , 1 x , 0 x , 1 x .1)(lim 0 xf x 9 . , 1 1 sin)1sin( 12 12 1 1 并判断其类型并判断其类型 的间断点的间断点求求 x xy x x .10:是可能的间断点是可能的间断点，可知可知解解 xx 处，处，在在0 )1( x 但不相等，但不相等，处的左右极限都存在处的左右极限都存在因在因在,0 x .,0且是跳跃间断点且是跳跃间断点为函数的第一类间断点为函数的第一类间断点所以所以 x )1(sin1lim)1(sin1lim 2 0 2 0 yy xx ， 例例 10 在且相等，在且相等，处函数的左右极限都存处函数的左右极限都存即在即在1 x 1 1 sin)1sin( 12 12 limlim 1 1 11 x xy x x xx 3 1 处，处，在在1 )2( x .,1且是可去间断点且是可去间断点是函数的第一类间断点是函数的第一类间断点所以所以 x 11 例例 设函数设函数 在在x = 0连续连续, ,则则a= , ,b= = . . 提示提示: : 2 0 )cos1( lim)0( x xa f x 2 a 2 2 1 cos1xx )(lnlim)0( 2 0 xbf x bln b a ln1 2 2e 2 )cos1( x xa 12 例例 0, 0 0, 1 sin )( 2 x x x x xf讨论讨论 .0处的连续性与可导性处的连续性与可导性在在 x 那么那么处处可导处处可导如果如果, 0),1( 0,e )( 2 xxb x xf ax . 1, 0 )( ; 0, 1 )( ; 1, 2 )( ; 1 )( baDbaC baBbaA ) ( 例例 13 导数导数 定义定义 几何意义几何意义 可导性与连续性的关系可导性与连续性的关系 )( 0 xfk 切线斜率切线斜率 ),( 0 xf 左导数左导数 导数存在的充要条件导数存在的充要条件 )( 0 xf 右导数右导数 连续连续可导可导 求微分求微分 可导与微分的关系可导与微分的关系 xxfyd)( d 0 可微可微可导可导 微分微分 第二章第二章 导数与微分导数与微分 按定义求导按定义求导 14 求导数方法求导数方法 复合函数求导复合函数求导 参数方程求导参数方程求导隐函数隐函数, 对数法求导对数法求导 分段函数在分段点求导分段函数在分段点求导 ) 1 1 ,cos(sin x x,ex, x 高阶导数高阶导数 15 t x t y x y d d d d d d 求导数：求导数：参数方程参数方程 )( )( ty tx x x y x y d ) d d d( d d 2 2 t x t t t d d d ) )( )( d( )( )( t t t x t x y d d d ) d d d( 16 中值定理中值定理 罗尔定理罗尔定理 证明不等式证明不等式 洛必达法则洛必达法则 中值定理的应用中值定理的应用 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 柯西中值定理柯西中值定理 泰勒定理泰勒定理 数数讨论方程根的存在与个讨论方程根的存在与个 , (泰勒公式泰勒公式)麦克劳林公式麦克劳林公式 ) 1 , , , 0 0 (等未定型极限等未定型极限计算计算 第三章第三章 微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用 函数的单调性函数的单调性 17 函 数 性 态 函 数 性 态 函数的极值函数的极值 函数的凹凸性函数的凹凸性 函数的最大最小值函数的最大最小值 函数的渐近线函数的渐近线(水平水平, 垂直垂直) (拐点拐点, 凹凸性和判别法凹凸性和判别法) 驻点驻点 极值存在的必要条件极值存在的必要条件 极值存在的充分条件极值存在的充分条件 )( 利用导数判断利用导数判断 18 带带PeanoPeano型余项的泰勒公式型余项的泰勒公式 阶连续阶连续内有内有的区间的区间在含在含设设 ),( )( 0 nbaxxf ,导数导数),( bax 则对于则对于有有 2 0 0 000 )( 2 )( )()()(xx xf xxxfxfxf .)()( 2 )( 00 0 )( nn n xxoxx xf 19 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式 )( )!12( )1( ! 5! 3 sin 22 1253 n n n xo n xxx xx )( )!2( )1( ! 6! 4! 2 1cos 2 2642 n n n xo n xxxx x )( 1 )1( 32 )1ln( 1 132 n n n xo n xxx xx 20 )(1 1 1 2nn xoxxx x 2 ! 2 )1( 1)1(x mm mxx m )( ! )1()1( nn xox n nmmm 21 洛必达法则洛必达法则 基本类型：基本类型： :变型变型 注注 法则：法则： (1) 当上式右端极限存在时当上式右端极限存在时, 才能用此法则才能用此法则, (2) 在求极限过程中在求极限过程中,可能要多次使用此法则可能要多次使用此法则, (3) 在使用中在使用中, 要进行适当的化简要进行适当的化简, , 0 0 型型型型 . )( )( lim )( )( lim xg xf xg xf ,0 , ,00 ,1 型型 0 (4) 在使用中在使用中, 注意和其它求极限方法相结合注意和其它求极限方法相结合. 22 定理定理( (第一充分条件第一充分条件) ) , )( 0 xxa 当当 ; 0)( x f有有 , 0 xx 而当而当 , 0)( x f .)( 0处取极大值 处取极大值在在则则xxf , )( 0 xxb 当当 ; 0)( x f有有 , 0 xx 而当而当 , 0)( x f .)( 0处取极小值 处取极小值在在则则xxf .)( 0处无极值 处无极值在在xxf ,)()( 0 内内在邻域在邻域设设xUxf 有有 有有 , )( )( )( 0 符号相同符号相同内内在邻域在邻域若若xUxfc 则则 23 定理定理( (第二充分条件第二充分条件) ) , )( 0 处具有二阶导数处具有二阶导数在在设设xxf , 0)( 0 x f则则 , 0)( )( 0 x fa 当当 , 0)( )( 0 x fb 当当 , )( 0 处取得极大值处取得极大值在在 xxf . )( 0 处取得极小值处取得极小值在在 xxf , 0)( 0 x f且且 24 求极值的步骤求极值的步骤: : );(.xfa 求导数求导数 )0)(.的根的根方程方程求驻点求驻点 x fb ,)(在该点的符号在该点的符号或或x f 求极值求极值d ,)(.中所有点左右的正负号中所有点左右的正负号在在检查检查bxfc .的点的点 不存在不存在及及)(x f .判断极值点判断极值点 25 渐近线的求法渐近线的求法 水平渐近线水平渐近线 )(a满足满足若函数若函数)( xf ,)(lim ),( axf x . )( ayxf 的曲线有水平渐近线的曲线有水平渐近线则函数则函数 垂直渐近线垂直渐近线 )(b满足满足若函数若函数)( xf ,)(lim ),( 000 xf xxxx . )( 0 xxxf 的曲线有垂直渐近线的曲线有垂直渐近线则函数则函数 26 ., ,1 , 1 1 1 2 )( . 1 2 bax xbax x x xfy 确定确定处可导处可导 已知函数在已知函数在设设 计算题计算题 ) 1 1ln(lim. 2 2 x xx x 3 0 )1(sine lim )1( . 3 x xxx x x 求极限 求极限 x x x x ln 1 0 )1e (lim)2( 27 1. )1()(lim)(lim, 11 fxfxf xx 有有由连续性由连续性 )1(1 ba 1 )1()( lim 1 )1()( lim , 11 x fxf x fxf xx 有有由可导性由可导性 1 1 1 2 lim 1 1 lim 2 11 x x x bax xx 计算题计算题解答解答 1 )1( 4 lim 1 1 1 2 lim 22 1 2 1 x x x x a xx 28 ) 1 1ln(lim . 2 2 x xx x x x x x1 ) 1 1ln(1 lim t t t x t t )1ln( 1 1 lim 1 0 ，则原式，则原式令令 2 1 )1(2 11 lim 2 1 1 1 lim )1ln( lim 0 0 2 0 tt t t t t tt t tt 1 a. 2 1 b）由（由（ 29 2 0 3 21cosesine lim :)1(. 3 x xxx xx x 原式原式 解解 x xxxx xx x 6 2)sin(cose)cos(sine lim 0 x x x x 3 1cose lim 0 3 cosesine lim 0 xx xx x 3 1 30 23 0 1e)(sine lim :2 x x x xx xx x 原式原式 解法解法 xx x x xx x x 2 1e lim 3 1cos limelim 0 2 00 3 1 2 1 6 1 31 )0()1e (lim)2( 0 ln 1 0 x x x x x x x x x x x x x 1 1e 1e lim ln )1eln( lim 0 0 ee 1e e lim1 1e e1e lim 1e )1e( lim 000 eee x x x x xx x x x x xx x x xx x 1e0 时，时， 2 elim1 ee 0 x x 上式上式 32 基本概念基本概念 基本性质基本性质 ) d)( xxf不定积分不定积分,( 原函数原函数 ; ,( 微分运算间关系微分运算间关系与求导与求导)线性可加性线性可加性 法法 分分 积积 换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法 有理函数的积分有理函数的积分 )(凑微分法凑微分法 , (三角代换三角代换 第二类换元第二类换元)倒代换倒代换 四种基本形式的积分四种基本形式的积分 可化为有理函数的积分可化为有理函数的积分 第一类换元第一类换元 第四章第四章 不定积分不定积分 33 x x x d 1 1 4 2 例例 解解 x x x x d 1 1 1 2 2 2 分子分母同除以分子分母同除以 2 x 原式原式 2) 1 ( 2 x x ) 1 (d x x C x x 2 1 arctan 2 1 C x x 2 1 arctan 2 1 2 34 x x d 1 4 )1( 2 x)1( 2 x x x d 1 1 4 x x x x d 1 1 1 2 1 2 2 2 x x x x d 1 1 1 2 1 2 2 2 2) 1 ( 2 1 2 x x ) 1 (d x x 2) 1 ( 2 1 2 x x ) 1 (d x x 2 1 arctan 22 1 x x 2 1 22 1 ln 2 1 x x 2 1 x x )0( x 2 1 C 例例 35 例例 解解 .d, 1max xx求求 , 1max)(xxf 设设, 1, 11,1 1, )( xx x xx xf则则 ,),()(上连续上连续在在xf),(xF则必存在原函数则必存在原函数 . 1,