高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3_6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较学案 北师大版必修1

3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对*百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。核心必知1三种函数的增长特点(1)当a1时，指数函数yax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快(2)当a1时，对数函数ylogax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快(3)当x0，n1时，幂函数yxn显然也是增函数，并且当x1时，n越大其函数值的增长就越快2三种函数的增长比较在区间(0，)上，尽管函数yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，幂函数yxn(n0)，指数函数yax(a1)增长的快慢交替出现，随着x的增大，yax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度，而ylogax(a1)的增长速度则会越来越慢一般地，若a1，n0，那么当x足够大时，一定有axxnlogax. 问题思考12xlog2x，x2log2x，在(0，)上一定成立吗？提示：结合图像知一定成立22xx2在(0，)上一定成立吗？提示：不一定，当0x2和x4时成立，而当2x4时，2xx2.讲一讲1四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：关于x呈指数型函数变化的变量是_尝试解答以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的从表格可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4越来越小，但是减小的速度很慢，则变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增大的速度不同，其中变量y2的增长最快，画出图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化答案：y2解决该类问题的关键是根据所给出的数据或图像的增长的快慢情况，结合指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，从中作出判断练一练1下面是f(x)随x的增大而得到的函数值列表：试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？(2)各函数增长的快慢有什么不同？解：(1)随x的增大，各函数的函数值都在增大；(2)由图表可以看出，各函数增长的快慢不同，其中f(x)2x增长最快，而且越来越快；增长最慢的是f(x)log2x，而且增长的幅度越来越小讲一讲2假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番请问，你会选择哪种投资方案？尝试解答设第x天所得回报是y元由题意，方案一：y40(xN)；方案二：y10x(xN)；方案三：y0.42x1(xN)作出三个函数的图像如图：由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一，二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元，若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.投资一天到六天，应选方案一，投资七天方案一，二均可，投资八天到十天应选方案二，投资十一天及其以上，应选方案三(1)解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题解决，结合函数图像有助于直观认识函数值在不同范围的大小关系(2)一般地：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律练一练2某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t50110250种植成本Q150108150(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个函数，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本解：(1)由表中数据知，当时间t变化时，种植成本并不是单调的，故只能选择Qat2btc.即解得Qt2t.(2)Q(t150)2(t150)2100，当t150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102kg.若x2logmx在x内恒成立，求实数m的取值范围巧思将不等式恒成立问题转化为两个函数图像在内的上下位置关系，再构建不等式求解妙解设y1x2，y2logmx，作出符合题意的两函数的大致图像(如图)，可知0m1.当x时，y1，若两函数在x处相交，则y2.由logm得m，又x2logmx在x内恒成立，因此，实数m的取值范围为.1下面对函数f(x)与g(x)x在区间(0，)上的增减情况的说法中正确的是()Af(x)的增减速度越来越慢，g(x)的增减速度越来越快Bf(x)的增减速度越来越快，g(x)的增减速度越来越慢Cf(x)的增减速度越来越慢，g(x)的增减速度越来越慢Df(x)的增减速度越来越快，g(x)的增减速度越来越快解析：选C在同一坐标下分别作出函数y和y()x的图像，由图像知C正确2下列所给函数，增长最快的是()Ay5xByx5Cylog5x Dy5x答案：D3某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷，0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y关于年数x的函数关系较为近似的是()Ay0.2x By(x22x)Cy Dy0.2log16x解析：选C当x1时，否定B；当x2时，否定D；当x3时，否定A.4已知函数f(x)3x，g(x)2x，当xR时，f(x)与g(x)的大小关系为_解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)3x，g(x)2x的图像，如图所示，由于函数f(x)3x的图像在函数g(x)2x图像的上方，则f(x)g(x)答案：f(x)g(x)5据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2016年的湖水量为m，从2016年起，过x年后湖水量y与x的函数关系是_解析：设湖水量每年为上年的q%，则(q%)500.9，x年后湖水量ym(q%)x答案：y6函数f(x)lg x，g(x)0.3x1的图像如图所示(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)解：(1)C1对应的函数为g(x)0.3x1，C2对应的函数为f(x)lg x；(2)当xx1时，g(x)f(x)；当x1xx2时，f(x)g(x)；当xx2时，g(x)f(x)一、选择题1当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是()Ay10xBylg xCyx10 Dy10x解析：选D由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y10x的增长速度最快2某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x年，绿色植被的面积可增长为原来的y倍，则函数yf(x)的大致图像为()解析：选Dyf(x)(110.4%)x1.104x是指数型函数，定义域为0,1,2,3,4，由单调性，结合图像知选D.3函数y2xx2的图像大致是()解析：选A由图像可知，y2x与yx2的交点有3个，说明函数y2xx2与x轴的交点有3个，故排除B、C选项，当x2x成立，即y0，故排除D.4当0x1时，f(x)x2，g(x)x，h(x)x2的大小关系是()Ah(x)g(x)f(x) Bh(x)f(x)g(x)Cg(x)h(x)f(x) Df(x)g(x)h(x)解析：选D在同一坐标下作出函数f(x)x2，g(x)x，h(x)x2的图像，由图像知，D正确二、填空题5近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆房子没有什么变化，但价格却上涨了，小张在2005年以15万元的价格购得一所新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2015年，这所房子的价格y(万元)与价格年膨胀率x之间的函数关系式是_解析：1年后，y15(1x)；2年后，y15(1x)2；3年后，y15(1x)3，10年后，y15(1x)10.答案：y15(1x)106在直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点若函数yf(x)的图像恰好经过k个格点，则称函数yf(x)为k阶格点函数，则下列函数中为一阶格点函数的序号是_yx2；yx1；yex1；ylog2x.解析：这是一道新概念题，重点考查函数值的变化情况显然都有无数个格点；有两个格点(1,1)，(1，1)；而yex1除了(0,0)外，其余点的坐标都与e有关，所以不是整点，故符合答案：7若ax，bx3，c，则当x1时，a，b，c的大小关系是_解析：x1，ax(0,1)，bx3(1，)，c(，0)cab.答案：cab8已知a0，a1，f(x)x2ax，当x(1,1)时，均有f(x)，则实数a的取值范围是_解析：当a1时，作出函数y1x2，y2ax的图像：要使x(1,1)时，均有f(x)，只要当x1时，有(1)2a1，解得a2，1a2.当0a1时，同理，只需12a1，即a.a1.综上所述，a的取值范围是(1,2答案：(1,2三、解答题9一个叫迈克的百万富翁碰到一件奇怪的事一个叫吉米的人对他说：“我想和你订立个合同，在整整一个月中，我每天给你10万元，而你第一天只需要给我1分钱，以后每天给我的钱数是前一天的两倍”迈克非常高兴，他同意订立这样的合同试通过计算说明，谁将在合同中获利？解：在一个月(按31天计算)的时间里，迈克每天得到10万元，增长的方式是直线增长，经过31天后，共得到3110310(万元)而吉米，第一天得到1分，第二天得到2分，第三天得到4分，第四天得到8分，第20天得到219分，第31天得到230分，使用计算器计算可得1248162302 147 483 647分2 147.48(万元)所以在这份合同中吉米纯获利2 147.483101 837.48(万元)所以吉米将在合同中获利10某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，开始按销售利润进行奖励，奖金y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y0.25x，ylog7x1，y1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？解：借助计算器或计算机作出函数y5，y0.25x，ylog7x1，y1.002x的图像(如图)，观察图像发现，在区间10,1000上，模型y0.25x，y1.002x的图像都有一部分在直线y5的上方，只有模型ylog7x1的图像始终在y5的下方，这说明只有按模型ylog7x1进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万对于模型y0.25x，它在区间10,1000上单调递增，当x(20,1000)时，y5，因此该模型不符合要求；对于模型y1.002x，由函数图像，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点x0满足1.002x05，由于它在区间10，1000上单调递增，因此当xx0时，y5，因此该模型也不符合要求；对于模型ylog7x1，它在区间10,1 000上单调递增，而且当x1000时，ylog7100014.555，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求再计算按模型ylog7x1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x10,1000时，是否有0.25成立令f(x)log7x10.25x，x10,1 000利用计算器或计算机作出函数f(x)的图像(如图)，由图像可知它是单调递减的，因此f(x)f(10)0.316 70，log7x10.25x.所以，当x10,1000时，0.25.说明按模型ylog7x1奖励，奖金不会超过利润的25%.综上所述，模型ylog7x1确实能符合公司要求1.指数与指数函数(1)利用分数指数幂进行根式的运算，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据分数指数幂的运算性质进行计算(2)指数函数的底数a0且a1，这是隐含条件(3)指数函数yax的单调性，与底数a有关当底数a与1的大小不确定时，一般需分类讨论(4)指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系是：在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小(5)函数yax与函数yx的图像关于y轴对称(6)与指数函数有关的函数方程问题的求解，要充分用好指数函数的图像和性质2对数与对数函数(1)指数式abN与对数式logaNb的关系以及这两种形式的互化是对数运算的关键(2)在使用运算性质logaMnnlogaM时，要特别注意条件，在无M0的条件下应为logaMnnloga|M|.(3)注意对数恒等式、对数换底公式及等式logambnlogab，logab在解题中的灵活运用(4)对数函数ylogax与ylogx的图像关于x轴对称(5)指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数，其图像关于直线yx对称(6)与对数函数有关的函数的图像与性质的研究，要充分用好对数函数的图像与性质，及函数图像的平移和对称变换(7)与对数函数有关的方程，常见有两类：一是通过对数运算性质化为代数方程求解；二是利用数形结合法求解典例1化简：(1)；(2)(lg 2)33lg 2lg 5(lg 5)3；(3).解(1)原式abaaba.(2)原式(lg 2lg 5)(lg 2)2lg 2lg 5(lg 5)23lg 2lg 5(lg 2)22lg 2lg 5(lg 5)2(lg 2lg 5)21.(3)原式1.借题发挥指数式的运算首先要注意化简顺序，一般负指数先转化为正指数，根式化为指数运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧对点训练1若2.5x1 000,0.25y1 000，则_.解析：由已知得：xlog2.51 000，ylog0.251 000，(lg 2.5lg 0.25)lg lg 10.答案：2已知logax4，logay5，试求A的值解：logaA0.A1.典例2(1)已知函数f(x)loga(2xb1)(a0，a1)的图像如右图所示，则a，b满足的关系是()A0a1b1B0ba11C0b1a1D0a1b11(2)已知函数yax23x3，当x1,3时有最小值，求a的值解(1)由图像，知该函数为增函数a1.又当x0时，1f(0)0，即1logab0，即logalogabloga1.b1.结合a1，知0a1b1.(2)令tx23x32，当x1,3时，t，若a1，则ymina，解得a，与a1矛盾若0a1，则ymina3，解得a，满足题意综合，知a.答案(1)A借题发挥指数函数、对数函数是中学数学中重要的基本初等函数它们的图像与性质始终是高考考查的重点由于指数函数yax，对数函数ylogax(a0，a1)的图像与性质都与a的取值有密切的联系，a变化时，函数的图像与性质也随之改变，因此，在a的值不确定时，要对它们进行分类讨论对点训练3函数f(x)axb的图像如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()Aa1，b0Ba1，b0C0a1，b0D0a1，b0解析：选D由f(x)axb的图像可以观察出，函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1；函数f(x)axb的图像是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b0.4函数f(x)的图像和函数g(x)log2x的图像的交点个数是()A4B3C2 D1解析：选B作出函数f(x)与g(x)的图像(图略)，由图像可知：两函数图像的交点有3个5.定义在1,1上的偶函数f(x)，已知当x1,0时的解析式f(x)(aR)(1)写出f(x)在0,1上的解析式；(2)求f(x)在0,1上的最大值解：(1)设x0,1，则x1,0f(x)4xa2x.函数f(x)是偶函数，f(x)f(x)4xa2x，x0,1(2)当x0,1时，f(x)4xa2x，令t2x，则t1,2g(t)t2at2.当1，即a2时，g(t)maxg(2)42a；当1，即2a3时，g(t)maxg(2)42a；当2，即3a4时，g(t)maxg(1)1a；当2，即a4时，g(t)maxg(1)1a.综上知，当a3时，f(x)的最大值是42a；当a3时，f(x)的最大值是1a.典例3比较下列各组数的大小(1)log3与log5；(2)log1.10.7与log1.20.7；(3)已知，比较2b,2a,2c的大小关系解(1)log3log310，而log5log510，log3log5.(2)00.71,1.11.2，0log0.71.1log0.71.2，即由换底公式可得log1.10.7log1.20.7.(3)y为减函数，且bac，而y2x是增函数，2b2a2c.借题发挥比较几个数大小的常用方法有：单调性法、图像法、搭桥法、特殊值法、作差法、作商法等其中第(2)小题可以运用图像法解提示：作出函数ylog1.1x与ylog1.2x的图像，如图所示，两图像与x0.7相交，可知log1.10.7log1.20.7.对点训练6三个数60.7、0.76、log0.76的大小顺序为()A0.76log0.7660.7B0.7660.7log0.76Clog0.7660.70.76Dlog0.760.7660.7解析：选D00.71,61，log0.760，而00.761,60.71，故log0.760.7660.7.7若x(1,10)，则(lg x)2，lg x2，lg(lg x)的大小顺序是()A(lg x)2lg x2lg(lg x)Blg(lg x)lg x2(lg x)2Clg x2lg(lg x)(lg x)2Dlg(lg x)(lg x)2lg x2解析：选Dx(1,10)，不妨令x，则lg(lg x)lg(lg )0，(lg x)2(lg )2，lg x2lg()21，lg(lg x)(lg x)2lg x2.典例4已知函数f(x)log2(2x1)(1)求证：函数f(x)在(，)内是增加的；(2)若关于x的方程log2(2x1)mf(x)在1,2上有解，求m的取值范围解(1)证明：任取x1x2，则f(x1)f(x2)x1x2，f(x1)f(x2)，即函数f(x)在(，)内是增加的(2)法一：mlog2(2x1)log2(2x1)log2log2.当1x2时，1.m的取值范围是.法二：解方程log2(2x1)mlog2(2x1)，得xlog2，1x2，1log22，解得log2mlog2.m的取值范围是.借题发挥若本例中函数不变，如何解不等式f(4x)f？对点训练8函数f(x)log2(3x1)的值域为()A(0，) B0，)C(1，) D1，)解析：选A3x11，log2(3x1)0.9已知函数f(x)log4(4x1)kx(xR)是偶函数，求k的值解：函数f(x)是偶函数，f(x)f(x)，即log4(4x1)kxlog4(4x1)kx.2kxlog4(4x1)log4(4x1)log4log4log4x.2k1.k.（时间：90分钟 满分120分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知函数f(x)logax(a0，a1)的图像如右图所示，函数yg(x)的图像与yf(x)的图像关于直线yx对称，则函数yg(x)的解析式为()Ag(x)2xBg(x)Cg(x)x Dg(x)log2x解析：选C由点(2，1)在ylogax的图像上，得loga21，a.f(x)，从而g(x)x.2.log612log6等于()A6 B12 C.D3解析：选C原式log6log6log6.3若集合A，则RA()A(，0B.C(，0D.4(重庆高考)已知alog23log2，blog29log2，clog32，则a，b，c的大小关系是()AabcCabbc解析：选Balog23log2log23log231，blog29log2log23log231，clog32c.5设alog54，b(log53)2，clog45，则()Aacb BbcaCabc Dbac解析：选Dalog541，log53log541，b(log53)2log53，clog451，故bac.6函数f(x)lg的图像关于()Ay轴对称 Bx轴对称C原点对称 D直线yx对称解析：选Cf(x)lg ，则f(x)的定义域为(1,1)，又f(x)lg lg lg f(x)，f(x)为奇函数，该函数的图像关于原点对称7设2a5bm，且2，则m()A. B10C20 D100解析：选A由2a5bm，得alog2m，blog5m，logm2logm5logm10.2.logm102.m210，m0，m.8函数yax2bx与ylog|x(ab0，|a|b|)在同一直角坐标系中的图像可能是()解析：选D函数yax2bx的两个零点是0，.对于A、B，由抛物线的图像知，(0,1)，(0,1)函数ylog|x不是增函数，错误；对于C，由抛物线的图像知a0且1，b0且1.1.函数ylog|x应为增函数，错误；对于D，由抛物线的图像知a0，(1,0)，|(0,1)满足ylog|x为减函数9设函数f(x)若f(x0)1，则x0的取值范围是()A(，0)(2，) B(0,2)C(，1)(3，) D(1,3)解析：选C当x02时，f(x0)1，log2(x01)1，即x03；当x02时，由f(x0)1得x011，x01，x01.x0(，1)(3，)10用mina，b，c表示a，b，c三个数中的最小值设f(x)min2x，x2,10x(x0)，则f(x)的最大值为()A4 B5C6 D7解析：选C由题意知，函数f(x)是三个函数y12x，y2x2，y310x中的较小者，作出三个函数在同一个平面直角坐标系的图像(如图实线部分为f(x)的图像) 可知A(4,6)为函数f(x)图像的最高点，f(x)max6.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分把答案填写在题中的横线上)11计算_.解析：原式10121020.答案：2012设函数f(x)x(exaex)(xR)是偶函数，则实数a的值为_解析：因为f(x)是偶函数，所以恒有f(x)f(x)，即x(exaex)x(exaex)，化简得x(exex)(a1)0.因为上式对任意实数x都成立，所以a1.答案：113方程x|log3x