高考数学二轮专题复习 知能专练（五）导数及其应用

知能专练（五） 导数及其应用一、选择题1曲线f(x)xln x在点(1，f(1)处的切线的倾斜角为()A.B.C. D.解析：选B因为f(x)xln x，所以f(x)ln x1，所以f(1)1，所以曲线f(x)xln x在点(1，f(1)处的切线的倾斜角为.2已知e为自然对数的底数，则函数yxex的单调递增区间是()A1，) B(，1C1，) D(，1解析：选A令yex(1x)0，又ex0，1x0，x1.3函数f(x)3x2ln x2x的极值点的个数是()A0 B1C2 D无数个解析：选A函数定义域为(0，)，且f(x)6x2.由于x0，g(x)6x22x1中200恒成立，故f(x)0恒成立即f(x)在定义域上单调递增，无极值点4(2017浙江高考)函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()解析：选D由f(x)的图象知，f(x)的图象有三个零点，故f(x)在这三个零点处取得极值，排除A、B；记导函数f(x)的零点从左到右分别为x1，x2，x3，又在(，x1)上f(x)0，所以函数f(x)在(，x1)上单调递减，排除C，故选D.5已知常数a，b，c都是实数，f(x)ax3bx2cx34的导函数为f(x)，f(x)0的解集为x|2x3，若f(x)的极小值等于115，则a的值是()A B.C2 D5解析：选C由题意知，f(x)3ax22bxc0的解集为2,3，且在x3处取得极小值115，故有解得a2.6若0x1x2ln x2ln x1Beex1eDx2eg(x2)，x2ex1e，故选C.二、填空题7设函数f(x)x(ex1)x2，则函数f(x)的单调增区间为_解析：因为f(x)x(ex1)x2，所以f(x)ex1xexx(ex1)(x1)令f(x)0，即(ex1)(x1)0，解得x(，1)或x(0，)所以函数f(x)的单调增区间为(，1)和(0，)答案：(，1)和(0，)8已知函数f(x)x22axln x，若f(x)在区间上是增函数，则实数a的取值范围为_解析：由题意知f(x)x2a0在上恒成立，即2ax在上恒成立又yx在上单调递减，max，2a，即a.答案：9已知函数f(x)x32ax21在x1处的切线的斜率为1，则实数a_，此时函数yf(x)在0,1上的最小值为_解析：由题意得f(x)3x24ax，则有f(1)3124a11，解得a，所以f(x)x3x21，则f(x)3x22x，当x0,1时，由f(x)3x22x0得x1；由f(x)3x22x0得0x，所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以函数f(x)在x处取得极小值，即为最小值，所以最小值为f321.答案：三、解答题10已知函数f(x)ln x1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设mR，对任意的a(1,1)，总存在x01，e，使得不等式maf(x0)0，得x1，因此函数f(x)的单调递增区间是(1，)令f(x)0，得0x1，因此函数f(x)的单调递减区间是(0,1)(2)依题意，maf(x)max，x1，e由(1)知，f(x)在x1，e上是增函数，f(x)maxf(e)ln e1.ma，即ma0，x，f(x)，f(x)关系如下表：x2(2，)f(x)00f(x)f(x)的单调递增区间为和2，)，单调递减区间为.(2)若f(x)在定义域上是增函数，则f(x)0在x0时恒成立，f(x)a，转化为x0时ax22xa0恒成立，即a恒成立，1，当且仅当x1时等号成立，a1.故实数a的取值范围为1，)12已知函数f(x)exaxa(aR且a0)(1)若函数f(x)在x0处取得极值，求实数a的值；并求出此时f(x)在2,1上的最大值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围解：(1)函数f(x)的定义域为R，f(x)exa，f(0)e0a0，a1，f(x)ex1，在(，0)上f(x)0，f(x)单调递增，x0时，f(x)取极小值a1符合要求易知f(x)在2,0)上单调递减，在(0,1上单调递增，且f(2)3，f(1)e，f(2)f(1)f(x)在2,1的最大值为3.(2)f(x)exa，由于ex0.当a0时，f(x)0，f(x)是增函数且当x1时，f(x)exa(x1)0.当x0时，取x，则f1aa0，函数f(x)存在零点，不满足题意当a0时，令f(x)exa0，得xln(a)在(，ln(a)上f(x)0，f(x)单调递增，xln(a)时，f(x)取最小值函数f(x)不存在零点，等价于f(ln(a)eln(a)aln(a)a2aaln(a)0，解得e2a0.