高考数学 第1部分 重点强化专题 专题4 立体几何 专题限时集训9 空间中的平行与垂直关系

专题限时集训(九)空间中的平行与垂直关系 (对应学生用书第133页) 建议A、B组各用时：45分钟A组高考达标一、选择题1设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是()A若lm，m，则lB若l，lm，则mC若l，m，则lmD若l，m，则lmBA中，根据线面垂直的判定定理，只有垂直平面内两条相交直线才行，故A不正确；B中，由线面垂直的性质可知，平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直这个平面，故B正确；C中，l，m可能平行也可能异面，故C不正确；D中，平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，故D不正确，故选B.2设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题：若mn，m，则n；若m，m，则；若mn，m，则n；若m，m，则.其中真命题的个数为() 【导学号：68334110】A1B2C3D4A对于，由直线与平面垂直的判定定理易知其正确；对于，平面与可能平行或相交，故错误；对于，直线n可能平行于平面，也可能在平面内，故错误；对于，由两平面平行的判定定理易得平面与平行，故错误综上所述，正确命题的个数为1，故选A.3如图912所示，直线PA垂直于O所在的平面，ABC内接于O，且AB为O的直径，点M为线段PB的中点现有结论：BCPC；OM平面APC；点B到平面PAC的距离等于线段BC的长其中正确的是()图912ABCDB对于，PA平面ABC，PABC.AB为O的直径，BCAC.又PAACA，BC平面PAC，又PC平面PAC，BCPC.对于，点M为线段PB的中点，OMPA.PA平面PAC，OM平面PAC，OM平面PAC.对于，由知BC平面PAC，线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故都正确4已知，是两个不同的平面，有下列三个条件：存在一个平面，；存在一条直线a，a，a；存在两条垂直的直线a，b，a，b.其中，所有能成为“”的充要条件的序号是()ABCDD对于，存在一个平面，则，反之也成立，即“存在一个平面，”是“”的充要条件，所以对，可排除B，C.对于，存在两条垂直的直线a，b，则直线a，b所成的角为90，因为a，b，所以，所成的角为90， 即，反之也成立，即“存在两条垂直的直线a，b，a，b”是“”的充要条件，所以对，可排除A，选D.5在三棱锥PABC中，已知PA底面ABC，ABBC，E，F分别是线段PB，PC上的动点，则下列说法错误的是()图913A当AEPB时，AEF一定为直角三角形B当AFPC时，AEF一定为直角三角形C当EF平面ABC时，AEF一定为直角三角形D当PC平面AEF时，AEF一定为直角三角形B因为AP平面ABC，所以APBC，又ABBC，且PA和AB是平面PAB上两条相交直线，则BC平面PAB，BCAE.当AEPB时，AE平面PBC，则AEEF，AEF一定是直角三角形，A正确；当EF平面ABC时，EF在平面PBC上，平面PBC与平面ABC相交于BC，则EFBC，则EFAE，AEF一定是直角三角形，C正确；当PC平面AEF时，AEPC，又AEBC，则AE平面PBC，AEEF，AEF一定是直角三角形，D正确；B中结论无法证明，故选B.二、填空题6已知P为ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列命题：PABC；PBAC；PCAB；ABBC.其中正确命题的个数是_. 【导学号：68334111】3如图所示，PAPC，PAPB，PCPBP，PA平面PBC.又BC平面PBC，PABC.同理PBAC，PCAB，但AB不一定垂直于BC.7在三棱锥CABD中(如图914)，ABD与CBD是全等的等腰直角三角形，O是斜边BD的中点，AB4，二面角ABDC的大小为60，并给出下面结论：ACBD；ADCO；AOC为正三角形；cos ADC；四面体ABCD的外接球表面积为32.其中真命题是_(填序号)图914由题意知BDCO，BDAO，则BD平面AOC，从而BDAC，故正确；根据二面角ABDC的大小为60，可得AOC60，又直线AD在平面AOC的射影为AO，从而AD与CO不垂直，故错误；根据AOC60，AOCO可得AOC为正三角形，故正确；在ADC中 ，ADCD4，ACCO2，由余弦定理得cos ADC，故错误；由题意知，四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为2，则外接球的表面积为S4(2)232，故正确8正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是_(填序号)ACBE；B1E平面ABCD；三棱锥EABC的体积为定值；直线B1E直线BC1.因为AC平面BDD1B1，故，正确；记正方体的体积为V，则VEABCV为定值，故正确；B1E与BC1不垂直，故错误三、解答题9如图915，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC.图915(1)求证：DC平面PAC.(2)求证：平面PAB平面PAC.(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA平面CEF？说明理由解(1)证明：因为PC平面ABCD，所以PCDC. 2分又因为DCAC，且PCACC，所以DC平面PAC.4分(2)证明：因为ABDC，DCAC，所以ABAC.因为PC平面ABCD，所以PCAB.又因为PCACC，所以AB平面PAC.8分又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAC.9分(3)棱PB上存在点F，使得PA平面CEF.12分理由如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF.又因为E为AB的中点，所以EFPA.又因为PA平面CEF，且EF平面CEF，所以PA平面CEF.15分10(2017绍兴稽阳联谊学校高三4月联考)如图916，四边形ABCD为梯形，ABCD，C60，点E在CD上，ABCE，BFBD，BDBC.现将ADE沿AE折成如图2APE位置，使得二面角PAEC的大小为.图916(1)求PB的长度；(2)求证：PB平面ABCE；(3)求直线CE与平面APE所成角的正弦值 【导学号：68334112】解(1)因为AB平行且等于EC，所以四边形ABCE是平行四边形，所以BCAE，又因为BDBC，所以BDAE，所以AEFB，AEFP，即PFB为二面角PAEC的平面角.3分又BF，PF2，由余弦定理得BP2BF2PF22BFPFcosBFP9，所以BP3.5分(2)证明：BF，PF2，BP3，满足勾股定理，所以BFPB.又因为BFAE，PFAE，BFPFF，所以AE平面PFB，所以AEPB.7分又BFAEF，则PB平面ABCE.9分(3)法一：作BNPF于点N，连接AN，由(2)可知，AE平面BFP，所以平面BFP平面APE，又平面BFP平面APEPF，所以BN平面APE，12分所以BAN是直线AB与平面APE所成的角在RtFBP中，BNBFsin，sinNAB.13分所以直线AB与平面APE所成角的正弦值为，即直线CE与平面APE所成角的正弦值为.15分法二：由于BF，BP，BC两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系，则B(0,0,0)，C(3,0,0)，A(1，0)，E(2，0)，P(0,0,3)，则(3,0,0)，(1，3)，12分设平面APE的法向量为n(x，y，z)，则即取z1，则n(0，1)，13分设直线CE与平面APE所成的角为，(1，0)，则sin |cosn，|，即直线EC与平面APE所成角的正弦值为.15分 B组名校冲刺一、选择题1已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长相等，若AA1B1AA1C160，则异面直线A1C与AB1所成角的余弦值是() 【导学号：68334113】图917A.B.C.D.A将三棱柱补上一个相同的三棱柱构成一个四棱柱，如图所示，易知图中A1CD1为所求角因为三棱柱的所有棱长均相等，不妨设为1，则根据此三棱柱的性质有A1D1A1C，CD11，则由余弦定理得cosA1CD1，故选A.2如图918，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD.则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是()图918A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABCD在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，BDCD.又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，CD平面ABD，则CDAB.又ADAB，ADCDD，AB平面ADC，又AB平面ABC，平面ABC平面ADC，故选D.3如图919，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在AEF内的射影为O，则下列说法正确的是()图919AO是AEF的垂心BO是AEF的内心CO是AEF的外心DO是AEF的重心A由题意可知PA，PE，PF两两垂直，PA平面PEF，从而PAEF，而PO平面AEF，则POEF.POPAP，EF平面PAO，EFAO，同理可知AEFO，AFEO，O为AEF的垂心故选A.4如图920，小于90的二面角l中，Ol，A，B，且AOB为钝角，AOB是AOB在内的射影，则下列结论错误的是()图920AAOB为钝角BAOBAOBCAOBAOAD考虑将图形特殊化，即可将此图形置于正方体中，正方体的一个对角面与底面分别为条件中的平面，如图所示，O为所在棱的中点，A，B为所在面对角线上的一个三等分点，A，B分别为A，B在平面上的射影设正方体棱长为3，则OAOB，OAOB，AABB1，则由余弦定理得cosAOB，cosAOBAOB，所以A，B正确；又cosAOAcosBOB，所以AOABOB知AOB，所以AOBAOA，BOBAOBAOA，所以C正确，D错误，故选D.二、填空题5如图921，正方形BCDE的边长为a，已知ABBC，将ABE沿边BE折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，关于翻折后的几何体有如下描述：图921AB与DE所成角的正切值是；ABCE；VBACEa3；平面ABC平面ACD.其中正确的有_(填序号)作出折叠后的几何体直观图如图所示：ABBCa，BEa，AEa.ADa，ACa.在ABC中，cosABC.sinABC.tan ABC.BCDE，ABC是异面直线AB，DE所成的角，故正确连接BD，CE，则CEBD，又AD平面BCDE，CE平面BCDE，CEAD.又BDADD，BD平面ABD，AD平面ABD，CE平面ABD.又AB平面ABD，CEAB，故错误VBACEVABCESBCEADa2a，故正确AD平面BCDE，BC平面BCDE，BCAD.又BCCD，CDADD，CD，AD平面ACD，BC平面ACD.BC平面ABC，平面ABC平面ACD，故正确故答案为.6(2017金丽衢十二校高三第二次联考)已知ABC中，C90，tan A，M为AB的中点现将ACM沿CM折成三棱锥PCBM.当二面角PCMB大小为60时，_.图922作PECM于点E，BFCM交CM的延长线于点F，连接AE，则AECF，且PE与BF所成锐角等于二面角PCMB的大小，即为60.不妨设AC1，则由tanBAC，ACB90，得BC，AB，则由M是AB的中点，知MBMC，则sinBCFsinABC，|sinBCF，|2|22，则由，得|2()2|2|2|22|cos 602cos 601，PB1，故.三、解答题7端午节即将到来，为了做好端午节商场促销活动，某商场打算将进行促销活动的礼品盒重新设计方案如下：将一块边长为10的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形：SEE，SFF，SGG，SHH，再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒SEFGH，其中A，B，C，D重合于点O，E与E重合，F与F重合，G与G重合，H与H重合(如图923所示)图923(1)求证：平面SEG平面SFH；(2)当AE时，求二面角ESHF的余弦值解(1)证明：折后A，B，C，D重合于一点O，拼接成底面EFGH的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形，底面DFGH是正方形，EGFH，EOOG.2分连接SO，由题意知SESG，EGSO.4分又SO，FH平面SFH，SOFHO，EG平面SFH.又EG平面SEG，平面SEG平面SFH.6分(2)过O作OMSH交SH于M点，连接EM，EO平面SFH，SH平面SFH，EOSH，SH平面EMO，EMO为二面角ESHF的平面角.8分当AE时，在原平面图形中，可求得SE.在RtSOE中，可求得SO5.10分RtSHO中，OH，SO5，SH，OM，12分RtEMO中，EM，cosEMO.14分所求二面角的余弦值为.15分8(2017萧山中学高三5月仿真考试)如图924，已知矩形ABCD中，AB4，AD3，现将DAC沿着对角线AC向上翻折到PAC位置，此时PAPB.图924(1)求证：平面PAB平面ABC；(2)求直线AB与平面PAC所成角的正弦值 【导学号：68334114】解(1)证明：因为PAPB，PAPC，PBPCP，所以PA平面PBC，3分所以PABC，又BCAB，ABAPA，所以BC平面PAB，5分又BC平面ABC，所以平面PAB平面ABC.7分(2)法一：如图，作BDPC于点D，连接AD，由(1)知PA平面PBC，所以PABD，而BDPC，PAPCP，所以BD平面PAC，所以BAD为直线AB与平面PAC所成的角，10分在RtPBC中，BC3，PC4，PB，所以BD13分，又AB4，在RtADB中，sinBAD，所以直线AB与平面PAC所成角的正弦值为.15分法二：由(