高中数学 第三章 三角恒等变换 3_3 三角函数的积化和差与和差化积学案 新人教b版必修4

3.3预习课本P149151，思考并完成以下问题(1)如何利用两角差(和)的正、余弦公式导出积化和差与和差化积公式？(2)两组公式有何特点？1三角函数的积化和差cos cos cos()cos()，sin sin cos()cos()，sin cos sin()sin()，cos sin sin()sin()点睛积化和差公式的结构特点(1)同名函数积化为余弦函数的和差；异名函数积化为正弦函数的和差(2)角的顺序，“”在前，“”在后2三角函数的和差化积sin xsin y2sincos，sin xsin y2cossin，cos xcos y2coscos，cos xcos y2sinsin.点睛和差化积公式的特点(1)同名函数的和或差才可化积(2)余弦函数的和或差化为同名函数之积(3)正弦函数的和或差化为异名函数之积(4)等式左边为单角和，等式右边为与的形式(5)只有余弦函数的差化成积式后的符号为负，其余均为正1下列等式错误的是()Asin(AB)sin(AB)2sin Acos BBsin(AB)sin(AB)2cos Asin BCcos(AB)cos(AB)2cos Acos BDcos(AB)cos(AB)2cos Acos B答案：D2sin 37.5cos 7.5等于()A.B.C. D.答案：C3cos 75cos 15_.答案：化简求值典例化简：4sin(60)sin sin(60)解原式2sin 2sin(60)sin(60)2sin cos 120cos(2)2sin sin 2sin cos 2sin (sin 3sin )sin 3.用和差化积公式化简三角函数式时，若三角函数式中存在三个或三个以上的三角函数可供化积时，应选择两角和或差的一半是特殊角或与其他三角函数有公因式的两个三角函数进行和差化积活学活用求sin270cos240sin 70cos 40的值解：原式sin 70cos 401(cos 40cos 80)sin 70cos 401cos 60cos 20(sin 110sin 30)1cos 20cos 20.三角恒等式证明典例在ABC中，求证：sin 2Asin 2Bsin 2C4sin Asin Bsin C.证明左边sin 2Asin 2Bsin 2C2sin cossin 2C2sin(AB)cos(AB)2sin(AB)cos(AB)2sin Ccos(AB)cos(AB)2sin C(2)sinsin4sin Asin Bsin C右边所以原等式成立三角恒等式的证明(1)证明三角恒等式从某种意义上来说，可以看成已知结果的三角函数式的化简与求值(2)证明三角恒等式总体要求是：通过三角公式进行恒等变形，论证等式左右两边相等，论证过程要清晰、完整、推理严密(3)证明三角恒等式的基本思想是：化繁为简、左右归一、变更论证等活学活用求证：cos2xcos2(x)2cos cos xcos(x)sin2.证明：左边2cos cos xcos(x)1cos 2xcos(2x2)2cos cos x cos(x)1coscoscos cos(2x)cos 1cos(2x)cos cos cos(2x)cos21cos2sin2右边，原等式成立层级一学业水平达标1cos 15 sin 105()A.B.C.1 D.1解析：选Acos 15sin 105sin(15105)sin(15105)sin 120sin(90)1.2化简的结果为()Atan Btan 2C. D.解析：选B原式tan 2.3函数f(x)2sinsin的最大值等于()A2sin2 B2sin2C2cos2 D2cos2解析：选Af(x)2sinsincos cos(x)cos(x)cos .当cos(x)1时，f(x)取得最大值1cos 2sin2.4将cos2xsin2y化为积的形式，结果是()Asin(xy)sin(xy) Bcos(xy)cos(xy)Csin(xy)cos(xy) Dcos(xy)sin(xy)解析：选Bcos2xsin2y(cos 2xcos 2y)cos(xy)cos(xy)5已知cos2cos2m，那么sin()sin()等于()Am BmC D.解析：选Acos2cos2m，sin()sin()(cos 2cos 2)(2cos212cos21)cos2cos2m.6cos 2cos 3化为积的形式为_解析：cos 2cos 32sinsin2sinsin2sinsin.答案：2sinsin7sincos化为和差的结果是_解析：原式cos()sin()答案：cos()sin()8._.解析：原式.答案：9求下列各式的值：(1)sin 54sin 18；(2)cos 146cos 942cos 47cos 73.解：(1)sin 54sin 182cos 36sin 182.(2)cos 146cos 942cos 47cos 732cos 120cos 262(cos 120cos 26)2cos 26cos 26cos 26cos 26.10求证：2cos .证明：因为左边2cos 右边，所以原等式成立层级二应试能力达标1sin 20cos 70sin 10sin 50的值是()A.B.C. D.解析：选A原式sin 90sin(50)cos 60cos(40)sin 50cos 40.2函数ycos2sin21是()A最小正周期为2的奇函数B最小正周期为2的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数解析：选Cy1sin 2xsinsin 2x，此函数是最小正周期为的奇函数3已知cos()cos()，则cos2sin2的值为()A BC. D.解析：选Dcos()cos()(cos 2cos 2)(2cos21)(12sin2)cos2sin2.4若AB，则cos2Acos2B的取值范围是()A. B.C. D0,1解析：选CAB，BA，cos2Acos2B1(cos 2Acos 2B)1coscos(AB)cos1，1cos1，cos1.5函数ysinsin的最小正周期T_.解析：f(x)sincos xsin，T.答案：6cos 40cos 60cos 80cos 160_.解析：cos 60cos 80cos 40cos 160cos 802cos 100cos 60cos 80cos 80.答案：7已知f(x)cos2(x)2cos cos xcos(x)cos2，求f(x)的最大值、最小值和最小正周期解：f(x)cos2(x)2cos(x)cos(x)cos(x)cos2cos2(x)cos2(x)cos(x)cos(x)cos2cos2(cos 2cos 2x)cos 2cos 2xcos 2x，f(x)的最大值为1，最小值为0，最小正周期为.8已知ABC的三个内角A，B，C满足：(1)AC2B；(2).求cos的值解：AC2B，ABC180，B60，AC120.2，2，cos Acos C2cos Acos C.由和差化积与积化和差公式，得2coscoscos(AC)cos(AC)，cos.化简，得4cos22cos30，0.2cos30，2cos0，cos.(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1函数y2cos21的最小正周期是()A4B2C D.解析：选By2cos212cos x2，函数的最小正周期T2.2若tan 3，则的值等于()A2 B3C4 D6解析：选D2tan 236.3已知是第二象限角，且cos ，则cos的值是()A. BC. D解析：选A由题意，sin ，所以coscoscos sinsin .4函数f(x)sin xcos的值域为()A2,2 B.C1,1 D.解析：选Bf(x)sin xsin xcos xsin xsin，xR，xR，f(x).5设a(sin 17cos 17)，b2cos2131，csin 37sin 67sin 53sin 23，则()Acab BbcaCabc Dbac解析：选Aacos 45sin 17sin 45cos 17sin(1745)sin 62，bcos 26sin 64，csin 37cos 23cos 37sin 23sin(3723)sin 60，故ca0，(0，)，sin ，coscoscossin 22sin cos 2，选C.7化简：的值为()A. B.C. D2解析：选B依题意得.8已知sin()cos cos()sin ，且是第三象限角，则cos的值等于()ABC D解析：选A由已知，得sin()sin()，故sin .在第三象限，cos .cos .9化简：的值为()A2 B2C1 D1解析：选D1.10在ABC中，已知tansin C，则ABC的形状为()A正三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形解析：选C在ABC中，tansin Csin(AB)2sincos，2cos21，cos(AB)0，从而AB，即ABC为直角三角形11已知方程x24ax3a10(a1)的两根为tan ，tan ，且，则tan的值为()A2 B.C. D.或2解析：选A根据题意得tan tan 4a，tan tan 3a1，tan().又a1，tan tan 0，tan 0，tan 0.又，0，tan0，由tan()得2tan23tan20，tan2.12已知0，点P(1,4)为角的终边上一点，且sin sincos cos，则角()A. B.C. D.解析：选DP(1,4)，|OP|7，sin ，cos .又sin cos cos sin ，sin().0，0，cos()，sin sin()sin cos()cos sin().0，.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中的横线上)13设向量a，b，其中，若ab，则_.解析：若ab，则sin cos ，即2sin cos 1，sin 21，又，.答案：14若tan32，则_.解析：由tan32，得tan ，tan .答案：15._.解析：原式4.答案：416式子“cos()(1tan 10)1”，在括号里填上一个锐角，使得此式成立，则所填锐角为_解析：设cos (1tan 10)1，则cos cos 40.又为锐角，故40.答案：40三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知，且cos，求cos ，sin 的值解：因为，所以0.因为cos，所以sin .所以sin sinsincos cossin，cos coscoscossinsin.18(本小题满分12分)已知0，sin .(1)求的值；(2)求tan的值解：(1)由0，sin ，得cos ，20.(2)tan ，tan.19(本小题满分12分)设向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x.(1)若|a|b|，求x的值；(2)设函数f(x)ab，求f(x)的最大值解：(1)由|a|2(sin x)2(sin x)24sin2x，|b|2(cos x)2(sin x)21，及|a|b|，得4sin2x1.又x，从而sin x，所以x.(2)f(x)absin xcos xsin2xsin 2xcos 2xsin，当x时，sin取f(x)的最大值为1，所以f(x)的最大值为.20(本小题满分12分)已知cos，x，.(1)求sin x的值；(2)求sin的值解：(1)因为x，所以x.于是sin ，sin xsinsincoscossin.(2)因为x，故cos x .sin 2x2sin xcos x，cos 2x2cos2x1.所以sinsin 2xcoscos 2xsin.21(本小题满分12分)已知cos，sin且，.求：(1)cos；(2)tan()解：(1)，0，.sin ，cos .coscoscoscossinsin.(2)，sin .tan.tan().22(本小题满分12分)已知向量(cos ，sin )，0，向量m(2,1)，n