高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式本讲知识归纳与达标验收同步配套教学案 新人教a版选修4-5

第一讲 不等式和绝对值不等式 对应学生用书P16考情分析从近两年的高考试题来看，绝对值不等式主要考查解法及简单的应用，题目难度中档偏下，着重考查学生的分类讨论思想及应用能力解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，化成不含绝对值的不等式，其一是依据绝对值的意义；其二是先令每一个绝对值等于零，找到分界点，通过讨论每一区间内的代数式的符号去掉绝对值真题体验1(江西高考)对任意x，yR，|x1|x|y1|y1|的最小值为()A1B2C3 D4解析：|x1|x|y1|y1|x1x|y1(y1)|123.答案：C2(湖南高考)不等式|2x1|2|x1|0的解集为_解析：原不等式即|2x1|2|x1|，两端平方后解得12x3，即x.答案：3(陕西高考)已知a，b，m，n均为正数，且ab1，mn2，则(ambn)(bman)的最小值为_解析：(ambn)(bman)ab(m2n2)mn(a2b2)2mnabmn(a2b2)mn(ab)2mn2，当且仅当mn时等号成立答案：24(福建高考)设不等式|x2|a(aN)的解集为A，且A，A.(1)求a的值；(2)求函数f(x)|xa|x2|的最小值解：(1)因为A，且A，所以a，且a，解得a.又因为aN，所以a1.(2)因为|x1|x2|(x1)(x2)|3，当且仅当(x1)(x2)0，即1x2时取到等号，所以f(x)的最小值为3.5(江苏高考)已知实数x，y满足：|xy|，|2xy|，求证：|y|.解：因为3|y|3y|2(xy)(2xy)|2|xy|2xy|，由题设知|xy|，|2xy|，从而3|y|，所以|y|. 对应学生用书P16不等式的基本性质利用不等式的性质判断不等式或有关结论是否成立，再就是利用不等式性质，进行数值或代数式大小的比较，常用到分类讨论的思想例1“acbd”是“ab且cd”的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析易得ab且cd时必有acbd.若acbd时，则可能有ab且cd.答案A基本不等式的应用利用基本不等式求最值问题一般有两种类型：和为定值时， 积有最大值；积为定值时，和有最小值，在具体应用基本不等式解题时， 一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”例2x，y，zR，x2y3z0，的最小值为_解析由x2y3z0得y，则3，当且仅当x3z时取“”答案3例3(新课标全国卷)设a，b，c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcca；(2)1.证明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.含绝对值的不等式的解法1.公式法|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)；|f(x)|g(x)g(x)f(x)|g(x)|f(x)2g(x)2.3零点分段法含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号，转化为不含绝对值的不等式去解例4解下列关于x的不等式：(1)|x1|x3|；(2)|x2|2x5|2x；解(1)法一：|x1|x3|，两边平方得(x1)2(x3)2，8x8.x1. 原不等式的解集为x|x1法二：分段讨论：当x1时，有x1x3，此时x；当1x3，即x1，.此时13时，有x1x3成立，x3.原不等式解集为x|x1(2)分段讨论：当x2x，解得x2x，解得x2时，原不等式变形为x22x52x，解得x3，则集合AB等于()Ax|2x3 Bx|2x3Cx|2x3 Dx|1x2或x1ABx|2x3|答案：C2(陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则()Aav BvC.v Dv解析：设甲、乙两地的距离为S，则从甲地到乙地所需时间为，从乙地到甲地所需时间为，又因为ab，所以全程的平均速度为va，即av.答案：A3已知|xa|b的解集为x|2x4，则实数a等于()A1 B2C3 D4解析：由|xa|b得，abxab，由已知得解得答案：C4若0，则下列结论不正确的是()Aa2b2 Bab2 D|a|b|ab|解析：法一(特殊值法)：令a1，b2，代入A，B，C，D，知D不正确法二：由0，得baab，aba2，故A，B正确又由1，0，且，即2正确从而A，B，C均正确，对于D，由ba0|a|b|.即|a|b|c.abac.答案：C7已知x2y3z6，则2x4y8z的最小值为()A3 B2C12 D12解析：2x0,4y0,8z0，2x4y8z2x22y23z333412.当且仅当2x22y23z，即x2，y1，z时，等号成立答案：C8已知x1，y1，且lg xlg y4，则lg xlg y的最大值是()A4 B2C1 D.解析：由x1，y1，故lg x0，lg y0.4lg xlg y2.lg xlg y4，当且仅当xy时取等号答案：A9不等式|sin xtan x|a的解集为N；不等式|sin x|tan x|a的解集为M；则解集M与N的关系是()ANM BMNCMN DMN解析：|sin xtan x|sin x|tan x|，则MN(当a0时，MN)答案：B10(安徽高考)若函数f(x)|x1|2xa|的最小值为3，则实数a的值为()A5或8 B1或5C1或4 D4或8解析：当a2时，f(x)如图1可知，当x时，f(x)minf13，可得a8；当a0)的最小值为_解析：f(x)3x39，当且仅当即x2时取等号答案：912定义运算xy若|m1|m|m1|，则m的取值范围是_解析：依题意，有|m1|m，所以mm1m，所以m.答案：13以下三个命题：(1)若|ab|1，则|a|b|1；(2)若a，bR，则|ab|2|a|ab|；(3)若|x|3，则|.其中正确的有_个解析：(1)|a|b|ab|1，|a|b|1.(1)正确(2)|ab|2|a|ab|2a|ab2a|ba|ab|，(2)正确(3)|x|3，|.(3)正确答案：314设函数f(x)|2x1|x3，则f(2)_，若f(x)5，则x的取值范围是_解析：f(2)|2(2)1|(2)36.|2x1|x35|2x1|2xx22x12x1x1.答案：61,1三、解答题(本大题共4小题，满分50分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)解不等式：|x|2；解：原不等式因为x22或或x2，或x22x5或x2x5.所以，原不等式组等价于x0，b0，且.(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由解：(1)由，得ab2，且当ab时等号成立故a3b324，且当ab时等号成立所以a3b3的最小值为4.(2)由(1)知，2a3b24.由于46，从而不存在a，b，使得2a3b6.17(本小题满分12分)已知|2x3|1的解集为m，n(1)求mn的值；(2)若|xa|m，求证：|x|a|1.解：(1)由不等式|2x3|1可化为12x31，得1x2，m1，n2，mn3.(2)证明：若|xa|1，则|x|xaa|xa|a|a|1.18(本小题满分14分)已知函数f(x)|x2|，g(x)|x3|m.(1)解关于x的不等式f(x)a10(aR)；(2)若函数f(x)的图像恒在函数g(x)图像的上方，求m的取值范围解：(1)不等式f(x)a10，即|x2|a10，当a1时，解集为x2，即(，2)(2，)；当a1时，解集为全体实数R；当a1时，|x2|1a，x21a或x2a1，x3a或xa1，故解集为(，a1)(3a，)(2)f(x)