高中数学 第二章 函数 5 简单的幂函数（一）学案 北师大版必修1

5 简单的幂函数（一）学习目标1.理解幂函数的概念.2.学会以简单的幂函数为例研究函数性质的方法.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题知识点一幂函数的概念思考y，yx，yx2三个函数有什么共同特征？梳理如果一个函数底数是自变量x，指数是常量，即yx，这样的函数称为幂函数知识点二幂函数的图像与性质思考如图在同一坐标系内作出函数(1)yx；(2)；(3)yx2；(4)yx1；(5)yx3的图像填写下表：yxyx2yx3yx1定义域值域单调性增在0，) 上_，在(，0 上_在(0，) 上_，在(，0)上_梳理根据上表，可以归纳一般幂函数特征：(1)所有的幂函数在(0，)上都有定义，并且图像都过点_；(2)0时，幂函数的图像通过_，并且在区间0，)上是_函数特别地，当1时，幂函数的图像下凸；当01)，它同各幂函数图像相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从_到_的顺序排列类型一幂函数的概念例1已知y(m22m2)2n3是幂函数，求m，n的值反思与感悟只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x，指数为常量这三个条件，才是幂函数如：y3x2，y(2x)3，y4都不是幂函数跟踪训练1在函数y，y2x2，yx2x，y1中，幂函数的个数为()A0 B1 C2 D3类型二幂函数的图像及应用例2若点(，2)在幂函数f(x)的图像上，点(2，)在幂函数g(x)的图像上，问当x为何值时，(1)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)；(3)f(x)g(x)反思与感悟幂函数由于指数的不同，它们的定义域也不同，性质也不同，幂函数的图像主要分01和0三种情况讨论跟踪训练2幂函数yx(0)，当取不同的正数时，在区间0,1上它们的图像是一簇美丽的曲线(如图)设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数yx，yx的图像三等分，即有BMMNNA.那么等于()A1 B2C3 D无法确定类型三幂函数性质例3探讨函数f(x)的单调性反思与感悟研究函数单调性要先研究函数定义域幂函数的定义域主要受两个因素影响：偶次根式被开方数不小于零；分式的分母不为零跟踪训练3已知幂函数f(x)(mN)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性例4(1)比较，的大小(2)若(a1) f(a1)1已知幂函数f(x)kx的图像过点，则k等于()A. B1 C. D22已知幂函数f(x)的图像经过点(2，)，则f(4)的值等于()A16 B. C2 D.3设1,1，3，则使函数yx的定义域为R的所有的值为()A1,3 B1,1 C1,3 D1,1,34下列是的图像的是()5以下结论正确的是()A当0时，函数yx的图像是一条直线B幂函数的图像都经过(0,0)，(1,1)两点C若幂函数yx的图像关于原点对称，则yx在定义域内y随x的增大而增大D幂函数的图像不可能在第四象限，但可能在第二象限1幂函数yx(R)，其中为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准2幂函数yx的图像与性质由于的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)0时，图像过(0,0)，(1,1)在第一象限的图像上升；1时，曲线下凸；01时，曲线上凸；0时，曲线下凸3在具体应用时，不一定是yx，1，1,2,3这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质答案精析问题导学知识点一思考底数为x，指数为常数知识点二思考RRR0，)x|x0R0，)R0，)y|y0增加减少增增减少减少梳理(1)(1,1)(2)原点增(3)1或xg(x)；(2)当x1或x1时，f(x)g(x)；(3)当1x1且x0时，f(x)g(x)跟踪训练2A由条件知，M(，)、N(，)，()，()，()()()，1.故选A.例3解 f(x)的定义域为(0，)任取x1，x2(0，)，且x1x10，所以x1x20，于是f(x2)f(x1)0，即f(x2)25，即(2)(，)解析由(1)知f(x)x在区间(0，)内是减函数所以(a1)(32a)等价于解得a.所以a的取值范围是(，)跟踪训练4解在R上为增函数，且9f(a1)等价于2aa10，解得1a.当堂训练1C由幂函数的定义知k1.又f，所以，解