高中数学 第一章 计数原理 5_2 二项式系数的性质学案 北师大版选修2-3

5.2二项式系数的性质学习目标1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用 知识点二项式系数的性质(ab)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：思考1同一行中，系数有什么规律？思考2相邻两行，系数有什么规律？梳理“杨辉三角”蕴含的规律(1)在同一行中，每行两端都是1.(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两数的和即二项式系数满足组合数的性质CCC.(3)与首末两端“_”的两个二项式系数相等，即二项式系数具有对称性，即C_.特别提醒：1二项式系数性质类似于组合数的两个性质(1)CC.(2)CCC.2从二项式系数表中可以看出(ab)n的展开式中二项式系数先增加，后减少，各二项式系数的和等于2n，即CCCC2n.类型一与杨辉三角有关的问题例1如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，记其前n项和为Sn，求S16的值引申探究本例条件不变，若改为求S21，则结果如何？反思与感悟解决与杨辉三角有关的问题的一般思路跟踪训练1如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_行中从左至右的第14个数与第15个数的比为23.类型二求展开式的系数和例2设(2x)100a0a1xa2x2a100x100，求下列各式的值(1)a0；(2)a1a2a3a4a100；(3)a1a3a5a99；(4)(a0a2a100)2(a1a3a99)2；(5)|a0|a1|a100|.反思与感悟二项展开式中系数和的求法(1)对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR，m，nN)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可；对(axby)n(a，bR，nN)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可(2)一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.跟踪训练2在二项式(2x3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和类型三二项式系数性质的应用例3已知f(x)(3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项反思与感悟(1)二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(ab)n中的n进行讨论当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大(2)展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析如求(abx)n(a，bR)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，An，且第r1项最大，应用解出r，即得出系数的最大项跟踪训练3已知(x2)n展开式中的二项式系数的和比(3a2b)7展开式的二项式系数的和大128，求(x2)n展开式中的系数最大的项和系数最小的项1(12x)10的展开式中各项系数的和为()A310 B210 C1 D12在(1x)n(nN)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n等于()A8 B9 C10 D113观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是()A8 B6 C4 D24设(2x3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a1a2a3的值为_5已知(1x)8的展开式，求：(1)二项式系数最大的项；(2)系数最小的项1二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出2求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定一般地对字母赋的值为0、1或1，但在解决具体问题时要灵活掌握3注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数(2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中r0,1,2，n答案精析问题导学知识点思考1两端都是1，与两端1等距离的项的系数相等思考2在相邻两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即CCC.梳理(3)等距离C题型探究例1解由题意及杨辉三角的特点可得S16(12)(33)(64)(105)(369)(CC)(CC)(CC)(CC)(CCCC)(239)C164.引申探究解S21(12)(33)(64)(5511)66(CC)(CC)(CC)(CC)C(CCCC)(2311)C28665351.跟踪训练134例2解(1)令x0，则展开式为a02100.(2)令x1，可得a0a1a2a100(2)100，a1a2a100(2)1002100.(3)令x1，可得a0a1a2a3a100(2)100.与联立相减得a1a3a99.(4)原式(a0a2a100)(a1a3a99)(a0a2a100)(a1a3a99)(a0a1a2a100)(a0a1a2a3a98a99a100)(2)(2)10011001.(5)Tr1(1)rC2100r()rxr，a2k10(kN)|a0|a1|a2|a100|a0a1a2a3a100(2)100.跟踪训练2解设(2x3y)9a0x9a1x8ya2x7y2a9y9.(1)二项式系数之和为CCCC29.(2)各项系数之和为a0a1a2a9，令x1，y1，所以a0a1a2a9(23)91.(3)令x1，y1，可得a0a1a2a959，又a0a1a2a91，将两式相加可得a0a2a4a6a8，即所有奇数项系数之和为.例3解令x1，则二项式各项系数的和为f(1)(13)n4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n2n992.(2n)22n9920，(2n31)(2n32)0，2n31(舍去)，或2n32，n5.(1)由于n5为奇数，展开式中二项式系数最大的项为中间的项，它们分别为T3C()3(3x2)290x6，T4C()2(3x2)3270.(2)展开式的通项公式为Tr1C3r假设Tr1项系数最大，则有即r，rN，r4，展开式中系数最大的项为T5C(3x2)4405.跟踪训练3解2n27128，n8，(x2)8的通项Tr1C(x2)8r()r(1)rCx163r.当r4时，展开式中的系数最大，即T570x4为展开式中的系数最大的项；当r3或5时，展开式中的系数最小，即T456x7，T656x为展开式中的系数最小的项当堂训练1A2.C3.B4.155解(1)因为(1x)8的幂指数8是偶数，所以由二项式系数的性质知，中间一项(即第5项)的二项式系数最大，该项为T5C(x)470x4.