高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 2_1 抛物线及其标准方程学案 北师大版选修2-1

2.1抛物线及其标准方程学习目标1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程的问题.知识点一抛物线的定义思考1平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是什么？思考2平面内，到两个确定平行直线l1，l2距离相等的点的轨迹是什么？思考3到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是什么？梳理(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离_的点的集合叫作抛物线.点F叫作抛物线的_，直线l叫作抛物线的_.(2)定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于11).知识点二抛物线的标准方程思考抛物线的标准方程有何特点？梳理由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y22px(p0)，y22px(p0)，x22py(p0)，x22py(p0).现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)(，0)xy22px(p0)(，0)xx22py(p0)(0，)yx22py(p0)(0，)y类型一抛物线的定义及理解例1(1)动点M的坐标满足方程5|3x4y12|，则动点M的轨迹是()A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.以上都不对(2)已知点P(x，y)在以原点为圆心的单位圆x2y21上运动，则点Q(xy，xy)的轨迹所在的曲线是_.(在圆、抛物线、椭圆、双曲线中选择一个作答)反思与感悟抛物线的判断方法(1)可以看动点是否符合抛物线的定义，即到定点的距离等于到定直线(直线不过定点)的距离.(2)求出动点的轨迹方程，看方程是否符合抛物线的方程.跟踪训练1平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程.类型二抛物线标准方程及求解命题角度1抛物线的焦点坐标或准线方程的求解例2求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.(1)y240x；(2)4x2y；(3)3y25x；(4)6y211x0.反思与感悟根据抛物线方程求准线方程或焦点坐标时，应先把抛物线的方程化为标准方程，即等式左端是二次项且系数是1，等式右端是一次项，这样才能准确写出抛物线的准线方程.跟踪训练2若抛物线y22px的焦点坐标为(1,0)，则p_；准线方程为_.命题角度2求解抛物线的标准方程例3根据下列条件分别求抛物线的标准方程.(1)已知抛物线的准线方程是x；(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y3与抛物线交于点A，|AF|5.反思与感悟抛物线标准方程的求法(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程.(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值.跟踪训练3已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程.类型三抛物线在实际生活中的应用例4河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m、高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？反思与感悟涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解.跟踪训练4喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？1.抛物线yx2的准线方程是()A.y1 B.y2C.x1 D.x22.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，2)到焦点的距离为4，则m的值为()A.4 B.2C.4或4 D.12或23.若抛物线y22px(p0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p_.4.过(2,4)点，顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线的标准方程为_.5.已知M为抛物线y24x上一动点，F为抛物线的焦点，定点N(2,3)，则|MN|MF|的最小值为_.1.焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2mx(m0)，此时焦点为F(，0)，准线方程为x；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2my(m0)，此时焦点为F(0，)，准线方程为y.2.设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫作抛物线的焦半径.若M(x0，y0)在抛物线y22px(p0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|x0.3.对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题.提醒：完成作业第三章22.1答案精析问题导学知识点一思考1连接两定点所得线段的垂直平分线.思考2一条直线.思考3抛物线.梳理(1)相等焦点准线知识点二思考(1)以方程的解为坐标的点在抛物线上；(2)对称轴为坐标轴；(3)p为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(4)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(5)焦点、准线到原点的距离都等于.题型探究例1(1)C(2)抛物线跟踪训练1解方法一设点P的坐标为(x，y)，则有|x|1，两边平方并化简得y22x2|x|.y2即点P的轨迹方程为y2方法二由题意，动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，由于点F(1,0)到y轴的距离为1，故当x0)，则焦点F，由题意，得解得或故所求的抛物线方程为y28x，m2.抛物线的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x2.例4解如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系. 设抛物线方程为x22py(p0)，由题意可知，点B(4，5)在抛物线上，故p，得x2y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA，则A(2，yA)，由22yA，得yA.又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，所以h|yA|0.752(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航.跟踪训练4解如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x22py(p0)，因为点C(5，5)在抛物线上，所以252p(5)，因此2p5，所以抛物线的方程为x25y，点A(4，y0)在