高中数学 第二章 参数方程 2_2_1 直线的参数方程学案 新人教b版选修4-4

22.1直线的参数方程读教材填要点1直线的参数方程：经过点M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M0的距离2过点M0(x0，y0)且与平面向量a(l，m)平行的直线l的参数方程为tR当M0M与a同向时，t取正数；当M0M与a反向时，t取负数小问题大思维1经过点M(1,5)且倾斜角为的直线，以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是什么？提示：根据直线参数方程的定义，易得即2已知直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的斜率为何值？提示：直线l的参数方程可化为故直线的斜率为tan 1.直线参数方程的求法例1已知直线l的方程为3x4y10，点P(1,1)在直线l上，写出直线l的参数方程，并求点P到点M(5,4)和点N(2,6)的距离思路点拨本题考查直线参数方程的求法及其简单应用解答本题需要根据直线方程确定直线的倾斜角，然后写出直线l的参数方程精解详析由直线方程3x4y10可知，直线的斜率为.设直线的倾斜角为，则tan ，sin ，cos .又点P(1,1)在直线l上，所以直线l的参数方程为因为354410，所以点M在直线l上由1t5，得t5，即点P到点M的距离为5.因为点N不在直线l上，故根据两点的距离公式，可得|PN|.直线的参数方程可以从它的普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为yy0k(xx0)其中ktan ，为直线的倾斜角，代入上式，得yy0(xx0)，即.记上式的比值为t，整理后得1一直线过P0(3,4)，倾斜角，求此直线与直线3x2y6的交点M与P0之间的距离解：设直线的参数方程为将它代入3x2y60得326，解得t，|MP0|t|.直线的参数方程的应用(直线与圆)例2已知直线的参数方程为它与曲线(y2)2x21交于A，B两点(1)求|AB|的长；(2)求点P(1,2)到线段AB中点C的距离思路点拨本题主要考查直线的参数方程与圆的综合应用解答本题需先求出直线l的参数方程，然后根据相关概念及性质求解即可精解详析(1)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得7t26t20.设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2，t1t2.所以，线段|AB|的长为|t1t2|5 .(2)根据中点坐标的性质可得AB中点C对应的参数为.所以，由t的几何意义可得点P(1,2)到线段AB中点C的距离为.不用求出A，B两点的坐标，根据直线参数方程中t的几何意义，再根据根与系数的关系即可求出AB及点P到AB中点C的距离2已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角.(1)写出直线l的参数方程(2)设l与圆x2y24相交于两点A，B，求点P 到A，B两点的距离之积解：(1)直线的参数方程为即(2)把代入x2y24，得(1t)2(1t)24，t2(1)t20，t1t22，则点P到A，B两点的距离之积为2.直线的参数方程的应用(直线与圆锥曲线)例3过点P(，0)作倾斜角为的直线与曲线x22y21交于点M，N，求|PM|PN|的最小值及相应的的值思路点拨本题考查直线与椭圆的位置关系解答本题需要先确定直线的参数方程，然后利用参数的几何意义求解精解详析设直线的参数方程为t为参数，代入曲线方程并整理得(1sin2)t2(cos )t0，则|PM|PN|t1t2|，所以当sin21时，即时，|PM|PN|的最小值为，此时.直线的参数方程中，参数t具有明显的几何意义，搞清参数t的几何意义是解决此类问题的关键3已知椭圆的参数方程(02)，求椭圆上一点P到直线的最短距离解：由题意，得P(3cos ，2sin )，直线：2x3y100.d，而6sin10610,610，.dmin.一、选择题1若直线的参数方程为，则直线的斜率为()A.BC. D解析：选Dk.2直线l的参数方程为l上的点P1对应的参数是t1，则点P1与P(a，b)之间的距离为()A|t1| B2|t1|C.|t1| D.|t1|解析：选C点P1对应的点的坐标为(at1，bt1)，|PP1|t1|.3下列可以作为直线2xy10的参数方程的是()A. B.C. D.解析：选C题目所给的直线的斜率为2，选项A中直线斜率为1，选项D中直线斜率为，所以可以排除A、D两项；B、C两项中直线斜率均为2，但B项中直线的普通方程为2xy30，故选C.4过点(0,2)且与直线互相垂直的直线的参数方程为()A. B.C. D.解析：选B直线化为普通方程为yx12，其斜率k1，设所求直线的斜率为k，由kk11，得k，故参数方程为(t为参数)二、填空题5直线l过点M0(1,5)，倾斜角是，且与直线xy20交于M，则|MM0|的长为_解析：直线l的方程为代入xy20，得(1)t84.解得|MM0|t|106.答案：1066直线上与点A(2,3)的距离等于的点的坐标是_解析：设P(2t,3t)是直线上满足条件的点，则(t)2(t)2()2，t2，t，则P(3,4)或(1,2)答案：(3,4)或(1,2)7设直线的参数方程为点P在直线上，且与点M0(4,0)的距离为，若该直线的参数方程改写成(t为参数)，则在这个方程中点P对应的t值为_解析：由|PM0|知，t，代入第一个参数方程，得点P的坐标分别为(3,1)或(5，1)，再把点P的坐标代入第二个参数方程可得t1或t1.答案：18直线过定点_解析：消去t得，即(y1)a4x120，则x3，且y1时，对于任何a都成立答案：(3，1)三、解答题9直线l1过点M(1,2)，且与向量(3，1)共线(1)写出该直线的参数方程；(2)直线l2的方程为2xy10，且l1交l2于N，求|MN|.解：(1)直线l1的参数方程为(2)把l1的参数方程代入l2的方程中，得2(13t)2t10.解得t，N的坐标为.|MN|222，|MN|.10已知直线l1的参数方程为l2的参数方程为试判断l1与l2的位置关系解：法一：将直线l1的参数方程化为普通方程，得y2x1；将l2的参数方程化为普通方程，得yx2.因为k1k221，所以两直线垂直法二：由参数方程知l1与向量a1(2,4)平行，l2与向量a2(2，1)平行又224(1)0，l1l2，即两条直线垂直11设直线l过点P(3,3)，且倾斜角为.(1)写出直线l的参数方程；(2)设此直线与曲线C：(02)交于A，B两点，求|PA|PB|；(3)设A，B中点为M，求|PM|.解：(1)直线l的参数方程是(2)消去曲线C中的参数，得4x2y2160，把直线的参数方程代入曲线C的普通方程，得42216，化简为13t212(14)t1