高中数学 第一章 基本初等函数（ⅱ）1_1 任意角的概念与弧度制学案 新人教b版必修4

11.1角的概念的推广预习课本P36，思考并完成以下问题 (1)角是如何定义的？角的概念推广后，分类的标准是什么？(2)角的旋转量的性质是什么？(3)象限角的含义是什么？判断角所在的象限时，要注意哪些问题？(4)终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？1任意角(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)角的表示：如图，OA是角的始边，OB是角的终边，O是角的顶点角可记为“角”或“”或简记为“”(3)角的分类：名称定义图示正角按照逆时针方向旋转而成的角负角按照顺时针方向旋转而成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角(4)角的旋转量的性质：各角和的旋转量等于各角旋转量的和，即可化为()2象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限点睛象限角的条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合3终边相同的角所有与角终边相同的角，包括角本身构成一个集合S|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)30是第四象限角()(2)钝角是第二象限的角()(3)终边相同的角一定相等()答案：(1)(2)(3)2与45角终边相同的角是()A45B225C395 D315答案：D3下列说法正确的是()A锐角是第一象限角 B第二象限角是钝角C第一象限角是锐角 D第四象限角是负角答案：A4将35角的终边按顺时针方向旋转60所得的角度数为_，将35角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数_答案：25395任意角的概念典例下列命题正确的是()A终边与始边重合的角是零角B终边和始边都相同的两个角一定相等C在90180范围内的角不一定是钝角D小于90的角是锐角解析终边与始边重合的角还可能是360，720，故A错；终边和始边都相同的两个角可能相差360的整数倍，如30与330，故B错；由于在90180范围内的角包含90角，所以不一定是钝角，C正确；小于90的角可以是0，也可以是负角，故D错误答案C理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可活学活用如图，射线OA绕端点O旋转90到射线OB的位置，接着再旋转30到OC的位置，则AOC的度数为_解析：AOCAOBBOC90(30)60.答案：60终边相同角的表示典例写出与75角终边相同的角的集合，并求在3601 080范围内与75角终边相同的角解与75角终边相同的角的集合为S|k36075，kZ当3601 080时，即360k360751 080，解得k2.又kZ，所以k1或k2.当k1时，435；当k2时，795.综上所述，与75角终边相同且在3601 080范围内的角为435角和795角1终边落在直线上的角的集合的步骤(1)写出在0360范围内相应的角；(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合；(3)根据条件能合并一定合并，使结果简洁2终边相同角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360的整数倍(2)终边在同一直线上的角之间相差180的整数倍(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90的整数倍活学活用分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合解：(1)在0360范围内，终边在直线y0上的角有两个，即0和180，因此，所有与0角终边相同的角构成集合S1|0k360，kZ，而所有与180角终边相同的角构成集合S2|180k360，kZ，于是，终边在直线y0上的角的集合为SS1S2|k180，kZ(2)由图形易知，在0360范围内，终边在直线yx上的角有两个，即135和315，因此，终边在直线yx上的角的集合为S|135k360，kZ|315k360，kZ|135k180，kZ.象限角的判断典例已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角(1)75；(2)855；(3)510.解作出各角，其对应的终边如图所示：(1)由图可知：75是第四象限角(2)由图可知：855是第二象限角(3)由图可知：510是第三象限角象限角的判定方法(1)根据图象判定依据是终边相同的角的概念，因为0360之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系(2)将角转化到0360范围内在直角坐标平面内，在0360范围内没有两个角终边是相同的活学活用若是第四象限角，则180一定在()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选C与的终边关于x轴对称，且是第四象限角，是第一象限角而180可看成按逆时针旋转180得到，180是第三象限角.角，n(nN)所在象限的确定典例已知是第二象限角，求角所在的象限解法一：是第二象限角，k36090k360180(kZ)3604536090(kZ)当k为偶数时，令k2n(nZ)，得n36045n36090，这表明是第一象限角；当k为奇数时，令k2n1(nZ)，得n360225n360270，这表明是第三象限角为第一或第三象限角法二：如图，先将各象限分成2等份，再从x轴正向的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为的终边所在的区域，故为第一或第三象限角一题多变1变设问在本例条件下，求角2的终边的位置解：是第二象限角，k36090k360180(kZ)k7201802k720360(kZ)角2的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上2变条件若角变为第三象限角，则角是第几象限角？解：如图所示，先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有三的区域即为角的终边所在的区域，故角为第二或第四象限角倍角、分角所在象限的判定思路(1)已知角终边所在的象限，确定n终边所在的象限，可依据角的范围求出n的范围，再直接转化为终边相同的角即可注意不要漏掉n的终边在坐标轴上的情况(2)已知角终边所在的象限，确定终边所在的象限，分类讨论法要对k的取值分以下几种情况进行讨论：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2，k被n除余n1.然后方可下结论几何法依据数形结合思想，简单直观 层级一学业水平达标1215是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析：选B由于215360145，而145是第二象限角，则215也是第二象限角2下面各组角中，终边相同的是()A390，690 B330，750C480，420 D3 000，840解析：选B33036030，75072030，330与750终边相同3若k18045，kZ，则所在的象限是()A第一、三象限 B第一、二象限C第二、四象限 D第三、四象限解析：选A由题意知k18045，kZ，当k2n1，nZ，2n18018045n360225，在第三象限，当k2n，nZ，2n18045n36045，在第一象限是第一或第三象限的角4终边在第二象限的角的集合可以表示为()A|90180B|90k180180k180，kZC|270k180180k180，kZD|270k360180k360，kZ解析：选D终边在第二象限的角的集合可表示为|90k360180k360，kZ，而选项D是从顺时针方向来看的，故选项D正确5将885化为k360(0360，kZ)的形式是()A165(2)360 B195(3)360C195(2)360 D165(3)360解析：选B885195(3)360，0195360，故选B.6在下列说法中：时钟经过两个小时，时针转过的角是60；钝角一定大于锐角；射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0；2 000是第二象限角其中错误说法的序号为_(错误说法的序号都写上)解析：时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60，因而转过的角为60，所以不正确钝角的取值范围为90180，锐角的取值范围为090，因此钝角一定大于锐角，所以正确射线OA按逆时针旋转一周所成的角是360，所以不正确2 0006360160与160终边相同，是第二象限角，所以正确答案：7满足180360，5与有相同的始边，且又有相同的终边，那么_.解析：5k360，kZ，k90，kZ.又180360，270.答案：2708若角2 016，则与角具有相同终边的最小正角为_，最大负角为_解析：2 0165360216，与角终边相同的角的集合为|216k360，kZ，最小正角是216，最大负角是144.答案：2161449在0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：(1)549；(2)60；(3)50336.解：(1)549189360，而180189270，因此，549角为第三象限角，且在0360范围内，与189角有相同的终边(2)60300360，而270300360，因此，60角为第四象限角，且在0360范围内，与300角有相同的终边(3)50336216242360，因此，50336角是第三象限角，且在0360范围内，与21624角有相同的终边10已知角的集合M|30k90，kZ，回答下列问题：(1)集合M中大于360且小于360的角是哪几个？(2)写出集合M中的第二象限角的一般表达式解：(1)令36030k90360，则k，又kZ，k4，3，2，1,0,1,2,3，集合M中大于360且小于360的角共有8个，分别是330，240，150，60，30，120，210，300.(2)集合M中的第二象限角与120角的终边相同，120k360，kZ.层级二应试能力达标1给出下列四个结论：15是第四象限角；185是第三象限角；475是第二象限角；350是第一象限角其中正确的个数为()A1B2C3 D4解析：选D15是第四象限角；180185270是第三象限角；475360115，而90115180，所以475是第二象限角；35036010是第一象限角，所以四个结论都是正确的2若角2与240角的终边相同，则()A120k360，kZB120k180，kZC240k360，kZD240k180，kZ解析：选B角2与240角的终边相同，则2240k360，kZ，则120k180，kZ.选B.3若与终边相同，则的终边落在()Ax轴的非负半轴上 Bx轴的非正半轴上Cy轴的非负半轴上 Dy轴的非正半轴上解析：选Ak360，kZ，k360，kZ，其终边在x轴的非负半轴上4设集合M|45k90，kZ，N|90k45，kZ，则集合M与N的关系是()AMN BMNCNM DMN解析：选C对于集合M，45k90452k45(2k1)45，即M|(2k1)45，kZ；对于集合N，90k45245k45(k2)45，即N|(k2)45，kZ|n45，nZ2k1表示所有的奇数，而n表示所有的整数，NM，故选C.5从13：00到14：00，时针转过的角为_，分针转过的角为_解析：经过一小时，时针顺时针旋转30，分针顺时针旋转360，结合负角的定义可知时针转过的角为30，分针转过的角为360.答案：303606已知角2的终边在x轴的上方，那么是第_象限角解析：由题意知k3602180k360(kZ)，故k18090k180(kZ)，按照k的奇偶性进行讨论当k2n(nZ)时，n36090n360(nZ)，在第一象限；当k2n1(nZ)时，180n360270n360(nZ)，在第三象限故是第一或第三象限角答案：一或三7试写出终边在直线yx上的角的集合S，并把S中适合不等式180180的元素写出来解：终边在直线yx上的角的集合S|k360120，kZ|k360300，kZ|k180120，kZ，其中适合不等式180180的元素为60，120.8.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)解：(1)终边落在射线OB上的角的集合为S1|60k360，kZ(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2|30k180，kZ(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S3|30k18060k180，kZ11.2弧度制和弧度制与角度制的换算预习课本P711，思考并完成以下问题(1)1弧度的角是如何定义的？(2)如何求角的弧度数？(3)如何进行弧度与角度的换算？(4)以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？1度量角的两种制度(1)角度制：定义：用度作单位来度量角的制度1度的角：把圆周360等分，则其中1份所对的圆心角是1度(2)弧度制：定义：以弧度为单位来度量角的制度1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角弧度数的计算公式：在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为 rad，则.点睛用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两个字可以省略不写，如2 rad的单位“rad”可省略不写，只写2.2角度与弧度的互化(1)180 rad.(2)常用的角度数与弧度数的互化：度030456090120135150180225270315360弧度023.弧长与扇形面积公式公式度量制弧长公式扇形面积公式角度制lS弧度制lr(02)Slrr2(02)点睛由扇形的弧长及面积公式可知：对于，r，l，S“知二求二”，它实质上是方程思想的运用1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)1弧度1.()(2)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应()(3)用弧度制度量角，与圆的半径长短有关()答案：(1)(2)(3)2若k，kZ，则所在的象限是()A第一、二象限B第二、三象限C第一、三象限 D第一、四象限答案：C3半径为1，圆心角为的扇形的弧长是()A. BC. D.答案：C4(1)_；(2)210_.答案：(1)120(2)角度与弧度的换算典例把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72；(2)300；(3)2；(4).解(1)7272.(2)300300.(3)22.(4)40.角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式 rad180是关键，由它可以得到：度数弧度数，弧度数度数活学活用将下列角度与弧度进行互化：(1)；(2)；(3)10；(4)855.解：(1)18015 330.(2)180105.(3)1010.(4)855855.用弧度制表示角的集合典例已知角2 005.(1)将改写成2k(kZ,02)的形式，并指出是第几象限的角；(2)在5，0)内找出与终边相同的角解(1)2 0052 005 ，又，角与终边相同，是第三象限的角(2)与终边相同的角为2k(kZ)，由52k0，kZ知k1，2，3.在5，0)内与终边相同的角是，.用弧度制表示终边相同的角2k(kZ)时，其中2k是的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用活学活用1将1 125表示成2k，02，kZ的形式为_解析：因为1 1254360315，315315，所以1 1258.答案：82用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合解：如题图，330角的终边与30角的终边相同，将30化为弧度，即，而7575，终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为.扇形的弧长公式及面积公式题点一：利用公式求弧长和面积1已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60，求扇形的弧长和面积解：已知扇形的圆心角60，半径r10 cm，则弧长lr10(cm)，于是面积Slr10(cm2)题点二：利用公式求半径和弧度数2扇形OAB的面积是4 cm2，它的周长是8 cm，求扇形的半径和圆心角解：设扇形圆心角的弧度数为(02)，弧长为l cm，半径为r cm，依题意有由，得r2，l82r4，2.故所求扇形的半径为2、圆心角为2 rad.题点三：利用公式求扇形面积的最值3已知扇形的周长是30 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为(02)，半径为r，面积为S，弧长为l，则l2r30，故l302r，从而Slr(302r)rr215r2，所以，当r cm时，2，扇形面积最大，最大面积为 cm2.弧度制下涉及扇形问题的攻略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是Slr|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，是扇形的圆心角)(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解提醒运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是为弧度 层级一学业水平达标1把50化为弧度为()A50B.C. D.解析：选B5050.2扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形的面积是()A16 B32C16 D32解析：选C弧长l2r,4r16，r4，得l8，即Slr16.3角的终边落在区间内，则角所在的象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选C3的终边在x轴的非正半轴上，的终边在y轴的非正半轴上，故角为第三象限角4时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为()A. BC. D解析：选B显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了周，转过的弧度为2.5下列表示中不正确的是()A终边在x轴上的角的集合是|k，kZB终边在y轴上的角的集合是C终边在坐标轴上的角的集合是D终边在直线yx上的角的集合是解析：选D终边在直线yx上的角的集合应是.6135化为弧度为_，化为角度为_解析：135135，180660.答案：6607扇形的半径是，圆心角是60，则该扇形的面积为_解析：60，扇形的面积公式为S扇形r2()2.答案：8设集合M，N|，则MN_.解析：由，得k.kZ，k1,0,1,2，MN.答案：9一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数解：设扇形的半径为R，弧长为l，则2Rl4.根据扇形面积公式SlR，得1lR.联立解得R1，l2，2.10将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限角(1)1 725；(2)60360k(kZ)解：(1)1 7257553605210，是第一象限角(2)60360k602k2k(kZ)，是第四象限角层级二应试能力达标1下列转化结果错误的是()A60化成弧度是B化成度是600C150化成弧