中考数学 第三篇 函数 专题15 二次函数的应用（含解析）

第三篇 函数专题15 二次函数的应用解读考点知识点名师点晴二次函数的应用1实际背景下二次函数的关系会运用二次函数的性质求函数的最大值或最小值来解决最优化问题2将实际问题转化为数学中二次函数问题会根据具体情景，建立适当的平面直角坐标系3利用二次函数来解决实际问题的基本思路（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展2年中考【2017年题组】一、选择题1（2017湖北省荆州市）规定：如果关于x的一元二次方程（a0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论：方程是倍根方程；若关于x的方程是倍根方程，则a=3；若关于x的方程（a0）是倍根方程，则抛物线与x轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）；若点（m，n）在反比例函数的图象上，则关于x的方程是倍根方程上述结论中正确的有（）ABCD【答案】C【解析】关于x的方程（a0）是倍根方程，x2=2x1，抛物线的对称轴是直线x=3，抛物线与x轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0），故正确；点（m，n）在反比例函数的图象上，mn=4，解得x1=，x2=，x2=4x1，关于x的方程不是倍根方程；故选C考点：1反比例函数图象上点的坐标特征；2根的判别式；3根与系数的关系；4抛物线与x轴的交点；5综合题二、填空题2（2017湖南省常德市）如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上若设AE=x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为 【答案】（0x2）【解析】试题分析：如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，A=B=90，AB=2，1+2=90，四边形EFGH为正方形，HEF=90，EH=EF，1+3=90，2=3，在AHE与BEF中，A=B，2=3，EH=FE，AHEBEF（AAS），AE=BF=x，AH=BE=2x，在RtAHE中，由勾股定理得：EH2=AE2+AH2=x2+（2x）2=2x24x+4；即（0x2），故答案为：（0x2）考点：1根据实际问题列二次函数关系式；2正方形的性质 3（2017湖南省永州市）一小球从距地面1m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下（1）小球第3次着地时，经过的总路程为 m；（2）小球第n次着地时，经过的总路程为 m【答案】（1）2.5；（2）【解析】考点：1二次函数的应用；2规律型4（2017浙江省温州市）小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为 cm【答案】【解析】B（12，24）代入抛物线，可得： ，解得：，抛物线为，又点E的纵坐标为10.2，令y=10.2，则，解得x1=，x2=（舍去），点E的横坐标为，又ON=30，EH=30（）=故答案为：考点：1二次函数的应用；2代数几何综合题；3综合题三、解答题5（2017湖北省荆州市）荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为： ，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示：（1）求日销售量y与时间t的函数关系式？（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？（3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？（4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m（m7）元给村里的特困户在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围【答案】（1）y=2t+200（1x80，t为整数）；（2）第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元；（3）21天；（4）5m7【解析】试题分析：（1）根据函数图象，利用待定系数法求解可得；试题解析：（1）设解析式为y=kt+b，将（1，198）、（80，40）代入，得：，解得：，y=2t+200（1x80，t为整数）；（2）设日销售利润为w，则w=（p6）y，当1t40时，w=（t+166）（2t+200）=（t30）2+2450，当t=30时，w最大=2450；当41t80时，w=（t+466）（2t+200）=（t90）2100，当t=41时，w最大=2301，24502301，第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元（3）由（2）得：当1t40时，w=（t30）2+2450，令w=2400，即（t30）2+2450=2400，解得：t1=20、t2=40，由函数w=（t30）2+2450图象可知，当20t40时，日销售利润不低于2400元，而当41t80时，w最大=23012400，t的取值范围是20t40，共有21天符合条件（4）设日销售利润为w，根据题意，得： w=（t+166m）（2t+200）=t2+（30+2m）t+2000200m，其函数图象的对称轴为t=2m+30，w随t的增大而增大，且1t40，由二次函数的图象及其性质可知2m+3040，解得：m5，又m7，5m7考点：1二次函数的应用；2二次函数的最值；3最值问题；4分段函数；5分类讨论；6综合题6（2017湖北省荆门市）我市雷雷服饰有限公司生产了一款夏季服装，通过实体商店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该公司对这种商品的销售情况，进行了为期30天的跟踪调查，其中实体商店的日销售量y1（百件）与时间t（t为整数，单位：天）的部分对应值如下表所示，网上商店的日销售量y2（百件）与时间t（t为整数，单位：天）的部分对应值如图所示（1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中，选择合适的函数能反映y1与t的变化规律，并求出y1与t的函数关系式及自变量t的取值范围；（2）求y2与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）在跟踪调查的30天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为y（百件），求y与t的函数关系式；当t为何值时，日销售总量y达到最大，并求出此时的最大值【答案】（1）（0t30，且为整数）；（2）；（3），当t=17或18时，y最大=91.2百件【解析】最大=80；当10t30时，得到y最大=91.2，于是得到结论试题解析：解（1）根据观察可设，将（0，0），（5，25），（10，40）代入得：，解得：，y1与t的函数关系式为：（0t30，且为整数）；（2）当0t10时，设y2=kt，（10，40）在其图象上，10k=40，k=4，y2与t的函数关系式为：y2=4t，当10t30时，设y2=mt+n，将（10，40），（30，60）代入得：，解得：，y2与t的函数关系式为：y2=t+30，综上所述， ；（3）依题意得y=y1+y2，当0t10时，y=（t25）2+125，t=10时，y最大=80；当10t30时，y=t2+6t+t+30=，t为整数，t=17或18时，y最大=91.2，91.280，当t=17或18时，y最大=91.2（百件）综上所述：，当t=17或18时，y最大=91.2百件考点：1二次函数的应用；2分段函数；3二次函数的最值；4最值问题7（2017湖北省随州市）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1x15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？【答案】（1）10%；（2），第10天时销售利润最大；（3）0.5【解析】（3）设第15天在第14天的价格基础上最多可降a元，根据第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，列不等式可得结论试题解析：（1）设该种水果每次降价的百分率是x，10（1x）2=8.1，x=10%或x=190%（舍去）答：该种水果每次降价的百分率是10%；（2）当1x9时，第1次降价后的价格：10（110%）=9，y=（94.1）（803x）（40+3x）=17.7x+352，17.70，y随x的增大而减小，当x=1时，y有最大值，y大=17.71+352=334.3（元）；当9x15时，第2次降价后的价格：8.1元，y=（8.14.1）（120x）（3x264x+400）=3x2+60x+80=3（x10）2+380，30，当9x10时，y随x的增大而增大，当10x15时，y随x的增大而减小，当x=10时，y有最大值，y大=380（元）综上所述，y与x（1x15）之间的函数关系式为：，第10天时销售利润最大；（3）设第15天在第14天的价格基础上最多可降a元，由题意得：380127.5（4a）（12015）（31526415+400），2525105（4a）115，a0.5答：第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元考点：1二次函数的应用；2一元二次方程的应用；3二次函数的最值；4最值问题；5分段函数；6分类讨论；7综合题8（2017湖北省襄阳市）为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x（m2），种草所需费用（元）与x（m2）的函数关系式为，其图象如图所示：栽花所需费用（元）与x（m2）的函数关系式为（0x1000）（1）请直接写出、和b的值；（2）设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元），请利用W与x的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值；（3）若种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2，请求出绿化总费用W的最小值【答案】（1），b=6000；（2）32500；（3）27900【解析】（3）根据种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2求得x的范围，依据二次函数的性质可得试题解析：（1）将x=600、y=18000代入 ，得：18000=600，解得：；将x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入，得：，解得：，b=6000；（2）当0x600时，W=30x+（0.01x220x+30000）=0.01x2+10x+30000，0.010，W=0.01（x500）2+32500，当x=500时，W取得最大值为32500元；当600x1000时，W=20x+6000+（0.01x220x+30000）=0.01x2+36000，0.010，当600x1000时，W随x的增大而减小，当x=600时，W取最大值为32400，3240032500，W取最大值为32500元；（3）由题意得：1000x100，解得：x900，由x700，则700x900，当700x900时，W随x的增大而减小，当x=900时，W取得最小值27900元考点：1二次函数的应用；2最值问题；3二次函数的最值；4分段函数；5综合题9（2017湖北省黄石市）小明同学在一次社会实践活动中，通过对某种蔬菜在1月份至7月份的市场行情进行统计分析后得出如下规律：该蔬菜的销售价P（单位：元/千克）与时间x（单位：月份）满足关系：P=9x；该蔬菜的平均成本y（单位：元/千克）与时间x（单位：月份）满足二次函数关系，已知4月份的平均成本为2元/千克，6月份的平均成本为1元/千克（1）求该二次函数的解析式；（2）请运用小明统计的结论，求出该蔬菜在第几月份的平均利润L（单位：元/千克）最大？最大平均利润是多少？（注：平均利润=销售价平均成本）【答案】（1）；（2）4月份的平均利润L最大，最大平均利润是3元/千克【解析】试题解析：（1）将x=4、y=2和x=6、y=1代入，得：，解得：， ；（2）根据题意，知L=Py=9x（）=，当x=4时，L取得最大值，最大值为3答：4月份的平均利润L最大，最大平均利润是3元/千克考点：1二次函数的应用；2最值问题；3二次函数的最值10（2017辽宁省锦州市）为解决消费者停车难的问题，某商场新建一小型轿车停车场，经测算，此停车场每天需固定支出的费用（包括设施维修费、管理人员工资等）为600元，为制定合理的收费标准，该商场对每天轿车停放辆次（每辆轿车每停放一次简称为“辆次”）与每辆轿车的收费情况进行调查，发现每辆次轿车的停车费定价不超过10元时，每天来此停放的轿车都为300辆次；若每辆次轿车的停车费定价超过10元，则每超过1元，每天来此停放的轿车就减少12辆次，设每辆次轿车的停车费x元（为便于结算，停车费x只取整数），此停车场的日净收入为y元（日净收入=每天共收停车费每天固定的支出）回答下列问题：（1）当x10时，y与x的关系式为： ；当x10时，y与x的关系式为： ；（2）停车场能否实现3000元的日净收入？如能实现，求出每辆次轿车的停车费定价，如不能实现，请说明理由；（3）该商场要求此停车场既要吸引顾客，使每天轿车停放的辆次较多，又要有最大的日净收入，按此要求，每辆次轿车的停车费定价应定为多少元？此时最大日净收入是多少元？【答案】（1）y=300x600；y=12x2+420x600；（2）停车场能实现3000元的日净收入，每辆次轿车的停车费定价是15元或20元；（3）每辆次轿车的停车费定价应定为17元，此时最大日净收入是3072元【解析】试题解析：（1）由题意得：y=300x600；由题意得：y=30012（x10）x600，即y=12x2+420x600；（2）依题意有：12x2+420x600=3000，解得x1=15，x2=20故停车场能实现3000元的日净收入，每辆次轿车的停车费定价是15元或20元；（3）当x10时，停车300辆次，最大日净收入y=30010600=2400（元）当x10时，y=12x2+420x600=12（x235x）600=12（x17.5）2+3075当x=17.5时，y有最大值但x只能取整数，x取17或18显然，x取17时，小车停放辆次较多，此时最大日净收入为y=120.25+3075=3072（元）由上可得，每辆次轿车的停车费定价应定为17元，此时最大日净收入是3072元 考点：1二次函数的应用；2一元二次方程的应用；3二次函数的最值；4最值问题；5分段函数11（2017山东省潍坊市）工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形（厚度不计）（1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？【答案】（1）裁掉的正方形的边长为2dm；（2）当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低，最低费用为25元【解析】试题解析：（1）如图所示：设裁掉的正方形的边长为xdm，由题意可得（102x）（62x）=12，即x28x+12=0，解得x=2或x=6（舍去）答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2；（2）长不大于宽的五倍，102x5（62x），解得0x2.5，设总费用为w元，由题意可知w=0.52x（164x）+2（102x）（62x）=4x248x+120=4（x6）224，对称轴为x=6，开口向上，当0x2.5时，w随x的增大而减小，当x=2.5时，w有最小值，最小值为25元答：当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低，最低费用为25元考点：1二次函数的应用；2一元二次方程的应用；3二次函数的最值；4最值问题；5操作型12（2017内蒙古包头市）某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元设矩形一边长为x，面积为S平方米（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）设计费能达到24000元吗？为什么？（3）当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？【答案】（1）（0x8）；（2）能；（3）当x=4米时，矩形的最大面积为16平方米，设计费最多，最多是32000元【解析】试题解析：（1）矩形的一边为x米，周长为16米，另一边长为（8x）米，S=x（8x）=，其中0x8，即（0x8）；（2）能，设计费能达到24000元，当设计费为24000元时，面积为24000200=12（平方米），即=12，解得：x=2或x=6，设计费能达到24000元（3）=，当x=4时，S最大值=16，当x=4米时，矩形的最大面积为16平方米，设计费最多，最多是32000元考点：1二次函数的应用；2一元二次方程的应用；3二次函数的最值；4最值问题13（2017四川省达州市）宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成已知每件产品的出厂价为60元工人甲第x天生产的产品数量为y件，y与x满足如下关系： （1）工人甲第几天生产的产品数量为70件？（2）设第x天生产的产品成本为P元/件，P与x的函数图象如图工人甲第x天创造的利润为W元，求W与x的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）工人甲第12天生产的产品数量为70件；（2），第11天时，利润最大，最大利润是845元【解析】试题解析：（1）根据题意，得：若7.5x=70，得：x=4，不符合题意；5x+10=70，解得：x=12答：工人甲第12天生产的产品数量为70件；（2）由函数图象知，当0x4时，P=40，当4x14时，设P=kx+b，将（4，40）、（14，50）代入，得：，解得：，P=x+36；当0x4时，W=（6040）7.5x=150x，W随x的增大而增大，当x=4时，W最大=600元；当4x14时，W=（60x36）（5x+10）=5x2+110x+240=5（x11）2+845，当x=11时，W最大=845，845600，当x=11时，W取得最大值，845元，答：第11天时，利润最大，最大利润是845元考点：1二次函数的应用；2二次函数的最值；3最值问题；4分段函数14（2017内蒙古包头市）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C（1）求该抛物线的解析式；（2）直线y=x+n与该抛物线在第四象限内交于点D，与线段BC交于点E，与x轴交于点F，且BE=4EC求n的值；连接AC，CD，线段AC与线段DF交于点G，AGF与CGD是否全等？请说明理由；（3）直线y=m（m0）与该抛物线的交点为M，N（点M在点N的左侧），点 M关于y轴的对称点为点M，点H的坐标为（1，0）若四边形OMNH的面积为求点H到OM的距离d的值【答案】（1）；（2）n=2；AGF与CGD全等；（3）【解析】（2）过点E作EEx轴于E，则EEOC，根据平行线分线段成比例定理，可得BE=4OE，设点E的坐标为（x，y），则OE=x，BE=4x，根据OB=2，可得x的值，再根据直线BC的解析式即可得到E的坐标，把E的坐标代入直线y=x+n，可得n的值；根据F（2，0），A（1，0），可得AF=1，再根据点D的坐标为（1，3），点C的坐标为（0，3），可得CDx轴，CD=1，再根据AFG=CDG，FAG=DCG，即可判定AGFCGD；（3）根据轴对称的性质得出OH=1=MN，进而判定四边形OMNH是平行四边形，再根据四边形OMNH的面积，求得OP的长，再根据点M的坐标得到PM的长，RtOPM中，运用勾股定理可得OM的值，最后根据OMd=，即可得到d的值试题解析：（1）抛物线与x轴交于A（1，0），B（2，0）两点，解得：，该抛物线的解析式；（2）如图，过点E作EEx轴于E，则EEOC，BE=4EC，BE=4OE，设点E的坐标为（x，y），则OE=x，BE=4x，B（2，0），OB=2，即x+4x=2，x=，抛物线与y轴交于点C，C（0，3），设直线BC的解析式为y=kx+b，B（2，0），C（0，3），解得：，直线BC的解析式为，当x=时，y=，E（，），把E的坐标代入直线y=x+n，可得+n=，解得n=2；AGF与CGD全等理由如下：直线EF的解析式为y=x2，当y=0时，x=2，F（2，0），OF=2，A（1，0），OA=1，AF=21=1，由，解得：或，点D在第四象限，点D的坐标为（1，3），点C的坐标为（0，3），CDx轴，CD=1，AFG=CDG，FAG=DCG，AGFCGD；（3）抛物线的对称轴为x= =，直线y=m（m0）与该抛物线的交点为M，N，点M、N关于直线x=对称，设N（t，m），则M（1t，m），点 M关于y轴的对称点为点M，M（t1，m），点M在直线y=m上，MNx轴，MN=t（t1）=1，H（1，0），OH=1=MN，四边形OMNH是平行四边形，设直线y=m与y轴交于点P，四边形OMNH的面积为，OHOP=1m=，即m=，OP=，当=时，解得x1=，x2=，点M的坐标为（，），M（，），即PM=，RtOPM中，OM=，四边形OMNH的面积为，OMd=，d=考点：1二次函数综合题；2探究型；3压轴题 15（2017内蒙古呼和浩特市）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点C，其顶点记为M，自变量x=1和x=5对应的函数值相等若点M在直线l：y=12x+16上，点（3，4）在抛物线上（1）求该抛物线的解析式；（2）设对称轴右侧x轴上方的图象上任一点为P，在x轴上有一点A（，0），试比较锐角PCO与ACO的大小（不必证明），并写出相应的P点横坐标x的取值范围（3）直线l与抛物线另一交点记为B，Q为线段BM上一动点（点Q不与M重合），设Q点坐标为（t，n），过Q作QHx轴于点H，将以点Q，H，O，C为顶点的四边形的面积S表示为t的函数，标出自变量t的取值范围，并求出S可能取得的最大值【答案】（1）；（2）当x=时，PCO=ACO，当x时，PCOACO，当x4时，PCOACO；（3） ，当t=1时，S最大=18【解析】（3）解方程组得到D（1，28得到Q（t，12t+16）（1t2），当1t0时，当0t时，当t2时，求得二次函数的解析式即可得到结论试题解析：（1）自变量x=1和x=5对应的函数值相等，抛物线的对称轴为x=2点M在直线l：y=12x+16上，yM=8设抛物线的解析式为将（3，4）代入得：a8=4，解得：a=4，抛物线的解析式为，整理得：（2）由题意得：C（0，8），M（2，8），如图，当PCO=ACO时，过P作PHy轴于H，设CP的延长线交x轴于D，则ACD是等腰三角形，OD=OA=，P点的横坐标是x，P点的纵坐标为4x216x+8，PHOD，CHPCOD，x=，过C作CEx轴交抛物线与E，则CE=4，设抛物线与x轴交于F，B，则B（，0），对称轴右侧x轴上方的图象上任一点为P，当x=时，PCO=ACO，当x时，PCOACO，当x4时，PCOACO；（3）解方程组： ，解得：，D（1，28），Q为线段BM上一动点（点Q不与M重合），Q（t，12t+16）（1t2）；分三种情况讨论：当1t0时，S=（t）（12t+168）+8（t）=6t212t=6（t1）26，1t0，当t=1时，S最大=18；当0t时，S=t8+t（12t+16）=6t2+12t=6（t1）2+6，0t，当t=1时，S最大=6；当t2时，S=t8+（12t16）=6t24t=6（t）2，t2，此时S无最大值综上所述： ，当t=1时，S最大=18考点：1二次函数综合题；2二次函数的最值；3最值问题；4分类讨论；5动点型；6压轴题16（2017山东省聊城市）如图，已知抛物线与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）当点P移动到抛物线的什么位置时，使得PAB=75，求出此时点P的坐标；（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动，与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止，当两个移点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？【答案】（1），顶点坐标为（2，8）；（2）P点坐标为（，）；（3）S=，当t=4时，S有最大值24【解析】试题解析：（1）根据题意，把A（0，6），B（6，0）代入抛物线解析式可得：，解得：，抛物线的表达式为，=，抛物线的顶点坐标为（2，8）；（2）如图1，过P作PCy轴于点C，OA=OB=6，OAB=45，当PAB=75时，PAC=60，tanPAC=，即=，设AC=m，则PC=m，P（m，6+m），把P点坐标代入抛物线表达式可得6+m=，解得m=0或m=，经检验，P（0，6）与点A重合，不合题意，舍去，所求的P点坐标为（，）；（3）当两个支点移动t秒时，则P（t，t2+2t+6），M（0，6t），如图2，作PEx轴于点E，交AB于点F，则EF=EB=6t，F（t，6t），FP=t2+2t+6（6t）=t2+3t，点A到PE的距离竽OE，点B到PE的距离等于BE，SPAB=FPOE+FPBE=FP（OE+BE）=FPOB=（t2+3t）6=t2+9t，且SAMB=AMOB=t6=3t，S=S四边形PAMB=SPAB+SAMB=，当t=4时，S有最大值，最大值为24考点：1二次函数综合题；2二次函数的最值；3最值问题；4动点型；5压轴题17（2017吉林省）函数的图象与性质拓展学习片段展示：【问题】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a= 【操作】将图中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图直接写出图象G对应的函数解析式【探究】在图中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围【应用】P是图中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE直接写出PDE的面积不小于1时m的取值范围【答案】【问题】：；【操作】：；【探究】：当1x2或x2+时，函数y随x增大而增大；【应用】：m=0或m=4或m2或m2+【解析】试题分析：【问题】：把（0，0）代入可求得a的值；【操作】：先写出沿x轴折叠后所得抛物线的解析式，根据图象可得对应取值的解析式；【探究】：令y=0，分别代入两个抛物线的解析式，分别求出四个点CDEF的坐标，根据图象呈上升趋势的部分，即y随x增大而增大，写出x的取值；【应用】：先求DE的长，根据三角形面积求高的取值h1；分三部分进行讨论：当P在C的左侧或F的右侧部分时，设Pm，根据h1，列不等式解出即可；如图，作对称轴由最大面积小于1可知：点P不可能在DE的上方；P与O或A重合时，符合条件，m=0或m=4试题解析：【问题】抛物线经过原点O，a=，故答案为：；【操作】：如图，抛物线：，对称轴是：直线x=2，由对称性得：A（4，0），沿x轴折叠后所得抛物线为：，如图，图象G对应的函数解析式为：；【探究】：如图，由题意得：当y=1时，=0，解得：x1=2+，x2=2，C（2，1），F（2+，1），当y=1时，解得：x1=3，x2=1，D（1，1），E（3，1），由图象得：图象G在直线l上方的部分，当1x2或x2+时，函数y随x增大而增大；【应用】：D（1，1），E（3，1），DE=31=2，SPDE=DEh1，h1；当P在C的左侧或F的右侧部分时，设Pm，h=11，（m2）210，m2或m2，m2+或m2；如图，作对称轴交抛物线G于H，交直线CD于M，交x轴于N，H（2，），HM=1=1，当点P不可能在DE的上方；MN=1，且O（0，0），a（4，0），P与O或A重合时，符合条件，m=0或m=4；综上所述，PDE的面积不小于1时，m的取值范围是：m=0或m=4或m2或m2+考点：1二次函数综合题；2翻折变换（折叠问题）；3分类讨论；4阅读型；5压轴题18（2017四川省成都市）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180，得到新的抛物线C（1）求抛物线C的函数表达式；（2）若抛物线C与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C上的对应点P，设M是C上的动点，N是C上的动点，试探究四边形PMPN能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由【答案】（1）；（2）2m；（3）m=6或m=3【解析】有两个不同的公共点，则有，解不等式组即可解决问题；（3）情形1，四边形PMPN能成为正方形作PEx轴于E，MHx轴于H由题意易知P（2，2），当PFM是等腰直角三角形时，四边形PMPN是正方形，推出PF=FM，PFM=90，易证PFEFMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2m，可得M（m+2，m2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMPN是正方形，同法可得M（m2，2m），利用待定系数法即可解决问题试题解析：（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（，0），设抛物线的解析式为，把A（，0）代入可得a=，抛物线C的函数表达式为（2）由题意抛物线C的顶点坐标为（2m，4），设抛物线C的解析式为，由，消去y得到 ，由题意，抛物线C与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有，解得2m，满足条件的m的取值范围为2m（3）结论：四边形PMPN能成为正方形理由：1情形1，如图，作PEx轴于E，MHx轴于H由题意易知P（2，2），当PFM是等腰直角三角形时，四边形PMPN是正方形，PF=FM，PFM=90，易证PFEFMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2m，M（m+2，m2），点M在上，解得m=3或3（舍弃），m=3时，四边形PMPN是正方形情形2，如图，四边形PMPN是正方形，同法可得M（m2，2m），把M（m2，2m）代入中，解得m=6或0（舍弃），m=6时，四边形PMPN是正方形综上所述：m=6或m=3时，四边形PMPN是正方形考点：1二次函数综合题；2旋转的性质；3探究型；4分类讨论；5压轴题19（2017四川省眉山市）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知A（3，0），且M（1，）是抛物线上另一点（1）求a、b的值；（2）连结AC，设点P是y轴上任一点，若以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标；（3）若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与O、A重合），过点N作NHAC交抛物线的对称轴于H点设ON=t，ONH的面积为S，求S与t之间的函数关系式【答案】（1） ；（2）P点的坐标1（0，2）或（0，）或（0，）或（0，）；（3）【解析】（3）过H作HGOA于G，设HN交Y轴于M，根据平行线分线段成比例定理得到OM=，求得抛物线的对称轴为直线x= =，得到OG=，求得GN=t，根据相似三角形的性质得到HG=，于是得到结论试题解析：（1）把A（3，0），且M（1，）代入得：，解得：；（2）在中，当x=0时y=2，C（0，2），OC=2，如图，设P（0，m），则PC=m+2，OA=3，AC=，分三种情况：当PA=CA时，则OP1=OC=2，P1（0，2）；当PC=CA=时，即m+2=，m=2，P2（0，2）；当PC=PA时，点P在AC的垂直平分线上，则AOCP3EC，P3C=，m=，P3（0，），当PC=CA=时，m=2，P4（0，2），综上所述，P点的坐标1（0，2）或（0，）或（0，）或（0，）；（3）过H作HGOA于G，设HN交Y轴于M，NHAC，OM=，抛物线的对称轴为直线x= =，OG=，GN=t，GHOC，NGHNOM，即，HG=，S=ONGH=t（t）=t2t（0t3）（3）设直线AC的解析式为y=kx+b（k0）由题意得：，解得：，b=-2，由（1）得抛物线对应的函数表达式为=，设AC与抛物线y=的对称轴x=1交于点F，直线x=1与x轴交于E点，则F（1，），E（1，0）当0t1时，EN=1-t，由得，EH= ，=ONEH=，即；当1t3时，EN=t-1，由得，EH= ，=ONEH=，即； 考点：二次函数综合题20（2017四川省绵阳市）如图，已知抛物线（a0）的图象的顶点坐标是（2，1），并且经过点（4，2），直线与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点M（t，1），直线m上每一点的纵坐标都等于1（1）求抛物线的解析式；（2）证明：圆C与x轴相切；（3）过点B作BEm，垂足为E，再过点D作DFm，垂足为F，求MF的值【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3） 【解析】试题解析：（1）已知抛物线（a0）的图象的顶点坐标是（2，1），可设抛物线解析式为 ，抛物线经过点（4，2），解得a=，抛物线解析式为，即；（2）联立直线和抛物线解析式可得，解得：或，B（，），D（，），C为BD的中点，点C的纵坐标为 =，BD= =5，圆的半径为，点C到x轴的距离等于圆的半径，圆C与x轴相切；（3）如图，过点C作CHm，垂足为H，连接CM，由（2）可知CM=，CH=1=，在RtCMH中，由勾股定理可求得MH=2，HF= =，MF=HFMH=，BE=1=，= =考点：1二次函数综合题；2压轴题21（2017枣庄）如图，抛物线 与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点F是抛物线上的动点，当FBA=BDE时，求点F的坐标；（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MNx轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标【答案】（1），D（2，8）；（2）（1，）或（3，）；（3）（2，）或（2，）【解析】试题解析：（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得：，解得：，抛物线解析式为 ，=，D（2，8）；（2）如图1，过F作FGx轴于点G，设F（x，），则FG=|，FBA=BDE，FGB=BED=90，FBGBDE，B（6，0），D（2，8），E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，BG=6x，当点F在x轴上方时，有，解得x=1或x=6（舍去），此时F点的坐标为（1，）；当点F在x轴下方时，有，解得x=3或x=6（舍去），此时F点的坐标为（3，）；综上可知F点的坐标为（1，）或（3，）；（3）如图2，设对称轴MN、PQ交于点O，点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，设Q（2，2n），则M坐标为（2n，n），点M在抛物线的图象上，n=（2n）2+2（2n）+6，解得n=或n=，满足条件的点Q有两个，其坐标分别为（2，）或（2，）考点：1二次函数综合题；2分类讨论；3动点型；4压轴题【2016年题组】一、选择题1（2016广西钦州市）如图，ABC中，AB=6，BC=8，tanB=，点D是边BC上的一个动点（点D与点B不重合），过点D作DEAB，垂足为E，点F是AD的中点，连接EF，设AEF的面积为y，点D从点B沿BC运动到点C的过程中，D与B的距离为x，则能表示y与x的函数关系的图象大致是（）ABC D【答案】B【解析】考点：1动点问题的函数图象；2二次函数的应用；3动点型二、填空题2（2016山东省日照市）如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为 米【答案】【解析】试题分析：如图，建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式，其中a可通过代入A点坐标（2，0），到抛物线解析式得出：a=0.5，所以抛物线解析式为，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=1代入抛物线解析式得出：，解得：x=，所以水面宽度增加到米，故答案为：米考点：二次函数的应用3（2016江苏省扬州市）某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a0）未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为 【答案】0a5【解析】考点：二次函数的应用4（2016浙江省台州市）竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t= 【答案】1.6【解析】试题分析：设各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度为h，这个最大高度为h，则小球的高度，由题意，解得t=1.6故第一个小球抛出后1.6秒时在空中与第二个小球的离地高度相同故答案为：1.6考点：二次函数的应用5（20