最短路线和最速降线.doc

最短路线和最速降线一、最短路线1问题 设一辆汽车停止于处并垂直于方向，此汽车可转弯的最小圆半径为,求不倒车时由移到的最短路线。（1）讨论的情形。（2）简单讨论的情形。2假设 将汽车视为一个点，汽车行走的路线视为一条曲线。3建模 （1）讨论的情形。以为轴正向，作一半径为的圆与轴切于点，问题就是要找一条最短曲线连结，在点切于轴正向，且任一点的曲率半径不小于。直观上不难猜测出最短路径。从点向圆做切线，那么由点沿圆弧移到点，再沿直线移到点，这就是最短路径（如图1所示）。为了证明这一事实，作一条直线通过圆的中心和点。假设汽车沿某一条曲线由点移到点，因、分别在直线两侧，与必有一交点被分成弧和弧两段。因与垂直，弧的长度必不小于线段的长度（当且仅当弧与线段重合时才可能相等）。设弧的参数方程为 图1其中为弧长。在点处，曲线的切线与轴的夹角记为，依条件有当时，故从而。研究曲线上的点与直线的距离（在的右边为正）因为 故 因此当时，有当时,。故故当时，这就是说，当汽车移动距离不超过（就是弧的长度）时，它不可能越过直线。因此弧的长度至少为,并且只有当弧与完全重合时，它的长度才能等于。总结上述讨论，知曲线的长度必不小于并且只有当与重合时才可能相等。因此是唯一的最短路径。（2）若点在圆内，即则应过点作一半径的圆，其圆心在延长线上，再过点作一圆，半径为，且与前圆切于点，则最短路径是弧和弧所组成的曲线（如图2所示）。图2二、最速降线 1问题 意大利科学家伽利略在1630年提出一个分析学的基本问题“铅直平面内给定不在一条垂直线上的两个点A,B, 如图3,求连接它们的光滑曲线，使质点在重力作用下沿该曲线以最短时间从A点滑到B点（摩擦力不计）”。他说这曲线是圆，可是这是一个错误的答案。 瑞士数学家约翰伯努利在1696年再提出这个最速降线的 图3问题（problem of brachistochrone），征求解答。次年已有多位数学家得到正确答案，其中包括牛顿、莱布尼兹、洛必达和伯努利兄弟。牛顿用非凡的微积分技巧解出了最速降线方程，约翰伯努利用光学的办法巧妙的也解出最速降线方程，雅各布伯努利用比较麻烦的办法解决了这个问题。这问题的正确答案是连接两个点上凹的唯一一段旋轮线或圆滚线。 旋轮线与1673年荷兰科学家惠更斯讨论的摆线相同。因为钟表摆锤作一次完全摆动所用的时间相等，所以摆线（旋轮线）又称等时曲线。 数学家十分关注最速降线问题，大数学家欧拉也在1726年开始发表有关的论著，在雅各布伯努利方法的基础上，1744年最先给了这类问题的普遍解法，并产生了变分法这一新数学分支。现在来看，雅各布的方法是最有意义和价值的。2假设 质点在滑动过程中不考虑空气阻力。3模型 尽管A，B两点间的最短距离是连接它们的直线，但是沿直线运动时速度增长较慢，如果沿一条陡峭的曲线下滑，虽然路径加长，但运动速度增长很快。为了求这条运动时间最短的曲线，在图3中将A点取为坐标原点（0,0），B点坐标为（x1,y1），连接A，B的曲线记为y(x)，于是曲线上的弧长为ds=1+y2dx.根据能量守恒定律，质点在曲线y(x)上任一点的速度dsdt满足12mdsdt2=mgy,其中m是质点的质量，g是重力加速度。将上面ds的关系代入，得到dt=1+y22gydx,于是质点沿曲线y(x)从A点滑到B点的时间可表示为Jyx=0x11+y22gydx(1)y(x)在A，B两个端点应有y(0)=0,y(x1)=y1(2)最速降线问题归结为求y(x)，在满足（2）的条件下，使（1）的J(y(x)达到最小。4求解 约翰伯努利设想质点也像光线那样按从A到B耗时最少的路径滑行，根据光学原理（史奈尔折射定律）得 （3） 由能量守恒定律得 （4） 由几何关系得 （5） 由（3）、（4）、（5）得 （6）上述解法让我们见识了数学建模中的类比想象能力是何等的宝贵。现实世界各种现象之间的模拟是一种重要的科研方法。约翰伯努利解决最速降线的方法非常奇妙，表现出惊人的想象力，可以说是一项水平极高的艺术工作。5应用 滑梯是儿童乐园中常见的玩具。有的滑梯的滑板是平直，还有一种滑梯是弯曲的，它的滑面是旋轮线。旋轮线滑面上的小朋友可以最短时间到达地面。 最速降线在建筑中也有着美妙的应用。我国古建筑中