数值分析典型例题.doc

第一章典型例题例3 ln2=0.69314718，精确到103的近似值是多少？解 精确到1030.001，即绝对误差限是e0.0005, 故至少要保留小数点后三位才可以。ln20.693第二章典型例题例1 用顺序消去法解线性方程组解 顺序消元 于是有同解方程组回代得解x3=1, x2=1,x1=1,原线性方程组的解为X(1,1,1)T例2 取初始向量X(0)=(0,0,0)T,用雅可比迭代法求解线性方程组解 建立迭代格式(k=1,2,3,)第1次迭代,k=0X(0)0，得到X(1)(1,3,5)T第2次迭代，k=1 X(2)(5,3,3)T第3次迭代，k=2 X(3)(1,1,1)T第4次迭代，k=3 X(4)(1,1,1)T例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯赛德尔迭代法发散。证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A于是 D D1D 雅可比迭代矩阵为 B0得到矩阵B0的特征根，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛。高斯赛德尔迭代矩阵为G 解得特征根为l1=0，l2,3=2。由迭代基本定理4知，高斯赛德尔迭代发散。例5 填空选择题： 1. 用高斯列主元消去法解线性方程组作第1次消元后的第2，3个方程分别为 。答案：解答 选a21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x1+2x2+3x3=3，消元得到是应填写的内容。3.用高斯赛德尔迭代法解线性方程组的迭代格式中 (k=0,1,2,)答案：解答：高斯赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求x2的值时应该用上x1的新值。第三章典型例题例1 已知函数y=f(x)的观察数据为xk2045yk5131试构造拉格朗日插值多项式Pn (x)，并计算f(1)的近似值。只给4对数据，求得的多项式不超过3次解 先构造基函数 所求三次多项式为P3(x)= f(1)P3(1)例3 设是n+1个互异的插值节点，是拉格朗日插值基函数，证明：(1) (2) 证明 (1) Pn(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+ynln(x)= 当f(x)1时，1由于，故有(2) 对于f(x)=xm,m=0,1,2,n，对固定xm(0mn), 作拉格朗日插值多项式，有当nm1时，f(n+1) (x)=0，Rn(x)=0，所以 注意：对于次数不超过n的多项式,利用上结果，有 = =上式正是Qn(x)的拉格朗日插值多项式。可见，Qn(x)的拉格朗日插值多项式就是它自身，即次数不超过n的多项式在n+1个互异节点处的拉格朗日插值多项式就是它自身。例5 已知数据如表的第2，3列，试用直线拟合这组数据。 解 计算列入表中。n=5。a0,a1满足的法方程组是kxkykxkyk11414224.5493369184481632558.52542.5S153155105.5 解得a0=2.45, a1=1.25。所求拟合直线方程为 y=2.45+1.25x例6选择填空题1. 设y=f(x), 只要x0,x1,x2是互不相同的3个值，那么满足P(xk)=yk(k=0,1,2)的f(x)的插值多项式P(x)是 (就唯一性回答问题)答案：唯一的3. 拉格朗日插值多项式的余项是( ),牛顿插值多项式的余项是( ) (A) (B) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn) (C) (D) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)答案：(A)，(D)。见教材有关公式。 第四章典型例题例1 试确定求积公式的代数精度。依定义，对xk(k=0,1,2,3,)，找公式精确成立的k数值解 当f(x)取1,x,x2,时，计算求积公式何时精确成立。(1) 取f(x)=1,有左边, 右边(2) 取f(x)=x,有 左边, 右边(3) 取f(x)=x2,有 左边=, 右边=(4) 取f(x)=x3,有 左边=, 右边=(5) 取f(x)=x4,有 左边=, 右边=当k3求积公式精确成立，而x4公式不成立，可见该求积公式具有3次代数。例5 试确定求积公式中的参数a，并证明该求积公式具有三次代数精度。解 公式中只有一个待定参数a。当f(x)=1,x时，有,即h=h ,不能确定a，再令f(x)=x2, 代入求积公式，得到,即 得. 求积公式为将f(x)=x3代入上求积公式，有 可见，该求积公式至少具有三次代数精度。再将f(x)=x4代入上公式中，有 所以该求积公式具有三次代数精度。例6 选择填空题1. 牛顿科茨求积公式与高斯型求积公式的关键不同点是 。解答：牛顿科茨求积公式的节点和求积系数确定后，再估计其精度；高斯型求积公式是由精度确定其节点和求积系数。第五章典型例题例1 证明方程1xsinx0在区间0,1内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5104的根要迭代多少次？证明 令f(x)1xsinx f(0)=10，f(1)=sin10(x0，1),故f(x)0在区间0，1内有唯一实根。给定误差限e0.5104，有只要取n14。例2 用迭代法求方程x54x20的最小正根。计算过程保留4位小数。分析 容易判断1，2是方程的有根区间。若建立迭代格式，此时迭代发散。建立迭代格式，此时迭代收敛。解 建立迭代格式 (可任取1，2之间的值)1.431 0 1.505 1 1.516 5 1.518 2 1.5185 取1.5185例3 试建立计算的牛顿迭代格式，并求的近似值，要求迭代误差不超过105分析首先建立迭代格式。确定取几位小数,求到两个近似解之差的绝对值不超过105。解 令，求x的值。牛顿迭代格式为迭代误差不超过105，计算结果应保留小数点后6位。当x=7或8时，x3=343或512，,取x0=8,有 7.478 0787.439 956 7.4397607.439760于是，取7.439760例4 用弦截法求方程x3x210，在x=1.5附近的根。计算中保留5位小数点。分析 先确定有根区间。再代公式。解 f(x)= x3x21，f(1)=1，f(2)=3，有根区间取1,2取x1=1, 迭代公式为(n=1,2,) 1.37662 1.48881 1.46348 1.46553取1.46553，f(1.46553)0.000145例4 选择填空题1. 设函数f(x)在区间a,b上连续，若满