函数、极限与连续.doc

第一章 函数 极限 连续知识点拔1.1 函数一、函数的概念设是一个非空数集，若存在一个对应法则，使得对内的每一个值 都有唯一的值与之对应，则称这个对应法则是定义在数集上的一个函数，记作：，其中叫自变量，叫因变量或函数，数集称为函数的定义域，而数集叫函数的值域.如果，称函数在处有定义，函数在处的函数值记为或. 注释:函数定义的两个要素：定义域和对应法则；两个函数相等条件：定义域和对应法则都相同的两个函数是相同函数，如：与不同，因定义域不同；与不同，因对应法则不同；与相同，也就是当两上函数的定义域和对应法则都相同时，即使其自变量所用的字母不同，但两个函数相同.若定义域内的每一个只对应一个函数值，则称该函数为单值函数，若同一个值可对应于多于一个的函数值，这种函数称为多值函数.二、函数的基本性质1、函数的单调性：设函数在区间上有定义，如果对，恒有（或），则称在区间上严格单调增加（或严格单调减少）的.如果对于，有 (或)称在区间上是单调增加（或单调减少）的.注释：（1）函数的有界性与单调性是与某个区间密切相关的，区间不同函数的有界性与单调性也不同.（2）增+增=增，增-减=增，减+减=减，减-增=减，增的倒数为减，减的倒数为增.（3）增函数与增函数或减函数与减函数的复合为单调增加函数.（4）增函数与减函数或减函数与增函数的复合为单调减少函数.2、函数的奇偶性：设是对称于原点的区间，若对，则称是奇函数；若有，称是偶函数.注释：奇（偶）函数的定义域必须是关于原点对称的区间.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称.奇偶函数的运算性质1奇函数的代数和仍为奇函数；偶函数的代数和仍为偶函数；奇函数与偶函数的代数和为非奇非偶函数；2偶数个奇（或偶）函数的积为偶函数；奇数个奇函数的积为奇函数；3一奇一偶函数的积是奇函数；4奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数；5奇函数的原函数是偶函数；偶函数的原函数是奇函数的充要条件是，即在所有原函数中只有一个函数是奇函数.任何一个定义域是关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和的形式，即.3、函数的有界性：设在区间上有定义，如果存在,使得对一切都有，则称在上有界，否则称为无界，即对，若存在，使得，称在上是无界的.注释：函数的有界性与的取值区间有关. 若函数在区间上有界，但在内是无界的，因为在这个区间上函数满足定义的不存在，即函数的有界性与的取值区间有关.4、函数的周期性：设的定义域为，若存在常数，伎得对，必有，并且有成立，则称是以为周期的周期函数，称为函数的周期，所有周期中的最小正周期叫函数的周期.注释：周期函数的定义域必须是无限点集，但不能是有限区间.如：的定义域是（）且若的周期为，则的周期为 ()；周期函数的和、差、积仍为周期函数，且周期为各个函数周期的最小公倍数，如：周期是的最小公倍数，但也有例外，如：,的周期为2，但的周期为；周期函数的导数仍为周期函数，且周期不变；设是周期为的函数，则它的原函数为周期函数的充要条件是，或者说，周期函数的原函数不一定是周期函数，如：是以2为周期的函数，但其任一个原函数不是周期函数. 不是每一个周期函数都有最小正周期的,如:狄利克雷函数任何有理数都是它的周期,即若为有理数, 也是有理数,故有;若为无理数, 也是无理数,故,可见为的周期,但它没有最小的正周期.又如：，为常数，它是周期为任意实数且没有最小正周期的周期函数.三、反函数设函数，其定义域为，值域为，如果对于中的某一个值（），都可以从关系式确定唯一的（）与之对应，这样就确定了一个以为自变量的新函数，记为：，称函数为函数的反函数，它的定义域为，值域为.注释：习惯上自变量用表示，函数用表示，因此函数的反函数通常表示为.反函数的定义域就是其原来函数的值域；反函数的值域就是原来函数的定义域，且有.原来函数与其反函数的图像关于对称（前提是在同一坐标系中），的图像与其反函数的图像重合.只有一一对应的函数才有反函数.若在区间内单调在区间内一定存在单值反函数，反之不一定成立，即若在区间内存在单值反函数但在区间内不一定单调，如： 在区间内存在单值反函数，但它在上不单调.四、复合函数若函数在处有定义，而在处有定义，则称为由和复合而成的复合函数，称为中间变量.注释：只有当函数的值域与的定义域的交集不是空集时才构成复合数.函数的复合：先利用外层函数关系，再利用内层函数关系而构成，如：设，则.复合函数的分解：先找到外层函数关系，设其内部整体为中间变量，再依次分解，如：，可设,，则原来函数是由 , ，复合而成.五、初等函数1、基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这五类函数统称为基本初等函数.2、初等函数：由常数和五类基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次复合运算且可用一个数学解析式表示的函数叫初等函数.注释：初等函数必须用一个式子表示，不能用一个式表示的函数不能称为初等函数，故分段函数一般不是初等函数.3、分段函数：若函数在其定义域内的不同部分上，分别用不同的表达式表示，这类函数称为分段函数.如：符号函数是分段函数且是有界函数和奇函数.又如： 是分段函数.注释：分段函数一般不是初等函数，但若是初等函数，则是初等函数.又如：取整函数，即“不超过的最大整数”是分段函数.又如：定义在上的狄利克雷（Dirichlet）函数是分段函数，且是有界的，是周期函数，但没有最小的正周期，任何有理数都是它的周期，并且还是偶函数.4、初等函数的几个特例设函数和都是初等函数，则（1）是初等函数，因为；（2）最大值函数和最小值函数都是初等函数，这是因为（3）幂指函数 ()是初等函数，因为.1.2 极限一、数列极限的定义1、数列极限的概念设为数列，为定数，若对任给的正数，总存在正整数，使得当时，有，则称数列收敛于，而称为数列的极限，记作：，或（）.若数列没有极限，则称数列不收敛，或称为发散数列.若，则称为无穷小数列.定理 数列收敛于的充要条件是：为无穷小数列.2、有界数列的概念对于数列，如果存在正数，使得对于一切的都有不等式成立，则称数列是有界的；如果这样的正数不存在，则称数列是无界的.注释：（1）若数列收敛，则数列有界；（2）有界数列不一定收敛，如：有界，但不收敛，所以数列有界是数列收敛的必要条件；（3）（常数）；（）；（）；（4）等差数列的求和公式或.（5）等比数列的前项和公式.3、单调数列的概念对于数列，如果满足条件，则称数列为单调增加数列；如果满足条件，则称数列为单调减少数列.单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列.定理（单调有界准则） 单调有界数列必有极限. 二、函数极限1、时，函数的极限（1）概念定义 如果当时，函数无限趋近于某个确定的常数，则称常数为函数当时的极限，记作：或（）.注释：（1）是指的绝对值无限增大，它包含以下两种情况：取正值并无限增大，记作：；取负值且其绝对值无限增大，记作：.（2）如果和两种情况都存在且函数的极限值相等时，则可合并写成.定义 如果当时，函数无限趋近于某个确定的常数，则称常数为函数当时的极限，记作：或（）.如果当时，函数无限趋近于某个确定的常数，则称常数为函数当时的极限，记作：或（）.（2）函数在时极限存在的充要条件定理 极限存在的充要条件是且.如：由于，所以，故极限不存在；又如：由于，即不存在，故极限不存在.2、时，函数的极限（1）函数在时的极限概念定义 设函数在的某个去心邻域内有定义，如果当时，函数无限地趋近于某一确定的常数，则称为函数当时的极限，记作：或（）.注释：表示趋近于，含以下两种情况：（1）从大于的一侧（即右侧）趋近于，记作：；（2）从大于的一侧（即右侧）趋近于，记作：.（2）函数左极限与右极限的概念定义 设函数在的某个左侧邻域（）内有定义，如果当从的左侧趋近于（记作：）时，函数无限地趋近于某一确定的常数，则称为函数当时的极限，记作：或或.设函数在的某个右侧邻域（）内有定义，如果当从的右侧趋近于（记作：）时，函数无限地趋近于某一确定的常数，则称为函数当时的极限，记作：或或.（3）函数在时极限存在的充要条件定理 极限存在的充要条件是且.注释：该定理主要用来判定分段函数在分段点处极限是否存在的重要定理.（4）几个常用极限，（常数），.（5）初等函数的极限基本初等函数在定义域内任一点的极限等于该点的函数值；初等函数在定义区间内任一点的极限等于该点的函数值.3、函数极限的性质（1）唯一性：若极限存在，则它的极限必唯一；（2）局部有界性：若存在，则和，当时，有；（3）保序性：设，（）若，则，当时，有；（）若当时，有，则.（4）保号性：若（或0），则必，当时，有（或）若（或），且，则（或）.注释：上述的变化趋势，可以换成，若,且，则是错误的，如，但1.3 极限的运算法则若，都存在，则（1）；（2），特别地；（3），其中；（4）；（5）其中且不等于1，特别地（为实数）. 注释：法则（1）（2）可以推广到有限个函数.时有理分式极限的求法设是有理分式，其中，.（1）若，则；（2）若，而，则；（3）若且，则与一定有公因子，将与因式分解，约去公因式后再计算极限.时有理分式极限的求法其中，.无理分式极限的求法：先分子或分母有理化，在计算极限“”型有理分式的求法：先通分，再求极限.1.4 极限存在准则及两个重要极限一、极限存在准则夹逼定理：如果对于的去心邻域内的一切都有，且，则有.二、两个重要极限1、，一般的，表示任一函数，即；2、，一般的，表示任一函数，即，.1.5 无穷小量与无穷大量、无穷小的比较一、无穷小量1、无穷小量的概念若（或），则称是（或）时的无穷小量，简称无穷小；2、极限与无穷小量的关系，其中是时的无穷小量.是（或）时的无穷小量.3、无穷小量的性质（1）有限个无穷小量的和、差、积仍然是无穷小量，（2）有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。二、无穷大量1、无穷大量的概念如果当（或）时，函数的绝对值无限增大，则称函数为（或）时的无穷大量，简称无穷大，记作：.2、无穷大与无穷小的关系在自变量的同一变化过程中，如果是无穷大量，则是无穷小量；如果是无穷小量且，则是无穷大量。三、无穷小量的比较1、无穷小比较的概念设，则若，则称是的高阶无穷小量，记：；若，则称与是等价无穷小量，记：；若，则称与都是同阶无穷小量；若，称是的阶无穷小量；若，称是的低阶无穷小量.注释：在无穷小的比较中，是在自变量相同变化趋势下的无穷小量.无穷小量的比较只是定性的，即只有阶的高低之别，没有数量上的关系.不是任何无穷小量都能比较其阶的高低的，如：当时，都是无穷小量，但不存在，不能比较其阶的高低.2、几个常用的等价无穷小量当时，有下列无穷小等价，, , , , .3、等价无穷小替换定理若，则.注释：在求极限时，整个式子的分子或分母必须整体替换，不能分子或分母分项替换，即在分子或分母是和，差的情况不能替换，只能替换乘积中的无穷小量.等价无穷小量具有传递性（变化趋势必须相同，）它们都是互相等价的.1.6 函数的连续性及闭区间上连续函数的性质 一、函数在点的连续性1、函数在点的连续性概念定义 设函数在点及其附近有定义，如果，则称函数在点连续 .定义 设函数在点及其附近有定义，如果，则称函数在点连续 . 注释：（1）函数在点处连续必须满足三个条件：函数在点及其附近有定义；极限存在；极限的值等于函数在点处的函数值. （2）判断函数在某个具体的点是否连续，特别是判断分段函数在分段点是否连续，一般利用来完成 .2、左、右连续的定义若在点的左邻域内有定义，且，则称在点左连续 .若在点的右邻域内有定义，且，则称在点右连续 .3、函数在点连续的充要条件函数在点处连续的充要条件是：在点既左连续又右连续 .注释：该定理主要用来讨论分段函数在分段点处的连续性.二、函数在区间上的连续性概念若对在点都连续，则称在开区间上连续；若在开区间上连续，且在点右连续，在点左连续，则称在闭区间上连续 .三、连续函数的性质1、连续函数的四则运算若函数，在点都连续，则也都在点也连续 .2、复合函数的连续性：若在点连续，而在点连续，则复合函数在点也连续，且有 3、反函数的连续性：若函数在区间I上严格单调且连续，则其反函数也在相应的区间上严格单调且连续 .4、初等函数的连续性一切基本初等函数在其定义域内都是连续的；一切初等函数在其定义区间上都是连续的 .注释：初等函数在其定义域内不一定连续，即只有在定义域构成的区间上连续，如：的定义域为，它在定义域内的任何一点都不连续 .四、函数的间断点及其分类1、函数间断点的定义若函数在点的去心邻域内有定义，但在点无定义或在点有定义而不连续（即在有定义，但不存在或虽然存在但不等于），则称在点不连续，点称为的间断点 .2、间断点的分类间断点分为两类：第一类间断点和第二类间断点 .（）第一类间断点：和都存在 .1）若（或在点无定义），称为可去间断