高考数学大一轮复习第六章数列6_4数列求和课件文新人教版

6.4 数列求和 基础知识 自主学习 课时作业 题型分类 深度剖析 内容索引 基础知识 自主学习 1.等差数列的前n项和公式 知识梳理 2.等比数列的前n项和公式 (2)13572n1 . (3)24682n . 3.一些常见数列的前n项和公式 n(n1) n2 数列求和的常用方法 (1)公式法 等差、等比数列或可化为等差、等比数列的可直接使用公式求和. (2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列， 再求解. (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项. 知识拓展 (4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程 的推广. (5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和 ，即等比数列求和公式的推导过程的推广. (6)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an (1)nf(n)类型，可采用两项合并求解. 例如，Sn10029929829722212(10099)(9897) (21)5 050. 判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) 思考辨析 (3)求Sna2a23a3nan之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得. ( ) (5)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得 sin21sin22sin23sin288sin28944.5. ( ) 1.(2017阳泉质检)已知数列an的前n项和为Sn，并满足an22an1 an，a54a3，则S7等于 A.7 B.12 C.14 D.21 考点自测 答案解析 由an22an1an知数列an为等差数列，由a54a3，得a5a34 a1a7， 所以S7 14. A.2 016 B.2 017 C.2 018 D.2 019 答案解析 Sna1a2an 3.数列an的通项公式为an(1)n1(4n3)，则它的前100项之和S100 等于 A.200 B.200 C.400 D.400 答案解析 S100(413)(423)(433)(41003) 4(12)(34)(99100)4(50)200. 4.若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和Sn _. 答案解析2n12n2 答案解析 1 008 因为数列anncos 呈周期性变化，观察此数列规律如下： a10，a22，a30，a44. 故S4a1a2a3a42. a50，a66，a70，a88， 故a5a6a7a82，周期T4. S2 017S2 016a2 017 1 008. 题型分类 深度剖析 题型一 分组转化法求和 解答 当n1时，a1S11； a1也满足ann， 故数列an的通项公式为ann. (2)设bn2 (1)nan，求数列bn的前2n项和. 解答 由(1)知ann，故bn2n(1)nn. 记数列bn的前2n项和为T2n， 则T2n(212222n)(12342n). 记A212222n，B12342n， 则A 22n12， B(12)(34)(2n1)2nn. 故数列bn的前2n项和T2nAB22n1n2. 引申探究 本例(2)中，求数列bn的前n项和Tn. 解答 由(1)知bn2n(1)nn. 当n为偶数时， Tn(21222n)1234(n1)n 当n为奇数时，Tn(21222n)1234(n2) (n1)n 思维升华 分组转化法求和的常见类型 (1)若anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求 an的前n项和. 提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差 ，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论. 跟踪训练1 已知数列an的通项公式是an23n1(1)n(ln 2ln 3) (1)nnln 3，求其前n项和Sn. 解答 Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3) 123(1)nnln 3， 所以当n为偶数时， 当n为奇数时， 题型二 错位相减法求和 例2 (2016山东)已知数列an的前n项和Sn3n28n，bn是等差数 列，且anbnbn1. (1)求数列bn的通项公式；解答 由题意知，当n2时，anSnSn16n5， 当n1时，a1S111，满足上式，所以an6n5. 解答 又Tnc1c2cn， 得Tn3222323(n1)2n1， 2Tn3223324(n1)2n2. 两式作差，得Tn322223242n1(n1)2n2 所以Tn3n2n2. 思维升华 错位相减法求和时的注意点 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐” 以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式； (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等 于1和不等于1两种情况求解. 跟踪训练2 设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列bn 的公比为q，已知b1a1，b22，qd，S10100. (1) 求数列an，bn的通项公式； 解答 解答 由d1，知an2n1，bn2n1， 可得 题型三 裂项相消法求和 例3 (2015课标全国)Sn为数列an的前n项和.已知an0， 2an 4Sn3. (1)求an的通项公式；解答 所以an是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an2n 1. 解答 由an2n1可知 设数列bn的前n项和为Tn，则 答案解析 则 f (x) . 思维升华 解答 anSnSn1 (n2)， 即2Sn1SnSn1Sn， 由题意得Sn1Sn0， 解答 四审结构定方案 审题路线图系列 审题路线图规范解答 返回 ，得 Tn4. 12分 返回 课时作业 12345678910 11 12 13 答案 解析 12345678910 11 12 13 2.(2016西安模拟)设等比数列an的前n项和为Sn，已知a12 016，且 an2an1an20(nN*)，则S2 016等于 A.0 B.2 016 C.2 015 D.2 014 答案解析 an2an1an20(nN*)， an2anqanq20，q为等比数列an的公比， 即q22q10，q1.an(1)n12 016， S2 016(a1a2)(a3a4)(a2 015a2 016)0. 12345678910 11 12 13 3.等差数列an的通项公式为an2n1，其前n项和为Sn，则数列 的前 10项的和为 A.120 B.70 C.75 D.100 答案解析 12345678910 11 12 13 4.在数列an中，若an1(1)nan2n1，则数列an的前12项和等 于 A.76 B.78 C.80 D.82 答案解析 由已知an1(1)nan2n1， 得an2(1)n1an12n1，得an2an(1)n(2n1)(2n1)， 取n1,5,9及n2,6,10，结果相加可得S12a1a2a3a4a11 a1278.故选B. 12345678910 11 12 13 若n为偶数，则anf(n)f(n1)n2(n1)2(2n1)，所以an是首 项为a25，公差为4的等差数列；若n为奇数，则anf(n)f(n1) n2(n1)22n1，所以an是首项为a13，公差为4的等差数列. 所以a1a2a3a100(a1a3a99)(a2a4a100) 503 450(5) (4)100. 5.已知函数f(n)n2cos(n)，且anf(n)f(n1)，则a1a2a3 a100等于 A.100 B.0 C.100 D.10 200 答案解析 12345678910 11 12 13 6.设数列an的通项公式为an2n7，则|a1|a2|a15|等于 A.153 B.210 C.135 D.120 答案 解析 从第4项开始大于0， |a1|a2|a15|a1a2a3a4a5a15531 13(2157)9 153. 12345678910 11 12 13 答案解析120 12345678910 11 12 13 8.在等差数列an中，a10，a10a110，若此数列的前10项和S1036 ，前18项和S1812，则数列|an|的前18项和T18的值是_. 60 由a10，a10a110可知d0，a100，a110， T18a1a10a11a18 S10(S18S10)60. 答案解析 12345678910 11 12 13 答案解析 12345678910 11 12 13 Sna1a2a3an1an 12345678910 11 12 13 答案解析2n26n 12345678910 11 12 13 an4(n1)2. 当n1时，a1适合an. 12345678910 11 12 13 11.已知数列an中，a13，a25，且an1是等比数列. (1)求数列an的通项公式； 解答 an1是等比数列且a112， an122n12n，an2n1. 12345678910 11 12 13 (2)若bnnan，求数列bn的前n项和Tn. 解答 12345678910 11 12 13 bnnann2nn， 故Tnb1b2b3bn(2222323n2n)(123 n). 令T2222323n2n， 则2T22223324n2n1. 两式相减，得T222232nn2n1 12345678910 11 12 13 T2(12n)n2n12(n1)2n1. 12345678910 11 12 13 解答 设数列an的公比为q. 12345678910 11 12 13 解得q2或q1. 12345678910 11 12 13 解答 12345678910 11 12 13 12345678910 11 12 13 *13.已知数列an与bn，若a13且对任意正整数n满足