高考数学大一轮复习 第十一章 统计与统计案例 11_3 变量间的相关关系、统计案例试题 理 北师大版

我们在这里，召开私营企业家联谊会，借此机会，我代表成都市渝中工商局、渝中区私营企业协会，祝各位领导新年快乐、工作愉快、身体健康，祝各位企业家事业兴旺第十一章 统计与统计案例 11.3 变量间的相关关系、统计案例试题 理 北师大版1相关性(1)通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图(2)从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样近似的过程称为曲线拟合(3)若两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关的，若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，则称此相关是非线性相关的如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的2线性回归方程(1)最小二乘法如果有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，可以用y1(abx1)2y2(abx2)2yn(abxn)2来刻画这些点与直线yabx的接近程度，使得上式达到最小值的直线yabx就是所要求的直线，这种方法称为最小二乘法(2)线性回归方程方程ybxa是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)的线性回归方程，其中a，b是待定参数3回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法(2)样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)中，(，)称为样本点的中心(3)相关系数r；当r0时，表明两个变量正相关；当r2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；当23.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；当26.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系()(2)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系()(3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值()(4)某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x()之间的关系，得回归方程y2.352x147.767，则气温为2时，一定可卖出143杯热饮()(5)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的2越大()(6)由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩优秀与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀()1(2015湖北)已知变量x和y满足关系y0.1x1，变量y与z正相关下列结论中正确的是()Ax与y正相关，x与z负相关Bx与y正相关，x与z正相关Cx与y负相关，x与z负相关Dx与y负相关，x与z正相关答案C解析因为y0.1x1，0.10)，所以z0.1bxba，0.1b3.841,3.841对应的是0.05，所以根据独立性检验原理可知有95%的把握认为用电脑时间与视力下降有关系.题型一相关关系的判断例1(1)四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得线性回归方程，分别得到以下四个结论：y与x负相关且y2.347x6.423；y与x负相关且y3.476x5.648；y与x正相关且y5.437x8.493；y与x正相关且y4.326x4.578.其中一定不正确的结论的序号是()A BC D(2)x和y的散点图如图所示，则下列说法中所有正确命题的序号为_x，y是负相关关系；在该相关关系中，若用yc1拟合时的相关系数的平方为r，用ybxa拟合时的相关系数的平方为r，则rr；x、y之间不能建立线性回归方程答案(1)D(2)解析(1)由线性回归方程ybxa知当b0时，y与x正相关，当b0时，正相关；r0时，正相关；b6.635，所以有99%的把握认为抽样员工对待企业改革的态度与工作积极性有关，从而认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性有关思维升华(1)比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法通过计算2的大小判断：2越大，两变量有关联的可能性越大通过计算|adbc|的大小判断：|adbc|越大，两变量有关联的可能性越大(2)独立性检验的一般步骤根据样本数据制成22列联表根据公式2计算2.比较2与临界值的大小关系，作出统计推断(2016衡阳联考)2016年9月20日是第28个全国爱牙日，为了迎接此节日，某地区卫生部门成立了调查小组，调查“常吃零食与患龋齿的关系”，对该地区小学六年级800名学生进行检查，按患龋齿和不患龋齿分类，并汇总数据：不常吃零食且不患龋齿的学生有60名，常吃零食但不患龋齿的学生有100名，不常吃零食但患龋齿的学生有140名(1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为该地区学生常吃零食与患龋齿有关系？(2)4名卫生部门的工作人员随机分成两组，每组2人，一组负责数据收集，另一组负责数据处理，求工作人员甲分到收集数据组，工作人员乙分到处理数据组的概率附：2P(2k0)0.0100.0050.001k06.6357.87910.828解(1)由题意可得22列联表如下：不常吃零食常吃零食总计不患龋齿60100160患龋齿140500640总计200600800根据22列联表中数据，得216.66710.828.能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为该地区学生常吃零食与患龋齿有关系(2)设其他工作人员为丙和丁，4人分组的所有情况如下表.小组123456收集数据甲乙甲丙甲丁乙丙乙丁丙丁处理数据丙丁乙丁乙丙甲丁甲丙甲乙由表可知，分组的情况共有6种，工作人员甲负责收集数据且工作人员乙负责处理数据的有2种，故工作人员甲分到收集数据组，工作人员乙分到处理数据组的概率为P.24求线性回归方程的方法技巧典例(12分)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份20062008201020122014需求量/万吨236246257276286(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的线性回归方程ybxa；(2)利用(1)中所求出的线性回归方程预测该地2016年的粮食需求量思想方法指导回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组统计数据，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)求出线性回归方程规范解答解(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间近似直线上升，下面来求线性回归方程，先将数据处理如下表.年份201042024需求257211101929对处理的数据，容易算得0，3.2，4分b6.5，ab 3.2.6分由上述计算结果，知所求线性回归方程为y2576.5(x2010)3.2，即y6.5(x2010)260.2.8分(2)利用所求得的线性回归方程，可预测2016年的粮食需求量大约为6.5(20162010)260.26.56260.2299.2(万吨)12分1(2016衡水质检)具有线性相关关系的变量x，y满足一组数据如下表所示若y与x的线性回归方程为y3x，则m的值是()x0123y11m8A.4 B. C5 D6答案A解析由已知得，2，又因为点(，)在直线y3x上，所以23，得m4.2(2017武汉质检)根据如下样本数据x345678y4.02.50.50.52.03.0得到的回归方程为ybxa，则()Aa0，b0 Ba0，b0Ca0 Da0，b0答案B解析作出散点图如下：观察图像可知，回归直线ybxa的斜率b0.故a0，b0.3(2017泰安质检)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的A班和文史类专业的B班各抽取20名同学参加环保知识测试统计得到成绩与专业的列联表：优秀非优秀总计A班14620B班71320总计211940附：参考公式及数据：(1)统计量：2(nabcd)(2)独立性检验的临界值表：P(2k0)0.0500.010k03.8416.635则下列说法正确的是()A有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关B有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关C有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关D有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关答案C解析因为24.912，38412b，aa Bbb，aaCba Dbb，aa答案C解析b2，a2，由公式b，求得b，ab，ba.5有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：优秀非优秀总计甲班10b乙班c30合计附：P(2k0)0.050.0250.0100.005k03.8415.0246.6357.879已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是()A列联表中c的值为30，b的值为35B列联表中c的值为15，b的值为50C根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”D根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”答案C解析由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c20，b45，选项A、B错误根据列联表中的数据，得到26.1095.024，因此有97.5%的把握认为“成绩与班级有关系”6(2016合肥二模)某市居民20102014年家庭年平均收入x(单位：万元)与年平均支出y(单位：万元)的统计资料如下表所示：年份20102011201220132014收入x11.512.11313.315支出y6.88.89.81012根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是_，家庭年平均收入与年平均支出有_相关关系(填“正”或“负”)答案13正解析中位数是13.由相关性知识，根据统计资料可以看出，当年平均收入增多时，年平均支出也增多，因此两者之间具有正相关关系7以下四个命题，其中正确的序号是_从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；在线性回归方程y0.2x12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量y平均增加0.2个单位；对分类变量X与Y的统计量2来说，2越小，“X与Y有关系”的把握程度越大答案解析是系统抽样；对于，统计量2越小，说明两个相关变量有关系的把握程度越小8(2016长春模拟)在一次考试中，5名学生的数学和物理成绩如下表：(已知学生的数学和物理成绩具有线性相关关系)学生的编号i12345数学成绩x8075706560物理成绩y7066686462现已知其线性回归方程为y0.36xa，则根据此线性回归方程估计数学得90分的同学的物理成绩为_(四舍五入到整数)答案73解析70，66，所以660.3670a，a40.8，即线性回归方程为y0.36x40.8.当x90时，y0.369040.873.273.9某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在29.94,30.06)的零件为优质品从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：甲厂：分组29.86，29.90)29.90，29.94)29.94，29.98)29.98，30.02)30.02，30.06)30.06，30.10)30.10，30.14频数12638618292614乙厂：分组29.86，29.90)29.90，29.94)29.94，29.98)29.98，30.02)30.02，30.06)30.06，30.10)30.10，30.14频数297185159766218(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；(2)由以上统计数据填下面22列联表，问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”？甲厂乙厂合计优质品非优质品合计附P(2k0)0.050.01k03.8416.635解(1)甲厂抽查的500件产品中有360件优质品，从而估计甲厂生产的零件的优质品率为100%72%；乙厂抽查的500件产品中有320件优质品，从而估计乙厂生产的零件的优质品率为100%64%.(2)完成的22列联表如下：甲厂乙厂合计优质品360320680非优质品140180320合计5005001 000由表中数据计算得27.3536.635，所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”10(2016江西南昌二中模拟)为了研究某种细菌随时间x变化的繁殖个数y，收集数据如下：天数x/天123456繁殖个数y/个612254995190(1)用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图，根据散点图判断yabx与yc1哪一个作为繁殖个数y关于时间x变化的回归方程类型为最佳；(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)中判断的最佳类型及表中的数据，建立y关于x的回归方程. (xi)2 (xi)(yi) (xi)(z