高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数i 2_6 对数与对数函数教师用书 理 苏教版

为深入贯彻落实党的十九大精神和习近平总书记的重要指示精神，保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础，束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神，强化措施，深入扎实开展扫黑除恶专项斗争第二章 函数概念与基本初等函数I 2.6 对数与对数函数教师用书 理 苏教版1.对数的概念一般地，如果a (a0，a1)的b次幂等于N，即abN，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaNb，N叫做真数.2.对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a0，且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM (nR).(2)对数的性质 N ；logaaN N (a0且a1).(3)对数的换底公式logaN(其中a0，a1；N0，c0，c1).3.对数函数的图象与性质a10a1时，y0当0x1时，y1时，y0当0x0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数4.反函数指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数，它们的图象关于直线 yx 对称.【知识拓展】1.换底公式的两个重要结论(1)logab；(2)logab.其中a0且a1，b0且b1，m，nR.2.对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0cd1a0，则loga(MN)logaMlogaN.()(2)logaxlogayloga(xy).()(3)函数ylog2x及y3x都是对数函数.()(4)对数函数ylogax(a0且a1)在(0，)上是增函数.()(5)函数yln与yln(1x)ln(1x)的定义域相同.()(6)对数函数ylogax(a0且a1)的图象过定点(1，0)且过点(a，1)，函数图象只在第一、四象限.()1.(教材改编)的值为 .答案解析原式.2.(2016常州期末)函数f(x)log2(x22)的值域为 .答案(，解析由题意可得x220，即x22(0，2，故所求函数的值域为(，.3.(2016课标全国改编)若ab0，0c1，则logca与logcb的大小关系为 .答案logcalogcb解析0cb0，logca0，得x1.5.(教材改编)若loga0且a1)，则实数a的取值范围是 .答案(1，)解析当0a1时，logalogaa1，0a1时，loga1.实数a的取值范围是(1，).题型一对数的运算例1计算下列各式：(1)lg 25lg 2lg lg(0.01)1；(2)2log32log3log383log55.解(1)原式lglg(52102)lg .(2)原式log322log3(3225)log3233log3(22322523)3log3323231.思维升华对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并.(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.(1)若alog43，则2a2a .(2)2(lg)2lg lg 5 .答案(1)(2)1解析(1)alog433log23log2，2a2a.(2)原式2(lg 2)2lg 2lg 5lg 2(lg 2lg 5)1lg 2lg 21lg 21.题型二对数函数的图象及应用例2(1)已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，a1)的图象如图，则下列结论成立的是 .a1，c1; a1，0c1；0a1; 0a1，0c1.(2)(2016宿迁模拟)当0x时，4xlogax，则a的取值范围是 .答案(1)(2)(，1)解析(1)由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，0a1，图象与x轴的交点在区间(0，1)之间，该函数的图象是由函数ylogax的图象向左平移不到1个单位后得到的，0c1时不满足条件，当0a1时，画出两个函数在(0，上的图象，可知f()g()，即2，所以a的取值范围为(，1).思维升华(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.(1)若函数ylogax(a0且a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是 .(2)已知f(x)|lg x|，若ab1，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系是 .答案(1)(2)f(c)f(a)f(b)解析(1)由题意ylogax(a0且a1)的图象过(3，1)点，可解得a3.中，y3x()x，显然图象错误；中，yx3，由幂函数图象性质可知正确；中，y(x)3x3，显然与所画图象不符；中，ylog3(x)的图象与ylog3x的图象关于y轴对称，显然不符.(2)先作出函数ylg x的图象，再将图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方，这样，我们便得到了y|lg x|的图象，如图. 由图可知，f(x)|lg x|在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，于是f()f(a)f(b)，而f()|lg |lg c|lg c|f(c).所以f(c)f(a)f(b).题型三对数函数的性质及应用命题点1比较对数值的大小例3(2015天津改编)已知定义在R上的函数f(x)2|xm|1(m为实数)为偶函数，记af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则a，b，c的大小关系为 .答案cab解析由f(x)2|xm|1是偶函数可知m0，所以f(x)2|x|1.所以af(log0.53)12，bf(log25)114，cf(0)2|0|10，所以cab.命题点2解对数不等式例4(1)若logaf(a)，则实数a的取值范围是 .答案(1)(0，)(1，)(2)(1，0)(1，)解析(1)当a1时，函数ylogax在定义域内为增函数，所以logalogaa总成立.当0a1时，函数ylogax在定义域内是减函数，由logalogaa，得a，故0a1或1a0且a1，设t(x)3ax，则t(x)3ax为减函数，x0，2时，t(x)的最小值为32a，当x0，2时，f(x)恒有意义，即x0，2时，3ax0恒成立.32a0，a0且a1，a的取值范围为(0，1).(2)t(x)3ax，a0，函数t(x)为减函数.f(x)在区间1，2上为减函数，ylogat为增函数，a1，x1，2时，t(x)的最小值为32a，f(x)的最大值为f(1)loga(3a)，即故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1，2上为减函数，并且最大值为1.思维升华(1)对数值大小比较的主要方法化同底数后利用函数的单调性；化同真数后利用图象比较；借用中间量(0或1等)进行估值比较.(2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题.(1)设函数f(x)则满足f(x)2的x的取值范围是 .(2)若f(x)lg(x22ax1a)在区间(，1上递减，则a的取值范围为 .答案(1)0，)(2)1，2)解析(1)当x1时，21x2，解得x0，所以0x1；当x1时，1log2x2，解得x，所以x1.综上可知x0.(2)令函数g(x)x22ax1a(xa)21aa2，对称轴为xa，要使函数在(，1上递减，则有即解得1ab0，0c1，则下列不等式正确的是 .logaclogbc; logcalogcb；accb.(2)(2016南京模拟)若a20.3，blog3，clog4cos 100，则a，b，c的大小关系为 .(3)若实数a，b，c满足loga2logb2logc2，则下列关系中不可能成立的是 .abc；bac；cba；acb.解析(1)对：logac，logbc，因为0c1，所以lg cb0，所以lg alg b，但不能确定lg a、lg b的正负，所以它们的大小不能确定，所以错；对：logca，logcb，而lg alg b，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以正确；对：由yxc在第一象限内是增函数，即可得到acbc，所以错；对：由ycx在R上为减函数，得ca201，0log1log3log1，log4cos 100bc.(3)由loga2logb2logc2的大小关系，可知a，b，c有如下四种可能：1cba；0a1cb；0ba1c；0cbabc(3)1.(教材改编)给出下列4个等式：log2533log25；log2535log23；log84；4.其中正确的等式是 .(写出所有正确的序号)答案解析中log23，故不正确，都正确.2.设alog37，b21.1，c0.83.1，则a，b，c的大小关系为 .答案cab解析alog37，1a2.c0.83.1，0c1.即ca0，a1)在区间(， )内恒有f(x)0，则f(x)的单调递增区间为 .答案(0，)解析令Mx2x，当x(，)时，M(1，)，f(x)0，所以a1，所以函数ylogaM为增函数，又M(x)2，因此M的单调递增区间为(，).又x2x0，所以x0或xb1.若logablogba，abba，则a ，b .答案42解析令logabt，ab1，0t0，则实数a的取值范围是 .答案(，1)解析当0a0，即0a1，解得a，故a1时，函数f(x)在区间，上是增函数，所以loga(1a)0，即1a1，解得a0时，f(x)lg lg lg(x)，令t(x)x，x0，则t(x)1，可知当x(0，1)时，t(x)0，t(x)单调递增，即在x1处取得最小值为2.由偶函数的图象关于y轴对称及复合函数的单调性可知错误，正确，正确，故答案为.11.(2016镇江期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)1log2x，则不等式f(x)0的解集是 .答案(2，0)(2，)解析当x0时，f(x)f(x)log2(x)1， f(x)0，即log2(x)10，解得2x0时，f(x)1log2x，f(x)0，即1log2x2，综上，不等式f(x)2，n1，由基本不等式得()24(当且仅当m2n12，即m4，n3时等号成立)，从而mn7.故mn的最小值是7.*13.已知函数f(x)32log2x，g(x)log2x.(1)当x1，4时，求函数h(x)f(x)1g(x)的值域；(2)如果对任意的x1，4，不等式f(x2)f()kg(x)恒成立，求实数k的取值范围.解(1)h(x)(42log2x)log2x2(log2x1)22，因为x1，4，所以log2x0，2，故函数h(x)的值域为0，2.(2)由f(x2)f()kg(x)，得(34log2x)(3log2x)klog2x，令tlog2x，因为x1，4，所以tlog2x0，2，所以(34t)(3t)kt对一切t0，2恒成立，当t0时，kR；当t(0，2时，k恒成立，即kln 恒成立，求实数m的取值范围.解(1)由0，解得x1，函数f(x)的定义域为(，1)(1，)，当x(，1)(1，)时，f(x)ln ln ln()1ln f(x)，f(x)ln 是奇函数.(2)由于x2，6时，f(x)ln ln