高考数学一轮复习 第6章 不等式及其证明 第5节 直接证明与间接证明教师用书

为深入贯彻落实党的十九大精神和习近平总书记的重要指示精神，保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础，束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神，强化措施，深入扎实开展扫黑除恶专项斗争第五节直接证明与间接证明1直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件思维过程由因导果执果索因框图表示书写格式因为，所以或由，得要证，只需证，即证2.间接证明反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(3)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾()(4)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程()答案(1)(2)(3)(4)2要证明2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是()A综合法B分析法C反证法D归纳法B要证明b，则与的大小关系是_0，.5(教材改编)在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则ABC的形状为_三角形等边由题意2BAC，又ABC，B，又b2ac，由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac，AC，ABC，ABC为等边三角形综合法已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，ACBDP，A1C1EFQ.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线证明(1)如图所示，因为EF是D1B1C1的中位线，所以EFB1D1.2分在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1D1BD，所以EFBD，4分所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面.6分(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，设平面A1ACC1确定的平面为，又设平面BDEF为.因为QA1C1，所以Q.又QEF，所以Q，则Q是与的公共点.10分同理，P点也是与的公共点.13分所以PQ.又A1CR，所以RA1C，则R且R，则RPQ，故P，Q，R三点共线.15分规律方法综合法是“由因导果”的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，常与分析法结合使用，用分析法探路，综合法书写，但要注意有关定理、性质、结论题设条件的正确运用变式训练1已知函数f(x)ln(1x)，g(x)abxx2x3，函数yf(x)与函数yg(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)g(x). 【导学号：51062204】解(1)f(x)，g(x)bxx2，2分由题意得解得a0，b1.7分(2)证明：令h(x)f(x)g(x)ln(x1)x3x2x(x1)h(x)x2x1.12分所以h(x)在(1,0)上为增函数，在(0，)上为减函数h(x)maxh(0)0，h(x)h(0)0，即f(x)g(x).15分分析法已知a0，求证：a2.证明要证a2，只需要证2a.4分因为a0，故只需要证22，即a244a2222，10分从而只需要证2，只需要证42，即a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立.15分规律方法1.当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法2分析法的特点和思路是“执果索因”，逐步寻找结论成立的充分条件，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，通常采用“欲证只需证已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范性变式训练2已知ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：.证明要证，即证3，也就是1，3分只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证c2a2acb2，8分又ABC三内角A，B，C成等差数列，故B60，由余弦定理，得b2c2a22accos 60，13分即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立于是原等式成立.15分反证法设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列解(1)设an的前n项和为Sn，当q1时，Sna1a1a1na1；当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sn，Sn7分(2)证明：假设an1是等比数列，则对任意的kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1.12分a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，这与已知矛盾假设不成立，故an1不是等比数列.15分规律方法用反证法证明问题的步骤：(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立；(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾，矛盾可以是与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立(命题成立)变式训练3已知a1，求证三个方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一个方程有实根. 【导学号：51062205】证明假设三个方程都没有实数根，则8分a1.13分这与已知a1矛盾，所以假设不成立，故原结论成立.15分思想与方法1综合法与分析法的关系：分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找到解题思路，再运用综合法证明；或两种方法交叉使用2反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立反证法证明的关键：准确反设；从否定的结论正确推理；得出矛盾易错与防范1用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即要证”“就要证”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立2利用反证法证明数学问题时，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的课时分层训练(三十四)直接证明与间接证明A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1下列表述：综合法是由因导果法；综合法是顺推法；分析法是执果索因法；分析法是逆推法；反证法是间接证法其中正确的个数有()A2个B3个C4个D5个D由分析法、综合法、反证法的定义知都正确2用反证法证明命题：若整数系数的一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理实数根，则a，b，c中至少有一个是偶数下列假设中正确的是()A假设a，b，c至多有一个是偶数B假设a，b，c至多有两个偶数C假设a，b，c都是偶数D假设a，b，c都不是偶数D“至少有一个”的否定为“一个都没有”，即假设a，b，c都不是偶数3若a，b，c为实数，且ab0，则下列命题正确的是()Aac2abb2C.Ba2aba(ab)，ab0，ab0，a2ab.又abb2b(ab)0，abb2，由得a2abb2.4分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设abc，且abc0，求证0Bac0C(ab)(ac)0D(ab)(ac)0C由题意知ab2ac3a2(ac)2ac3a2a22acc2ac3a202a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.5设x，y，z0，则三个数，()A都大于2B至少有一个大于2C至少有一个不小于2D至少有一个不大于2C因为x0，y0，z0，所以6，当且仅当xyz时等号成立，则三个数中至少有一个不小于2.二、填空题6用反证法证明“若x210，则x1或x1”时，应假设_x1且x1“x1或x1”的否定是“x1且x1”7设ab0，m，n，则m，n的大小关系是_. 【导学号：51062206】mn法一(取特殊值法)：取a2，b1，得mn.法二(分析法)：a0，显然成立8下列条件：ab0，ab0，b0，a0，b0，且0，即a，b不为0且同号即可，故有3个三、解答题9已知ab0，求证：2a3b32ab2a2b. 【导学号：51062207】证明要证明2a3b32ab2a2b成立，只需证：2a3b32ab2a2b0，即2a(a2b2)b(a2b2)0，即(ab)(ab)(2ab)0.10分ab0，ab0，ab0,2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0成立，2a3b32ab2a2b.15分10.(2017宁波镇海中学)如图651，四棱锥SABCD中，SD底面ABCD，ABDC，ADDC，ABAD1，DCSD2，M，N分别为SA，SC的中点，E为棱SB上的一点，且SE2EB.图651(1)证明：MN平面ABCD；(2)证明：DE平面SBC.证明(1)连接AC，M，N分别为SA，SC的中点，MNAC，又MN平面ABCD，AC平面ABCD，MN平面ABCD.7分(2)连接BD，BD212122，BC212(21)22，BD2BC2224DC2，BDBC.又SD底面ABCD，BC底面ABCD，SDBC，SDBDD，BC平面SDB.10分DE平面SDB，BCDE.又BS，当SE2EB时，EB，在EBD与DBS中，.13分又EBDDBS，EBDDBS，DEBSDB90，即DEBS，BSBCB，DE平面SBC.15分B组能力提升(建议用时：15分钟)1已知函数f(x)x，a，b是正实数，Af，Bf()，Cf，则A，B，C的大小关系为()AABCBACBCBCADCBAA，又f(x)x在R上是减函数ff()f，即ABC.2在不等边三角形ABC中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论，三边a，b，c应满足_a2b2c2由余弦定理cos A0，得b2c2a2b2c2.3若f(x)的定义域为a，b，值域为a，b(a2)，使函数h(x)是区间a，b上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由. 【导学号：51062208】解(1)由题设得g(x)(x1)21，其图象的对称轴为x1，区间1，b在对称轴的右边，所以函数在区间1，b上单调递增.2分由“四维光军”函数的定义可知，g(1)1