高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 8_5 直线、平面垂直的判定与性质教师用书

为深入贯彻落实党的十九大精神和习近平总书记的重要指示精神，保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础，束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神，强化措施，深入扎实开展扫黑除恶专项斗争（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 8.5 直线、平面垂直的判定与性质教师用书1直线与平面垂直(1)定义如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面垂直(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab2.直线和平面所成的角(1)定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0的角(2)范围：0，3平面与平面垂直(1)二面角的有关概念二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角(2)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直l【知识拓展】重要结论：(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)(3)垂直于同一条直线的两个平面平行(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行()(3)直线a，直线b，则ab.()(4)若，aa.()(5)若直线a平面，直线b，则直线a与b垂直()1(教材改编)下列命题中不正确的是()A如果平面平面，且直线l平面，则直线l平面B如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面C如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D如果平面平面，平面平面，l，那么l答案A解析根据面面垂直的性质，知A不正确，直线l可能平行平面，也可能在平面内2设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析若，因为m，b，bm，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b，又a，所以ab；反过来，当am时，因为bm，且a，m共面，一定有ba，但不能保证b，所以不能推出.3(2016宝鸡质检)对于四面体ABCD，给出下列四个命题：若ABAC，BDCD，则BCAD；若ABCD，ACBD，则BCAD；若ABAC，BDCD，则BCAD；若ABCD，ACBD，则BCAD.其中为真命题的是()A B C D答案D解析如图，取BC的中点M，连接AM，DM，由ABACAMBC，同理DMBCBC平面AMD，而AD平面AMD，故BCAD.设A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO，由ABCDBOCD，由ACBDCOBDO为BCD的垂心DOBCADBC.4(教材改编)在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PAPBPC，则点O是ABC的_心(2)若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心答案(1)外(2)垂解析(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在RtPOA、RtPOB和RtPOC中，PAPCPB，所以OAOBOC，即O为ABC的外心(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G.PCPA，PBPC，PAPBP，PC平面PAB，AB平面PAB，PCAB，又ABPO，POPCP，AB平面PGC，又CG平面PGC，ABCG，即CG为ABC边AB的高同理可证BD，AH为ABC底边上的高，即O为ABC的垂心.题型一直线与平面垂直的判定与性质例1(2016全国甲卷改编)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB5，AC6，点E，F分别在AD，CD上，AECF，EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置OD.证明：DH平面ABCD.证明由已知得ACBD，ADCD.又由AECF得，故ACEF.因此EFHD，从而EFDH.由AB5，AC6得DOBO4.由EFAC得.所以OH1，DHDH3.于是DH2OH2321210DO2，故DHOH.又DHEF，而OHEFH，且OH，EF平面ABCD，所以DH平面ABCD.思维升华证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想(2016嵊州市高三质检) 在三棱锥ABCD中，AB平面BCD，DBDC4，BDC90，P在线段BC上，CP3PB，M，N分别为AD，BD的中点求证：BC平面MNP.证明因为MN是ABD的中位线，所以MNAB.又AB平面BCD，所以MN平面BCD，又因为BC平面BCD，所以MNBC.取BC的中点Q，连接DQ，则DQBC.由PN是BDQ的中位线知PNDQ，所以PNBC.由可得BC平面MNP.题型二平面与平面垂直的判定与性质例2如图，四棱锥PABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点(1)求证：CE平面PAD；(2)求证：平面EFG平面EMN.证明(1)方法一取PA的中点H，连接EH，DH.又E为PB的中点，所以EH綊AB.又CD綊AB，所以EH綊CD.所以四边形DCEH是平行四边形，所以CEDH.又DH平面PAD，CE平面PAD.所以CE平面PAD.方法二连接CF.因为F为AB的中点，所以AFAB.又CDAB，所以AFCD.又AFCD，所以四边形AFCD为平行四边形因此CFAD，又CF平面PAD，AD平面PAD，所以CF平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA.又EF平面PAD，PA平面PAD，所以EF平面PAD.因为CFEFF，故平面CEF平面PAD.又CE平面CEF，所以CE平面PAD.(2)因为E、F分别为PB、AB的中点，所以EFPA.又因为ABPA，所以EFAB，同理可证ABFG.又因为EFFGF，EF平面EFG，FG平面EFG.所以AB平面EFG.又因为M，N分别为PD，PC的中点，所以MNCD，又ABCD，所以MNAB，所以MN平面EFG.又因为MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN.引申探究1在本例条件下，证明：平面EMN平面PAC.证明因为ABPA，ABAC，且PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以AB平面PAC.又MNCD，CDAB，所以MNAB，所以MN平面PAC.又MN平面EMN，所以平面EMN平面PAC.2在本例条件下，证明：平面EFG平面PAC.证明因为E，F，G分别为PB，AB，BC的中点，所以EFPA，FGAC，又EF平面PAC，PA平面PAC，所以EF平面PAC.同理，FG平面PAC.又EFFGF，所以平面EFG平面PAC.思维升华(1)判定面面垂直的方法面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a)(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直(2016江苏) 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.求证：(1)直线DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.证明(1)由已知，DE为ABC的中位线，DEAC，又由三棱柱的性质可得ACA1C1，DEA1C1，又DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面A1B1C1，AA1A1C1，又A1B1A1C1，且A1B1AA1A1，A1B1平面ABB1A1，AA1平面ABB1A1，A1C1平面ABB1A1，B1D平面ABB1A1，A1C1B1D，又A1FB1D，且A1FA1C1A1，A1F平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，B1D平面A1C1F，又B1D平面B1DE，平面B1DE平面A1C1F.题型三求空间角命题点1求两条异面直线所成的角和二面角例3如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AD，AA1的中点(1)求直线EF和直线AB1所成的角的大小；(2)求二面角DA1C1D1的正切值解(1)在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为E，F分别是AD，AA1的中点，所以EFA1D.因为ADB1C1，ADB1C1，所以四边形ADC1B1为平行四边形所以AB1DC1.所以A1DC1是直线AB1和EF所成的角因为A1DC1是等边三角形，所以A1DC160，即直线AB1和EF所成的角是60.(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，连接B1D1交A1C1于点M，连接DM，则D1MA1C1.又DD1平面A1C1，所以DD1A1C1，且D1MDD1D1，所以A1C1平面DD1M，又DM平面DD1M，所以DMA1C1.故DMD1为二面角DA1C1D1的平面角，故tanDMD1.命题点2求直线和平面所成的角例4(2016温州一模)如图，在三棱锥DABC中，DADBDC，点D在底面ABC上的射影为点E，ABBC，DFAB于点F.(1)求证：平面ABD平面DEF；(2)若ADDC，AC4，BAC60，求直线BE与平面DAB所成的角的正弦值(1)证明如图，由题意知DE平面ABC，所以ABDE，又ABDF，DEDFD，所以AB平面DEF，又AB平面ABD，所以平面ABD平面DEF.(2)解由DADBDC，知EAEBEC，E为AC的中点，所以E是ABC的外心过点E作EHDF于点H，则由(1)知EH平面DAB，所以EBH即为BE与平面DAB所成的角由AC4，BAC60，得DE2，EF，所以DF，EH，所以sinEBH.所以直线BE与平面DAB所成角的正弦值为.思维升华求空间角的策略(1)利用定义将空间角转化为两条相交直线所成的角，然后在三角形中计算(2)要遵循求角的四个步骤：作、指、算、答；注意不要忽略角的范围在如图所示的多面体ABCDE中，已知ABDE，ABAD，ACD是正三角形，ADDE2AB2，BC，F是CD的中点(1)求证：AF平面BCE；(2)求直线CE与平面ABED所成角的余弦值(1)证明如图所示，取CE的中点为M，连接BM，MF，因为F为CD的中点，所以MF綊ED.又ABDE，DE2AB，所以MF綊AB，所以四边形ABMF为平行四边形所以BMAF.因为BM平面BCE，AF平面BCE，所以AF平面BCE.(2)解因为ACD是正三角形，所以ACADCD2.在ABC中，AB1，AC2，BC，所以AB2AC2BC2，故ABAC.又ABAD，ACADA，所以AB平面ACD.如图所示，取AD的中点H，连接CH，EH，则ABCH.又ACCD，所以CHAD.又ABADA，所以CH平面ABED，所以CEH是直线CE与平面ABED所成的角在RtCHE中，CH，EH，CE2，所以cosCEH.所以直线CE与平面ABED所成角的余弦值为.19立体几何证明问题中的转化思想典例(14分) 如图所示，M，N，K分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点求证：(1)AN平面A1MK；(2)平面A1B1C平面A1MK.思想方法指导(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范规范解答证明(1) 如图所示，连接NK.在正方体ABCDA1B1C1D1中，四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，AA1DD1，AA1DD1，C1D1CD，C1D1CD.2分N，K分别为CD，C1D1的中点，DND1K，DND1K，四边形DD1KN为平行四边形，4分KNDD1，KNDD1，AA1KN，AA1KN，四边形AA1KN为平行四边形，ANA1K.6分A1K平面A1MK，AN平面A1MK，AN平面A1MK.8分(2)如图所示，连接BC1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，ABC1D1，ABC1D1.M，K分别为AB，C1D1的中点，BMC1K，BMC1K，四边形BC1KM为平行四边形，MKBC1.10分在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，A1B1BC1.MKBC1，A1B1MK.四边形BB1C1C为正方形，BC1B1C.12分MKB1C.A1B1平面A1B1C，B1C平面A1B1C，A1B1B1CB1，MK平面A1B1C.又MK平面A1MK，平面A1B1C平面A1MK.14分1(2016嘉兴期末)设，是两个不同的平面，m是直线，且m，则“m”是“”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析若m，m，则；反之，若，m，则m与的位置关系不确定，所以“m”是“”的充分不必要条件，故选A.2设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A若，m，n，则mnB若，m，n，则mnC若mn，m，n，则D若m，mn，n，则答案D解析A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中，m与n可平行、可异面；C中，若，仍然满足mn，m，n，故C错误故选D.3. (2016芜湖模拟)如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A直线AB上B直线BC上C直线AC上DABC内部答案A解析由ACAB，ACBC1，AC平面ABC1.又AC平面ABC，平面ABC1平面ABC.C1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上4(2016包头模拟) 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是()ACC1与B1E是异面直线BAC平面ABB1A1CAE与B1C1是异面直线，且AEB1C1DA1C1平面AB1E答案C解析A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故AC不可能垂直平面ABB1A1；C正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，易得AEBC,而B1C1 BC，所以AEB1C1 ；D不正确，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1平面AB1E不正确，故选C.5如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：BDAC；BAC是等边三角形；三棱锥DABC是正三棱锥；平面ADC平面ABC.其中正确的是()A BC D答案B解析由题意知，BD平面ADC，故BDAC，正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD平面ACD，所以ABACBC，BAC是等边三角形，正确；易知DADBDC，由知正确；由知错故选B.6已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为ABC的中心，则AC1与底面ABC所成角的余弦值等于()A. B.C. D.答案B解析设三棱柱ABCA1B1C1的各棱长为a，A1在底面ABC内的射影为O.则依题意，得AO，由题意得四面体A1ABC为四面体，所以A1AC60，AA1C1120.在菱形ACC1A1中，AC1a.又点C1到底面ABC的距离等于A1到底面ABC的距离，且A1O a，因此AC1与底面ABC所成角的正弦值为，AC1与底面ABC所成角的余弦值为.7. 如图，BAC90，PC平面ABC，则在ABC和PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有_；与AP垂直的直线有_答案AB、BC、ACAB解析PC平面ABC，PC垂直于直线AB，BC，AC；ABAC，ABPC，ACPCC，AB平面PAC，与AP垂直的直线是AB.8. 如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，ACBC1，ACB90，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1平面C1DF，则线段B1F的长为_答案解析设B1Fx，因为AB1平面C1DF，DF平面C1DF，所以AB1DF.由已知可得A1B1，设RtAA1B1斜边AB1上的高为h，则DEh.又2h，所以h，DE.在RtDB1E中，B1E .由面积相等得 x，得x.9. 如图，PA圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：AFPB；EFPB；AFBC；AE平面PBC.其中正确结论的序号是_答案解析由题意知PA平面ABC，PABC.又ACBC，且PAACA，BC平面PAC，BCAF.AFPC，且BCPCC，AF平面PBC，AFPB，又AEPB，AEAFA，PB平面AEF，PBEF.故正确10(2016保定模拟) 在直二面角MN中，等腰直角三角形ABC的斜边BC，一直角边AC，BC与所成角的正弦值为，则AB与所成的角是_答案解析如图所示，作BHMN于点H，连接AH，则BH，BCH为BC与所成的角sinBCH，设BC1，则BH.ABC为等腰直角三角形，ACAB，AB与所成的角为BAH.sinBAH，BAH.11(2016四川) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PACD，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD.(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM平面PAB，并说明理由；(2)证明：平面PAB平面PBD.(1)解取棱AD的中点M(M平面PAD)，点M即为所求的一个点，理由如下：连接BM，CM.因为ADBC，BCAD，所以BCAM，且BCAM，所以四边形AMCB是平行四边形，从而CMAB.又AB平面PAB，CM平面PAB.所以CM平面PAB.(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)证明由已知，PAAB，PACD.因为ADBC，BCCDAD，所以直线AB与CD相交，因为AB平面ABCD，CD平面ABCD，所以PA平面ABCD，又因为BD平面ABCD，从而PABD.又BCMD，且BCMD.所以四边形BCDM是平行