高考数学一轮复习第7章立体几何初步第5节简单几何体的面积与体积课时分层训练文北师大版

课时分层训练课时分层训练( (四十四十) ) 简单几何体的面积与体积简单几何体的面积与体积 A 组 基础达标 (建议用时：30 分钟) 一、选择题 1已知等腰直角三角形的直角边的长为 2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周 而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A. B 2 2 3 4 2 3 C2 D4 22 B B 依题意知，该几何体是以为底面半径，为高的两个同底圆锥组成的组合体， 22 则其体积V ()22. 1 322 4 2 3 2已知底面边长为 1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的 2 体积为( ) A. B4 32 3 C2 D 4 3 D D 依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为R，则 2R 2，解得R1，所以VR3. 1212 22 4 3 4 3 3(2016山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图 758 所示， 则该几何体的体积为( ) 图 758 A. B 1 3 2 3 1 3 2 3 C. D1 1 3 2 6 2 6 C C 由三视图知，该四棱锥是底面边长为 1，高为 1 的正四棱锥，结合三视图可得半 球半径为，从而该几何体的体积为 121 3 . 2 2 1 3 1 2 4 3 ( 2 2) 1 3 2 6 4某几何体的三视图如图 759 所示，且该几何体的体积是 3，则主视图中的x的 值是( ) 图 759 A2 B. 9 2 C. 3 2 D3 D D 由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S底 (12)23， 1 2 Vx33，解得x3. 1 3 5(2016江南名校联考)一个四面体的三视图如图 7510 所示，则该四面体的表面 积是( ) 【导学号：66482342】 图 7510 A1 B2 33 C12 D2 22 B B 四面体的直观图如图所示 侧面SAC底面ABC，且SAC与ABC均为腰长是的等腰直角三角形， 2 SASCABBC，AC2. 2 设AC的中点为O，连接SO，BO，则SOAC， SO平面ABC，SOBO. 又OSOB1，SB， 2 故SAB与SBC均是边长为的正三角形，故该四面体的表面积为 2 2 2()22. 1 222 3 423 二、填空题 6现有橡皮泥制作的底面半径为 5、高为 4 的圆锥和底面半径为 2，高为 8 的圆柱各 一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各 一个，则新的底面半径为_ 【导学号：66482343】 设新的底面半径为r，由题意得 7 524228 r24r28， 1 3 1 3 r27，r. 7 7一个六棱锥的体积为 2，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六 3 棱锥的侧面积为_ 12 设正六棱锥的高为h，棱锥的斜高为h. 由题意，得 6 2h2，h1， 1 3 1 233 斜高h2，S侧6 2212. 12 32 1 2 8某几何体的三视图如图 7511 所示，则该几何体的体积为_ 图 7511 由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为 13 6 122 121. 1 2 1 3 13 6 三、解答题 9如图 7512，在三棱锥DABC中，已知 BCAD，BC2，AD6，ABBDACCD10，求三棱锥DABC的体积的最大值. 图 7512 【导学号：66482344】 解 由题意知，线段ABBD与线段ACCD的长度是定值，棱AD与棱BC相互垂 直，设d为AD到BC的距离，4 分 则VDABCADBCd 2d， 1 2 1 3 当d最大时，VDABC体积最大. 8 分 ABBDACCD10， 当ABBDACCD5 时， d有最大值. 42115 此时V2. 12 分 15 10四面体ABCD及其三视图如图 7513 所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体 的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H. 图 7513 (1)求四面体ABCD的体积； (2)证明：四边形EFGH是矩形 解 (1)由该四面体的三视图可知，BDDC，BDAD，ADDC，BDDC2，AD1， AD平面BDC，3 分 四面体ABCD的体积V 221 . 5 分 1 3 1 2 2 3 (2)证明：BC平面EFGH，平面EFGH平面BDCFG，平面EFGH平面ABCEH，8 分 BCFG，BCEH，FGEH. 同理EFAD，HGAD，EFHG， 四边形EFGH是平行四边形 又AD平面BDC，ADBC，EFFG. 四边形EFGH是矩形. 12 分 B 组 能力提升 (建议用时：15 分钟) 1(2015全国卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体， 该几何体三视图中的主视图和俯视图如图 7514 所示若该几何体的表面积为 1620，则r( ) 图 7514 A1 B2 C4 D8 B B 如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面 半径为r，高为 2r，则表面积S 4r2r24r2r2r(54)r2.又 1 2 S1620，(54)r21620，r24，r2，故选 B. 2三棱锥PABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥DABE的体积为 V1，PABC的体积为V2，则_. V1 V2 设点A到平面PBC的距离为h. 1 4 D，E分别为PB，PC的中点，SBDESPBC， 1 4 . V1 V2 VADBE VAPBC 1 3S BDEh 1 3S PBCh 1 4 3(2016全国卷) 如图 7515，已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形， PA6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并 延长交AB于点G. 图 7515 (1)证明：G是AB的中点； (2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的 体积 解 (1)证明：因为P在平面ABC内的正投影为D， 所以ABPD. 因为D在平面PAB内的正投影为E，所以ABDE. 3 分 因为PDDED，所以AB平面PED，故ABPG. 又由已知可得，PAPB，所以G是AB的中点. 5 分 (2)在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投 影. 7 分 理由如下：由已知可得PBPA，PBPC，又EFPB，所以EFPA，EFPC.又 PAPCP，因此EF平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影 连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心由(1)知， G是AB的中点，所以D在CG上，故CDCG. 10 分