高中数学 第四章 数系的扩充与复数的引入 4_1_2 复数的有关概念知识导航 北师大版选修1-21

1.2 复数的有关概念自主整理1.a+bi=c+di的充要条件为_.2.当直角坐标平面用来表示复数时,我们称之为_,x轴为_,y轴为_.3.任一个复数z=a+bi与复平面内的点_一一对应,也与平面向量_是一一对应的.4.设复数z=a+bi在复平面内对应的点是Z(a,b),点Z到原点的距离|OZ|叫作_,记作|z|,显然_.高手笔记1.复数z=a+bi与平面内的点Z(a,b)及向量=(a,b)之间的对应关系为2.根据复数相等的定义和向量相等的定义,知在复平面内有无数条相等的向量与复数z对应,但从原点出发只有一条.3.两个复数不能比较大小,但可以比较它们模的大小,只有在两个复数都是实数时,才能比较大小.名师解惑复数的几何表示及建立复平面的意义. 剖析:建立复平面将复数z与平面内的点Z一一对应,达到数与形的结合,并与向量一一对应,与向量联系起来,可用向量的平移、加、减运算来解释复数的有关运算,如|z|=|=,达到数与形的结合.若|z|=r,则z在复平面内对应的点Z在以原点为圆心、r为半径的圆上.讲练互动【例1】已知复数x2-6x+5+(x-2)i在复平面内对应的点在第三象限内,求实数x的取值范围.分析:复数z与复平面内的点一一对应,由实部与虚部的符号决定复数对应的点位于什么象限.解:x为实数,x2-6x+5和x-2都是实数.又复数x2-6x+5+(x-2)i在复平面内对应的点在第三象限内,1x2为所求x的范围.绿色通道 本例求x的范围是根据复数在复平面内对应的点所在的象限确定实部和虚部组成的不等式,由不等式组求出x的范围.变式训练1.当m1时,复数z=(3m-2)+(m-1)i在复平面上对应的点位于( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解析:m0,m-10.点Z(3m-2,m-1)在第四象限.选D.答案:D【例2】设zC,满足下列条件的点Z的集合是什么图形?(1)|z|=4;(2)2|z|4.分析:复数的模就是向量的模,即线段OZ的长度,其中O为坐标原点为定点,Z为动点,|z|=r(定值),即|OZ|=r(定值),点Z形成圆.解:(1)复数z的模等于4,就是向量的模等于4,满足条件|z|=4的点Z的集合是以原点为圆心、4为半径的圆.(2)不等式2|z|4可化为不等式组|z|4所表示的点是圆|z|=4内部的点;不等式|z|2所表示的点是圆|z|=2外部的点(包括边界).2|z|z2|.【例3】已知z1=x2+,z2=(x2+a)i对于任意xR,有|z1|z2|成立,试求实数a的取值范围.分析:复数z与复平面内的向量对应,|z|的几何意义与复数z对应的点到原点O的距离对应.解:|z1|=,|z2|=|x2+a|.|z1|z2|,|x2+a|x4+x2+1x4+2ax2+a2.(1-2a)x2+(1-a2)0恒成立.当1-2a=0即a=时,此时0x2+(1)0恒成立,满足.当即-1a0且a1),当x为何实数时,z在复平面上对应的点在实轴上方?解:由题意,知当a1时,x;当0a1时,0x1时,x,当0a1时,0x.【例4】不等式m2-(m2-3m)i(m2-4m+3)i+10成立,求实数m的值.分析:因虚数不能比较大小,要使不等式成立,不等式两边必须是实数.解:原不等式成立,m=3.绿色通道 若不等式中含有虚数单位i,则虚部一定为0,否则不等式无意义.只有实数才能比较大小,复数只有相等与不相等.变式训练4.已知复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(kR)且z0,求k.解:z0,zR.k2-5k+6=0.k=2或k=3.当k=2时,z=-20符合,当k=3时,z=0不符合题意.k=2.【例5】已知方程(x2+x+2p)-(2x+1)i=0有实根,求实数p的值.分析:在实系数方程中,一般二次方程可用判别式,但在复数系数方程中则不能用,只能将实根代入,由复数相等的定义解答转化.解:设实根为x0,则p=.绿色通道 复数相等的充要条件是实部与实部相等、虚部与虚部相等,解复数方程由