高中数学 第2章 推理与证明 2_2_1 直接证明知识导航 苏教版选修2-21

2.2 直接证明与间接证明2.2.1 直接证明知识梳理 证明是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的，这种证明通常称为_，其一般形式为本题结论.其中从已知条件出发，以已知的定义、定理、公理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法称为_，推证过程为已知条件结论.而从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法常称为_，推证过程为.知识导学 综合法与分析法都是直接证明.综合法是从已知条件出发，经过推理，导出所要结论，步骤比较简洁明了，但入手点比较难找,而分析法则是从要证的结论出发，寻求它的论据,直至归结到题设条件(结论成立的充分条件),运用综合法证明需先对题目进行分析，找到证明的出发点，两者相辅相成，辩证统一.疑难突破 综合法与分析法的比较剖析:一般地,对于命题“若A则D”，用综合法证明时，思考过程可表示为综合法的思考过程是由因导果的顺序，是从A推演到达D的途径，但由A推演出的中间结论未必唯一，如B，B1，B2等.由B，B1，B2推演出的进一步的中间结论则可能更多，如C，C1，C2，C3，C4等，最终能有一个(或多个)可推演出结论D即可.用分析法思考数学问题的顺序可理解为(对于命题“若A则D”) 分析法的思考顺序是执果索因的顺序.是从D上溯寻其论据，如C，C1，C2等，再寻求C，C1，C2的论据，如B，B1，B2，B3，B4等等，继而寻求B，B1，B2，B3，B4的论据，如果其中之一B的论据恰好为已知条件，于是命题得证. 用分析法与综合法来叙述证明，语气之间也应当有区别，在综合法中，每个推理都必须是正确的，每个论断都应当是前面一个论断的必然结果，因此所用语气必须是肯定的，而在分析法中，就应当用假设的语气，习惯上常用这样一类语句：假如要A成立，就必须先有B成立；如果要有B成立，又只需有C成立这样从结论一直推到已知条件.当我们应用分析法时，所有各个中间的辅助命题，仅仅考虑到它们都是同所要证明的命题是等效的，而并不是确信它们都是真实的，直至达到最后已知条件或明显成立的事实后，我们才确信它是真实的，从而可以推知前面所有与之等效的命题也都是真实的，于是命题就被证明了.典题精讲【例1】设数列an的前n项和为Sn,且(3-m)Sn+2man=m+3(其中m为常数，nN*),且m-3.(1)求证：an为等比数列；(2)若数列an的公比q=f(m)，数列bn满足b1=a1,bn=f(bn-1)(nN*,n2),求证：为等差数列.思路分析：本题要证数列为等差、等比数列，所以需按定义研究an+1与an的关系，而已知为Sn，需将Sn化为an，它们之间的关系为an=证明：(1)由(3-m)Sn+2man=m+3得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3,(3+m)an+1=2man(m-3).an为等比数列.(2)由已知q=f(m)=,b1=a1=1,当n2时,bn=f(bn-1)=.bnbn-1+3bn=3bn-1.是首项为1，公差为的等差数列.绿色通道：证明数列为等差、等比数列需紧扣定义，找到an+1与an之间的关系，由已知前n项和Sn，求出an=由已知条件逐步变形得到，从而得证.变式训练：已知f(x)=,Pn(an,)在曲线y=f(x)上(nN*)且a1=1,an0.(1)求an的通项公式；(2)数列bn的前n项和为Tn，且满足+16n2-8n-3.设定b1的值，使得数列bn是等差数列.解：(1)由已知Pn在曲线y=f(x)上.是等差数列.=1+4(n-1)=4n-3,an0,an=.(2)+(4n-3)(4n+1),即(4n-3)Tn+1=(4n+1)Tn+(4n-3)(4n+1),.为等差数列，首项为 =b1+(n-1)=n+(b1-1).Tn=(4n-3)n+(b1-1)=4n2+(4b1-7)n-3(b1-1).要使bn为等差数列，需使b1-1=0,b1=1.当b1=1时,Tn=4n2-3n,bn=9n-8,bn为等差数列.【例2】 如图2-2-1所示，SA平面ABC，ABBC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F.求证：AFSC.图2-2-1思路分析：本题所要证的是线线垂直，可通过线面垂直来判定，而已知条件为线线垂直、线面垂直，通常我们需要将线面垂直转化为线线垂直，再由线线垂直转化为线面垂直，从而得证.证明：SA面ABC,SABC.ABBC,BC面SAB.AE面SAB,BCAE.AESB,AE面SBC.AESC.又EFSC,SC面AEF.SCAF.绿色通道：从已知条件及已有定理入手，直接推证，线线垂直与线面垂直相互转化来加以证明.变式训练:如图2-2-2所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD.求证：PCBD.图2-2-2证明：PA面ABCD，PC为平面ABCD的斜线,PC在面ABCD内的射影为AC，连结BD，ABCD为正方形,ACBD.PCBD.【例3】 已知ab0，求证：.思路分析：本题条件较为简单，结论比较复杂，看上去无从入手，解答问题，所以我们可以从要证的结论手入，一步步探求结论成立的充分条件，即用分析法.证明：要证成立，即成立，ab0，只需证成立.只需证成立，即证，即.ab0,成立.成立.绿色通道：在已知条件较为简单，所要证的问题较为复杂，无从入手的情况下，我们可从结论入手逆推，执果索因，找到结论成立的条件，注明必要的文字说明，也可再用综合法步骤写出.变式训练:求证：+22+.证明：法一：要证+22+成立，只需证(+2)2(2+)2成立，即11+4，即,即67,显然67成立.+22+成立.法二：要证+22+成立，只需证2-2-成立.只需证122,2+2+0.成立.+22+成立.问题探究已知三角形三边长度a、b、c都是整数，并且abc，b=k(k为某正整数)，求证:符合这样条件的三角形共有个.导思：寻求这个论题的证明方法时，既要考虑a、b、c是整数，又是三角形三边的长度以及abc，b=k等已知条件，又要考虑满足这些条件的三角形的个数，即符合条件a、b、c的各种不同数值的组合总数.要证明当b=k时各种组合总数为，就要探索符合条件的a、b、c的各种数值的组合方法.为此，可以通过k的某些特殊值来进行研究.探究：首先设b=k=1，根据条件abc，a必须是满足下面条件的整数：0ab或0ak即0a1,a=1.当b=k=1,a=1时，由于三角形任一边必小于其他两边的和，c必须是满足下面条件的整数：bca+b或1c2，c=1.由此来看，当k=1时，满足条件的a、b、c的数值只有a=b=c=1的一种组合方法，也就是满足条件的三角形只有一个，这个结果与求证命题的结果：当k=1时，=1，一致,设k=2,则b=2,a满足0ab,即0a2的整数只有a=1或a=2,又bca+b,即2ca+2,当a=1,b=k=2时,c=2;当a=2,b=k=2时,c=2或c=3.综上当k=2时,a、b、c各种数值有(1，2，2)，(2，2，2)，(2，2，3),即共有三个三角形.这个结果与求证命题的结果也一致.从k=1,k=2的推理过程可以看出，b=k的值确定后,由0ak，可得a=1,2,k-1,k,再由bca+b得到a、b、c各种不同数值的组合方法，从而论证.证明：当b=k(k为正整数)时，由已知0ab且a为整数,a=1,2,3,k-1,