有限元计算在材料科学中的应用.docx

南京航空航天大学课程名称 计算机在材料科学中应用 报告题目 有限元方法基本原理及在材料科学中 的应用现状姓名 张 捷 学号 060810430 学院 材料科学与技术学院 专业 材料科学与工程 任课老师 占 小 红 二一二年三月有限元方法基本原理及在材料科学中的应用现状张捷摘 要：计算机模拟与预测方法在材料科学研究中得到越来越广泛的应用。有限元方法（fe）、有限差分方法（fd）、蒙特卡洛方法（mc）、分子动力学方法（md）以及人工神经网络法（ann）已在材料科学研究中取得了较为广泛的运用。关键词：有限元方法；原理；材料科学一有限元方法1.有限元法简介和原理有限元法(fea : finite element analysis)是一种结构分析的方法。分析的基本思想是将连续的求解区域离散为一组由有限个单元组成的并按一定方式相互联结在一起的单元组合体来加以分析。分析假想将物体划分为小的单元，然后对各个单元进行分析，最后再把单元分析结果组合得到整个对象的分析结果。有限元法的一个重要特点是利用每一个单元内的近似函数来分片地表示全求解域上的待求未知场函数。单元内的近似函数通常由未知场函数或其导数在单元的各个结点的数值及其插值来表示。这样一来，在一个问题的有限元分析中，未知场函数或其导数在各个结点上的数值就成为新的未知量，使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。一旦求解出这些未知量，就可以通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到整个求解域的近似值。在用单元把求解区域离散化方面, 存在一个自由度数量的选取问题。如果自由度选得太少，近似解的误差很大，导致结果没有应用价值；而如果自由度取得过多，解的近似程度相应增大，方程的求解规模也随之增大。有限元法适合解决区域比较复杂的微分方程的定解问题。有限单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同的形状，因而可以模型化几何形状复杂的求解区域，有限元法在网格划分方面也比较灵活。有限元法具有以下特点：1物理概念清晰，容易掌握。有限元法一开始就从力学角度进行简化，可以通过非常直观的物理途径来学习并掌握这一方法。2建立于严格理论基础上的可靠性。由于用于建立有限元方程的变分原理或加权余量法在数学上证明是微分方程和边界条件的等效积分形式。只要原问题的数学模型是正确的，同时用来求解有限元方程的算法是稳定的、可靠的，则随着单元数目的增加，即单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度数目的增加及插值函数阶次的提高，有限元解的近似程度将不断地被改进。如果单元是满足收敛准则的，则近似解最后收敛于原函数数学模型的精确解。3 有限元法具有极大的通用性和灵活性。对于各种复杂的因素(如复杂的几何形状，任意的边界条件，不均匀的材料特性，不同类型构件的组合等)，有限元法都能灵活地加以考虑，而不会发生处理、求解上的困难。4对于各种物理问题具有广泛的应用性。由于用单元内近似函数分片地表示全求解域的未知场函数，并未限制场函数所满足的方程形式，也未限制各个单元所对应的方程必须是相同的形式，所以尽管有限元法开始是对线弹性的问题提出的，很快就发展到弹塑性问题、粘弹塑性问题、动力问题、屈服问题等，并进一步应用于流体力学问题、热传导问题等，而且可以利用有限元法对不同物理现象耦合的问题进行有效的分析。5适合计算机的高效计算。由于有限元分析的各个步骤，可以表达成规范化的矩阵形式，因此求解方程可以统一为标准的矩阵代数问题， 特别适合计算机的编程和执行。随着计算机软硬件技术的高速发展，以及新的数值计算方法的不断出现，大型复杂问题的有限元分析已成为工程技术领域的常规工作。2.有限元法的发展有限元法经历了诞生、发展和完善的三个历史时期，其理论已日趋完善，并广泛应用于各个领域。1. 有限元方法的诞生有限元法基本思想的提出，可以追溯到1943年courant的工作。他首先从应用数学角度尝试应用一系列三角形区域上定义的分片连续函数和极小势能原理相结合来求解st.venant扭转问题，并第一次提出了单元的概念。1945-1955年，argyris等人在结构矩阵分析方面取得了很大进展。turner等人于1956年将刚架分析中的位移法推广到弹性力学平面问题，并应用于飞机结构的分析。他们首先给出了采用三角形单元法求解平面应力问题的正确解答，他们的研究工作开始了利用电子计算机求解复杂弹性力学问题的新阶段。2. 有限元法的发展和完善60年代末至70年代初，人们加强了对有限元分析( fea : finite element analysis)数学基础的研究，如大型线性方程组和特征值问题的数值方法、离散误差分析、解的收敛性和稳定性等，于是出现了大型通用有限元程序，它们以功能强、用户使用方便、计算结果可靠和效率高而逐渐形成新的技术商品，成为结构工程强有力的分析工具。20世纪70年代到80年代中期，随着计算机工作站的出现和广泛应用，原来运行于大中型机上的fea系统得以在工作站上运行，从而推动了有限元法向着深度和广度发展，有限元分析方法从最早的结构化矩阵分析，逐步推广到板、壳各实体等连续体固体力学分析，同时也出现了一批通用的fea软件，如sap、aska、nastran 、ansys - pc等，这些fea软件可进行许多领域的结构强度、刚度分析，从而推动了fem 在工程中的实际应用。从20世纪80年代后半期到90年代。建筑行业的高层建筑和大跨度悬索桥的出现，就要求考虑结构的大位移和大应变等几何非线性问题；航天和动力工程的高温部件存在热变形和热应力，也要考虑材料的非线性问题；塑料、橡胶和复合材料等各种新型材料的出现，仅靠线性理论已经不足以解决遇到的问题，只有采用非线性有限元法才能解决。20世纪90年代以来，随着微机性能的显著提高，大批fea软件纷纷向微机移植，出现了基于各种微机版fea软件。有限元法向流体力学、温度场、电传导、磁场、渗流和声场等问题的求解计算方面发展，并发展到求解一些交叉学科的问题。传统的fem假设：分析域是无限的；材料是同质的，甚至在大部分的分析中认为材料是各向同性的；对边界条件简化处理。但实际问题往往是分析域有限、材料各向异性或边界条件难以确定等。美国的heofanis strouboulis等人提出用gfem解决分析域内含有大量孔洞特征的问题；比利时的nguyen dang hung 和越南的tran thanh ngoc 提出用hsm解决实际开裂问题。近十多年来，fem的研究热点集中体现在几个方面: 超收敛应力计算、有限元模型修正和有限元分析与优化技术结合解决实际工程应用。超收敛应力(及位移) 计算是企图加快应力计算收敛的速度，它以fem 为代表的各种数值方法追求的目标之一；有限元模型修正技术(或试验/分析模型相关)是要充分利用结构试验和fea 两者的优点，用少量的结构试验数据对有限元模型进行修正，获得比较准确的有限元模型的技术；而有限元分析与优化技术结合解决实际工程问题更工程界目前提高设计水平的主要手段。3.有限元建模准则有限元建模的总则是根据工程分析的精度要求，建立合适的、能模拟实际结构的有限元模型。为使分析结果有足够的精度，所建立的有限元模型必须在能量上与原连续系统等价。具体应满足下述准则：1有限元模型应满足平衡条件。即结构的整体和任意一单元在节点上都必须保持静力平衡。 2满足变形协调条件。交汇于一个节点上的各单元在受力变形后也必须保持汇交于同一节点。 3满足边界条件和材料的本构关系。边界条件包括整个结构的边界条件和单元间的边界条件。 4.认真选取单元，包括单元类型、形状、阶次，使之能够很好地模拟几何形状、反映受力和变形情况。单元类型如杆单元、梁单元、平面单元、板单元或空间单元等，空间块体又分四面体块单元或六面体块单元，六面体块单元又分八节点六面体或二十节点六面体等。选取单元时应综合考虑结构的类型、形状特征、应力和变形特点、精度要求和硬件条件等因素。 5.应根据结构特点、应力分布情况、单元的性质、精度要求及其计算量的大小等仔细划分计算网格。 4.边界条件的处理对于基于位移模式的有限元法，在结构的边界上必须严格满足已知的位移约束条件。有时边界支撑不是沿坐标方向，称为斜支撑。当边界与另一弹性体相连，构成弹性边界时，可分两种情况处理。当弹性体对边界点的支撑刚度已知时，则可将它的作用简化成弹簧，在此节点上加一弹簧单元。当弹性体对边界点的支撑刚度不清楚时，则可将此弹性体的一部分划出来和结构连在一起进行分析，所划区域的大小视其有影响的区域大小而定。当整个结构存在刚体位移时，就无法进行静力分析、动力分析。为此，必须根据实际结构的边界位移约束情况，对模型的某些节点施加约束，消除结构的刚体位移影响。为了减少运算规模，通常采取以下一些方法：对称性和反对称性；周期性条件；降维处理和几何简化；子结构技术；线性近似化；多种载荷工况的合并处理；节点编号的优化。5.有限元法的应用情况有限元方法可以用于结构分析确定变形、应变、应力和作用力，可以考虑结构的线性及非线性行为，如大变形、大应变、应力刚化、接触、塑性及蠕变。动力分析，包括质量和阻尼效应、模态分析，用于计算固有频率和振型、谐响应分析，用于确定结构对正弦变化的已知幅值和频率载荷的响应、模拟冲击、碰撞、快速成形等。热分析中可以模拟三种传热方式：热传导、热对流、热辐射；可以确定以时间为函数的温度值等、可以模拟相变（熔化及凝固）。1二有限元法在材料科学中的应用情况材料科学中的许多定律，多数可以用相应的微分方程来表示。因此，在材料科学研究中，其微分方程的获得和求解就成了基本任务。在材料学中，许多问题的数学表现形式，是含有把空间和时间作为自变量的微分方程。偏微分方程只有在某些有限的特定场合下，才可能用解析方法求解。求解偏微分方程必须对其求解区域离散化，这样，微分方程和边界条件的求解就归结为求解一个线性代数方程组，得到数值解。219963年beaudoin等从晶体塑性理论出发，考虑粘塑性本构响应因素，用fe法对面心立方多晶题中的局域取向梯度进行了模拟。模拟结果描述了各个晶粒内非均匀变形区的演化，这种演化效应导致了亚晶粒畴的形成，亚晶粒畴之间被取向偏差大的晶界分开。fackeldey等对铸造过程的凝固现象进行了三维有限元模拟。3李俊等进行了材料的热锻成形过程围观组织的晶粒尺寸的有限元模拟。4可见，目前有限元法在材料科学各个领域，包括金属材料、焊接、复合材料等应用广泛，尺度涉及宏观围观。下面简述有限元方法在材料科学中的相关应用。1. 晶体塑性的织构模拟织构是大变形时材料性能各向异性产生的根源，晶体塑性模拟已经能够成功的模拟织构及织构演化。asaro和needleman5首先利用一个率相关的弹塑性多晶模型预测了单向面心立方聚集体在不同应力应变路径下的变形织构。率相关模型解决了长期以来用率无关理论选择可动滑移系具有不唯一性的问题。mathur和dawson等模拟了具有高度扭曲晶粒的多晶体在体积成形过程中的织构演化，并比较了实测织构数据和前面忽略晶粒形状模拟织构研究。1992年kalidindi等开发出一种完全隐式时间积分方案,并将其应用于有限元程序模拟了面心立方金属体积成形过程中的织构演化。研究表明该方法具有良好的预测能力。saram和dawson6于1996年提出一个整合了邻近晶粒相互作用的多晶塑性模型,并用其模拟预测了织构演化。他们比较了用上述模型模拟织构演化与用另两种多晶模型(taylor模型和有限元多晶模型)模拟织构演化及试验结果。研究表明整合了邻近晶粒相互作用的多晶模型能够预测特定织构分量的强弱与位置进而提高了织构的预测能力。一些研究者在模拟织构演化的过程中己经开始尝试用新的方法,该方法的特点在于用取向分布函数描述三维取向空间晶体的取向分布。kumar和dawson7于1996年首先在取向空间运用一种新的有限元方案模拟了织构演化。他们认为织构源于一些从取向空间获得的晶粒取向图,利用取向分布函数和硬度场可以表征微观结构的状态,同时能得出两个场的微分方程并进行有限元求解。他们将该方法应用于模拟理想的平面晶体微结构的演化。随后,他们又在非欧拉取向空间对晶体织构演化进行了有限元模拟,表明相比传统的欧拉角参数,非欧拉参数更具优越性。2000年,kumar和dawson运用新的织构分析工具在rudigues空间对面心立方材料的变形织构进行了计算机模拟。他们利用取向分布函数描述织构,与现有连续取向分布函数方案相比,提出了基于分段多项式有限元表征的新方法以使有限元技术能够对织构进行定量分析。模拟结果直接解释了理想织构分量分布和取向织构的关系。晶体塑性有限元模拟不仅成功地模拟了织构演化,同样广泛应用于模拟材料性能响应如屈服平面、制耳性能表面粗糙度和成形极限等。2. 焊接残余应力的数值模拟残余应力的大小和分布及其对构件工作行为的影响，必须在焊接前有清楚地了解，以便在焊接时采取措施消除可能出现的问题。试验和数值模拟相结合的综合方法是一种有效的解决方法，用少量的实验数据来校验、校核数据模拟的结果，作为数值模拟的必要补充，以验证分析模型的正确性。实验是采用模拟件来代替原尺寸形状的实物进行研究。采用试验的方法测量残余应力是比较可靠的，但是通过试验去积累资料和经验不但需要专门的测试设备和技术人员，而且需要较长的实验时间和大量的经费。随着计算机技术和有限元分析方法的飞速发展，利用计算机来数值模拟焊接接头残余应力的大小和分布既可以了解残余应力的大小分布情况，为制定合理的焊接工艺提供指导，又可以节省实验时间，节约研究经费。焊接残余应力数值模拟是以试验为基础，采用一组控制方程来描述焊接力学过程，采用分析或数值方法求解以获得该过程的定量认识、焊接数值模拟的关键是确定被研究对象的物理模型及其控制方程本构关系，利用计算机使我们在很短时间内模拟在许多不同条件下的焊接残余应力的大小和分布；模拟结果不但可以验证实验结果而且为制定合理的焊接工艺提供指导。随着计算机技术和有限元分析方法的飞速发展，利用计算机来数值迷你焊接接头残余应力的大小和分布成为了探究热点。焊接瞬态温度场的准确计算或测量，是焊接应力、应变热弹塑性动态分析的前提。苏联的rykalin8院士利用热传导方程在特定条件下所建立的数学模型来描述焊接温度场的分布特征，但没有考虑材料热物理性质随温度以及有限尺寸对解的影响，计算结果和实际结果相差较大。tekriwal应用三维有限元模型来分析气体保护焊的瞬态温度场，得到了比较准确的结果，在有限元分析中考虑了熔池表面的对流和辐射边界条件以及潜热等，其建立的模型更接近于焊接的实际过程。西安交大唐慕尧等建立和进行了薄板焊接准态温度场二维有限元模型，并编制了相应的有限元热传导分析程序，其模型中没有考虑材料随温度变化的热物理性能。汪建华等进行了三维焊接瞬态温度场的有限元研究，编制了相应的有限元分析程序，对几个实际焊接问题进行了三维焊接热传导有限元分析。有限元分析方法在晶体塑性学和焊接中已经得到了很好的应用，并且随着一大批新材料的出现，该方法在材料科学中已经并且必将得到更加广泛的应用。三结束语有限元方法是一种用建模、数值求解以及结合计算机技术来模拟现实问题的方法。有限元法与实验相结合不光节约了经费，而且节省了科研工作者的时间和精力，并且能很好的为科学实验作出很好的指导，是一个能在材料科学中得到更加广泛应用的方法。参考文献：1 尹飞鸿. 有限元基本原理及应用m. 北京:高等 教育出版社, 2010.2 陈明和, 谢