2018-2019数学新学案同步必修二人教A版讲义：第一章 空间几何体

1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积学习目标1.了解柱体、锥体、台体的表面积与体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积知识点一棱柱、棱锥、棱台的表面积图形表面积多面体多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积特别提醒棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和知识点二圆柱、圆锥、圆台的表面积图形表面积公式旋转体圆柱底面积：S底2r2侧面积：S侧2rl表面积：S2r(rl)圆锥底面积：S底r2侧面积：S侧rl表面积：Sr(rl)圆台上底面面积：S上底r2下底面面积：S下底r2侧面积：S侧(rlrl) 表面积：S(r2r2rlrl)知识点三柱体、锥体与台体的体积公式几何体体积说明柱体V柱体ShS为柱体的底面积，h为柱体的高锥体V锥体ShS为锥体的底面积，h为锥体的高台体V台体(SS)hS，S分别为台体的上、下底面面积，h为台体的高1锥体的体积等于底面面积与高之积()2台体的体积可转化为两个锥体的体积之差()3斜三棱柱的侧面积也可以用cl来求解，其中l为侧棱长，c为底面周长()类型一柱体、锥体、台体的侧面积例1现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积考点柱体、锥体、台体的表面积题点柱体的表面积解如图，设底面对角线ACa，BDb，交点为O，对角线A1C15，B1D9，a252152，b25292，a2200，b256.该直四棱柱的底面是菱形，AB22264，AB8.直四棱柱的侧面积S485160.反思与感悟空间几何体的表面积的求法技巧：(1)多面体的表面积是各个面的面积之和(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和跟踪训练1(1)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A20 B24 C28 D32考点组合几何体的表面积与体积题点柱、锥、台组合的几何体的表面积答案C解析由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4，圆锥的母线长l4，所以圆锥的侧面积为S锥侧448，圆柱的侧面积S柱侧4416，所以组合体的表面积S816428，故选C.(2)圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180，求圆台的表面积考点柱体、锥体、台体的表面积题点台体的表面积解如图所示，设圆台的上底面周长为c cm，由于扇环的圆心角是180，则cSA210，解得SA20 cm.同理可得SB40 cm.所以ABSBSA20 cm.所以S表S侧S上S下(1020)201022021 100(cm2)类型二柱体、锥体、台体的体积例2(1)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A22 B42C2 D4考点组合几何体的表面积与体积题点柱、锥、台组合的几何体的表面积与体积答案C解析该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2，四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为()2，所以该几何体的体积为2.(2)一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A9 B10 C11 D.考点组合几何体的表面积与体积题点柱、锥、台切割的几何体的表面积与体积答案C解析由三视图可知该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，截去一个底面积为211，高为3的三棱锥形成的，V三棱锥131，所以V43111.反思与感悟(1)求简单几何体的体积若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解(2)求以三视图为背景的几何体的体积应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解跟踪训练2已知某圆台的上、下底面面积分别是，4，侧面积是6，则这个圆台的体积是_考点柱体、锥体、台体的体积题点台体的体积答案解析设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，则S上r2，S下R24.r1，R2，S侧(rR)l6.l2，h，V(122212).类型三几何体体积的求法例3如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1D1EF的体积考点柱体、锥体、台体的体积题点锥体的体积解由，EA1A1D1a2，又三棱锥FA1D1E的高为CDa，aa2a3，a3.引申探究例3中条件改为点F为CC1的中点，其他条件不变，如图，求四棱锥A1EBFD1的体积解因为EBBFFD1D1Ea，D1FEB，所以四边形EBFD1是菱形连接EF，则EFBFED1.因为三棱锥A1EFB与三棱锥A1FED1的高相等，所以.又因为EA1ABa2，所以a3，所以a3.反思与感悟四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可跟踪训练3如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，求点A到平面A1BD的距离d.考点柱体、锥体、台体的体积题点锥体的体积解在三棱锥A1ABD中，AA1平面ABD，ABADAA1a，A1BBDA1Da，a2aaad.da.点A到平面A1BD的距离为a.例4如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EFAB，EF2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积考点组合几何体的表面积与体积题点柱、锥、台切割的几何体的表面积与体积解如图，连接EB，EC，AC.V四棱锥EABCD42316.AB2EF，EFAB，SEAB2SBEF.V三棱锥FEBCV三棱锥CEFBV三棱锥CABEV三棱锥EABCV四棱锥EABCD4.多面体的体积VV四棱锥EABCDV三棱锥FEBC16420.反思与感悟割补法是求不规则几何体体积的常用求法，解此类题时，分割与补形的原则是分割或补形后的几何体是简单几何体，且体积易求跟踪训练4如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为()A5 B6C20 D10考点组合几何体的表面积与体积题点柱、锥、台切割的几何体的表面积与体积答案D解析用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为22520，故所求几何体的体积为10.1已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是()A. B. C. D.考点柱体、锥体、台体的表面积题点柱体的表面积答案A解析设圆柱底面半径、母线长分别为r，l，由题意知l2r，S侧l242r2.S表S侧2r242r22r22r2(21)，.2圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16，则圆锥的体积是()A. B. C64 D128考点柱体、锥体、台体的体积题点锥体的体积答案B解析设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知2r，即lr，S侧rlr216，解得r4.l4，圆锥的高h4，圆锥的体积为VSh424.3已知某正三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为()A9 B9C12 D12考点柱体、锥体、台体的表面积题点锥体的表面积答案D解析由侧视图可知三棱锥的高为2，底面三角形的高为3，设底面正三角形的边长为a，由a3，解得a2.所以侧棱长为2，所以正三棱锥是正四面体，所以该三棱锥的表面积为4(2)212.4若圆台的高是12，母线长为13，两底面半径之比为83，则该圆台的表面积为_考点柱体、锥体、台体的表面积题点台体的表面积答案216解析设圆台上底与下底的半径分别为r，R，由勾股定理可得Rr5.rR38，r3，R8.S侧(Rr)l(38)13143，则表面积为1433282216.5如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥ADED1的体积为_考点柱体、锥体、台体的体积题点锥体的体积答案解析111.1多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和2有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解3S圆柱表2r(rl)；S圆锥表r(rl)；S圆台表(r2rlRlR2)4对柱体、锥体、台体的体积公式的四点说明(1)等底、等高的两个柱体的体积相同(2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系(4)求台体的体积转化为求锥体的体积根据台体的定义进行“补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积一、选择题1正方体的的表面积为96，则正方体的体积为()A48 B64 C16 D96考点柱体、锥体、台体的体积题点柱体的体积答案B解析设正方体的棱长为a，则6a296，a4，故Va34364.2如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4，那么圆柱的体积等于()A2 B3 C4 D8考点柱体、锥体、台体的体积题点柱体的体积答案A解析设圆柱母线长为l，底面半径为r，由题意得解得V圆柱r2l2.3一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32，则母线长为()A2 B2 C4 D8考点柱体、锥体、台体的表面积题点台体的表面积答案C解析圆台的轴截面如图所示，设母线长为l，由题意知，l(rR)，S圆台侧(rR)l2ll32，l4.4如图是一个几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是()A. B. C. D.考点组合几何体的表面积与体积题点柱、锥、台切割的几何体的表面积与体积答案B解析由三视图，可知给定的几何体是一个圆锥的一半，故所求的体积为12.5如图，ABCABC是体积为1的三棱柱，则四棱锥CAABB的体积是()A. B.C. D.考点柱体、锥体、台体的体积题点锥体的体积答案C解析V三棱锥CABCV三棱柱ABCABC，VCAABB1.6如图是一个几何体的三视图，若该几何体的表面积为9，则该几何体的正视图中实数a的值为()A1 B2 C3 D4考点组合几何体的表面积与体积题点柱、锥、台组合的几何体的表面积与体积答案C解析设几何体是一个圆柱上面叠加一个圆锥，其表面积为S21a1122a39，a3.7一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A372 B360 C292 D280考点组合几何体的表面积与体积题点柱、锥、台组合的几何体的表面积与体积答案B解析由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体下面长方体的表面积为81022821022232，上面长方体的表面积为862282262152，又长方体表面积重叠一部分，几何体的表面积为232152262360.8将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6 cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为()A6 cm B6 cmC2 cm D3 cm考点柱体、锥体、台体的体积题点锥体的体积答案B解析设圆锥中水的底面半径为r cm，由题意知r2r226，得r2，水面的高度是26(cm)二、填空题9棱长都是3的三棱锥的表面积S为_考点柱体、锥体、台体的表面积题点锥体的表面积答案9解析因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以S4329.10若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是_考点柱体、锥体、台体的体积题点锥体的体积答案解析圆锥的母线长l2，设圆锥的底面半径为r，则2r22，r1，圆锥的高h，则圆锥的体积Vr2h.11现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_考点柱体、锥体、台体的表面积与体积题点其他求体积、表面积问题答案解析设新的底面半径为r，则有r24r28524228，解得r.12如图所示，在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2、深为4的圆柱形孔，则打孔后的几何体的表面积为_考点组合几何体的表面积与体积题点柱、锥、台切割的几何体的表面积与体积答案966解析由题意知，所打圆柱形孔穿透正方体，因此打孔后所得几何体的表面积等于正方体的表面积，再加上一个圆柱的侧面积，同时减去两个圆的面积，即S64242212966.三、解答题13已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.考点柱体、锥体、台体的体积题点锥体的体积解由已知可得该几何体是一个底面为矩形、高为4、顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥VABCD.(1)V(86)464.(2)该四棱锥的两个侧面VAD，VBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为h14，另两个侧面VAB，VCD也是全等的等腰三角形，AB边上的高为h25.因此侧面积S24024.四、探究与拓展14在长方体ABCDA1B1C1D1中，截下一个三棱锥CA1DD1，求三棱锥CA1DD1的体积与剩余部分的体积之比考点组合几何体的表面积与体积题点柱、锥、台切割的几何体的表面积与体积解设矩形ADD1A1的面积为S，ABh，所以Sh.而三棱锥CA1DD1