中考数学专题训练（四）三角形、四边形中的相关证明及计算

1 20172017 中考数学专题训练中考数学专题训练( (四四) )三角形、四边形中的相关证明及计算三角形、四边形中的相关证明及计算 纵观近 5 年中考题，三角形常与旋转、折叠、平移等知识点结合起来考查；四边形中要特别关注平行四边形、 矩形、菱形和正方形的性质和判定，以及运用其性质解决有关计算的问题 类型类型 1 1 三角形的有关计算及证明 【例 1 1】如图，在ABC中，ACB90，ACBC，E为AC边的中点，过点A作ADAB交BE的延长线于点 D.CG平分ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且ACFCBG. 求证：(1)AFCG；(2)CF2DE. 【解析】(1)要证明AFCG，可以利用“ASA”证明ACFCBG来得到；(2)要证明CF2DE，由(1)得 CFBG，则只要证明BG2DE，又利用AEDCEG可得DG2DE，再证明DGBG即可 【学生解答】证明：(1)ACB90，CG平分ACB，ACBC.BCGCAB45.又 ACFCBG，ACBC，ACFCBG(ASA)，CFBG，AFCG；(2)延长CG交AB于点H.ACBC，CG平 分ACB，CHAB，H为AB中点又ADAB，CHAD，DEGC.又H为AB中点，G为BD中点，E 为AC中点，AEEC.又AEDCEG，AEDCEG(AAS)，DEEG，DG2DE，BGDG2DE.由(1) 得CFBG，CF2DE. 针对练习针对练习 1 1已知：如图，ABC是等腰直角三角形，ABC90，AB10，D为ABC外一点，连接AD，BD，过D 作DHAB，垂足为H，交AC于E.若ABD是等边三角形，求DE的长 解：ABD是等边三角形，AB10，ADB60，ADAB10.DHAB，AHAB5.DH 1 2 5.ABC是等腰直角三角形，CAB45.AEH45. AD2AH2102523 EHAH5.DEDHEH55. 3 2 2如图，在ABC中，ABAC，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在边BC上若 DEDF，AD2，BC6，求四边形AEDF的周长 解：ABAC，E，F分别是边AB，AC的中点，AEAFAB.又DEDF，ADAD，AED 1 2 2 AFD.EADFAD.ADBC，且D是BC的中点在RtABD中，E是斜边AB的中点，DEAE.同理， DFAF.四边形AEDF的周长是 2AB.在RtABD中，AD2，BDBC3，AB，四边形AEDF的周 1 24913 长为 2. 13 3 3如图，在ABC中，ABC45，CDAB，BEAC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别 交于点G，H，ABECBE. (1)线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由； (2)求证：BG2GE2EA2. 证明：(1)BHAC.BDCBECCDA90，ABC45，BCD45ABC，DBDC.又 BHDCHE，DBHDCA.DBHDCA，BHAC；(2)连接GC.则GC2GE2EC2.F为BC中点， DBDC，DF垂直平分BC，BGGC.BG2GE2EC2.ABECBE，CEBAEB，BEBE，BCE BAE.ECEA，BG2GE2EA2. 4 4如图，在ABC中，BAC90，ABAC，ADBC，垂足是D，AE平分BAD，交BC于点E.在ABC外 有一点F，使FAAE，FCBC. (1)求证：BECF； (2)在AB上取一点M，使BM2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME. 求证：MEBC；DEDN. 证明：(1)BAC90，ABAC，BACB45.FCBC，BCF90.ACF9045 45，BACF.BAC90，FAAE，BAECAE90，CAFCAE90， BAECAF.在ABE和ACF中，ABEACF(ASA)BECF；(2)过点E作 BAECAF， ABAC， BACF， ) EHAB于H，则BEH是等腰直角三角形HEBH，BEH45.AE平分 BAD，ADBC，DEHE，DEBHHE.BM2DE，HEHM，HEM是等腰直角三角形，MEH45， BEM454590，MEBC.由题意，得CAE45 4567.5，CEA18045 1 2 67.567.5，CAECEA67.5，ACCE.在RtACM和RtECM中，Rt CMCM， ACCE，) ACMRtECM(HL)，ACMECM 4522.5.又DAE 4522.5， 1 2 1 2 3 DAEECM.BAC90，ABAC，ADBC，ADCDBC.在ADE和CDN中， 1 2 DAEECM， ADCD， ADECDN，) ADECDN(ASA)，DEDN. 类型类型 2 2 四边形的有关计算及证明 【例 2 2】(20142014 邵阳中考)准备一张矩形纸片，按如图所示操作：将ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD 上的M点；将CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点 (1)求证：四边形BFDE是平行四边形； (2)若四边形BFDE是菱形，AB2，求菱形BFDE的面积 【解析】(1)由矩形及翻折的性质可证得EDMFBN，从而证出四边形BFDE是平行四边形；(2)由菱形及矩 形的性质得出ABEDBEDBC30，利用锐角三角函数可求出AE、BE，进而求出AD、DE，即可求出菱形 BFDE的面积 【学生解答】解：(1)四边形ABCD是矩形，AC90，ABCD.由翻折得： BMAB，DNDC，AEMB，CDNF，BMDN，EMBDNF90，BNDM，EMDFNB90. ADBC，EDMFBN，EDMFBN(ASA)，EDBF，四边形BFDE是平行四边形；(2)四边形 BFDE是菱形，EBDFBD.ABEEBD，ABC90，ABE 9030.在RtABE中， 1 3 AB2，AE，BE，ED，S菱形BFDEEDAB2. 2 3 3 4 3 3 4 3 3 4 3 3 8 3 3 针对练习针对练习 5 5如图，已知ABC.按如下步骤作图：以A为圆心，AB长为半径画弧；以C为圆心，CB长为半径画弧， 两弧相交于点D；连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD. (1)求证：ABCADC； (2)若BAC30，BCA45，AC4，求BE的长 解：(1)在ABC与ADC中，ABCADC(SSS)；(2)设BEx，BAC30， ABAD， BCCD， ACAC，) ABE60，AEtan60xx，BCA45，CEBEx，xx4，x22，BE2 333 2. 3 4 6 6(20162016 温州中考)如图，E是ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F. (1)求证：ADEFCE. (2)若BAF90，BC5，EF3，求CD的长 解：(1)四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，DAEF，DECF，E是ABCD的边 CD的中点，DECE，在ADE和FCE中，ADEFCE(AAS)；(2)ADE DAEF， DECF， DECE， ) FCE，AEEF3，ABCD，AEDBAF90，在ABCD中， ADBC5，DE4，CD2DE8. AD2AE25232 7 7(20162016 青岛中考)已知：如图，在ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AECF，直线EF分别交BA 的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O. (1)求证：ABECDF； (2)连接DG，若DGBG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由 解：(1)四边形ABCD是平行四边形，ABCD，BAEDCF，在ABE和CDF中， ，ABECDF(SAS)；(2)四边形BEDF是菱形；理由如下：如图所示：四边形ABCD是平 ABCD， BAEDCF， AECF， ) 行四边形，ADBC，ADBC，AECF，DEBF，四边形BEDF是平行四边形， OBOD，DGBG，EFBD，四边形BEDF是菱形 8 8(20162016 滨州中考)如图，BD是ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接 ED，DG. (1)请判断四边形EBGD的形状，并说明理由； (2)若ABC30，C45，ED2，点H是BD上的一个动点，求HGHC的最小值 10 解：(1)四边形EBGD是菱形理由：EG垂直平分 BD，EBED，GBGD，EBDEDB，EBDDBC，EDFGBF，在EFD和GFB中， 5 EFDGFB，EDBG，BEEDDGGB，四边形EBGD是菱形；(2)作EMBC于点 EDFGBF， EFDGFB， DFBF， ) M，DNBC于点N，连接EC交BD于点H，此时HGHC最小，在RtEBM中，