高中生学习排列组合的认知困难_学位论文1.doc

在职攻读硕士专业学位论文 高中生学习排列组合的认知困难院 系： 理工学院数学系 类 别： 教育硕士 领 域： 学科教学（数学） dissertation of 2013 special master code of university：10269 student number：61090601021east china normal universitythe recognition problems of senior high school students on permutation and combinationdepartment：department of mathematicsspecialty：master of education（mathematics） research direction：mathematics educationfaculty adviser：li junapplicant： hou yanfinished in october, 2013华东师范大学学位论文原创性声明郑重声明：本人呈交的学位论文高中生学习排列组合的认知困难，是在华东师范大学攻读硕士/博士（请勾选）学位期间，在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 日期： 年 月 日华东师范大学学位论文著作权使用声明高中生学习排列组合的认知困难系本人在华东师范大学攻读学位期间在导师指导下完成的硕士/博士（请勾选）学位论文，本论文的研究成果归华东师范大学所有。本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网”送交学位论文的印刷版和电子版；允许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。本学位论文属于（请勾选）（ ）1.经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学位论文*，于 年 月 日解密，解密后适用上述授权。（ ）2.不保密，适用上述授权。 导师签名 本人签名 年 月 日* “涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学位论文（需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方为有效），未经上述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用上述授权）。摘要 排列组合是高中数学中相对独立的内容，对学生分析问题、解决问题能力有较高要求，师生普遍反映难学难教。产生困难的原因很多，比如题目变化多，结构复杂，思考过程容易出错，很难找到一个简明而又全面的问题归类方式；解答思路灵活，简繁不一，答案检验也不容易；师生仅凭书面交流难以真正了解彼此的想法，更不用说纠正和改正错误了。笔者每每教此内容，都特别上心，生怕产生的学习困难会减弱学生的兴趣，有损学生的自信。 本研究在文献研究的基础上，通过对333名高二学生的测试与33名学生的访谈，意在揭示高中生学习排列组合时的常见认知错误，分析其产生原因，并基于实证研究，为改进排列组合教学提供具体建议。 本文中，笔者对排列组合问题提出了一个新的分类，先将排列组合问题分为选取模型和分配模型两大类，再依次分为4和11个小类，希望通过新的分类，更清晰地梳理问题类型，帮助学生更容易地找到解决问题的方法。 通过对测试结果的分析，笔者将学生常见的错误归为三种类型：题意理解错误、模式选择错误、操作技术错误。在这四大类错误中包含的具体错误情况共有11种。对于每种错误，笔者都根据学生的访谈内容、文献研究等对学生的出错原因进行了分析。通过访谈，笔者还发现，在解决陌生问题、解决限制条件多的问题时学生普遍存在困难，而且很多学生不知道如何自我检查答案。 针对学生普遍存在的困难和常见错误，笔者给教师提出如下教学建议：(1)帮助学生认识学习目的；(2)多采用直观图示的方法；(3)重视读题过程，推敲问题特征，列式之后再次读题，检查是否有遗漏和重复；(4)利用学生错误，开展有意义的学习；(5)适当变式，如改换背景和增加限制条件，提高学生的理解水平；(6)引导学生用“缩小数据”和“一题多解”的方法检验解法的正确性。 关键词：排列组合，常见错误，高中生，数学学习viiabstractpermutation and combination is a relatively independent part in the mathematics teaching in senior high school. owing to its high requirements of students ability to analyze and solve the problems, teachers and students have difficulty in teaching and learning it. there are a lot of causes that lead to these difficulties, such as the wide variety of the exercises, the complex structure of the questions. moreover, it is easy to make mistakes in the process of thinking and it is always hard to find a concise and comprehensive way to classify the questions. with the various ways of thinking and flexible solutions, checking the answer is not an easy job. it is difficult for teachers and students to really understand each others ideas only by written communication, not to mention the correction of the mistakes. i pay special attention to this part every time i teach it in case students lose their interests because of the difficulties the face, which may have a negative influence on students self- confidence.on the basis of document research, through the test of 333 students and the interview of 33 students in senior 2, this research aims at revealing the common cognitive mistakes high school students make when learning permutation and combination, analyzing the causes of the mistakes and providing specific suggestions for the improvement of the teaching of permutation and combination based on the study of examples.in the paper, i reclassified the problems of permutation and combination. firstly, i put the problems into 2 categories, namely the selection of the model and the allocation of the model. then, these 2 categories are divided into 4 and 11 basic types respectively. students are expected to comb type of problem more clearly and find the solution to the problems more easily through the new classification. through the analysis of the result of the test, the common mistakes students make are divided into 3 types: the misunderstanding of the questions, the wrong choice made when choosing the model and technical error operation. the 3 types of mistakes include 11 specific mistakes. in term of every mistake, the causes are analyzed according to records of the students interviews and literature research. through the interviews, i find that students have widespread difficulty in solving the strange problems and the problems which have many constraint conditions and many students dont know how to check the answer youself.as for the common mistakes and widespread difficulties students have , the teaching suggestions are put forward as follows: （1） help students have a clear picture of the purpose of learning; (2) adopt the graphical teaching method;（3）pay attention to the process of reading the instructions, think over the characteristics of the problems, write down the formula and then read the instructions again, check whether there are omissions or repetitions; (4) carry out meaningful learning according to students mistakes; (5) make the appropriate changes such as changing and increasing the constraint conditions so as to improve students understanding; (6) guide the student to available “to reduce the data” and “more than a problem solution” the correctness of the method of inspection exposed.key words: permutation and combination, common mistakes, senior high school students, mathematics learning目录摘要iabstractii第一章引言11.1 研究背景11.2 研究问题31.3 研究意义4第二章文献综述52.1关于排列组合问题模型52.2课程中的排列组合知识及其要求72.3 关于排列组合常见错误类型及其成因112.4 关于排列组合教学13第三章研究的设计和实施153.1 研究对象153.2 测试题的设计153.3 研究的实施与数据编码20第四章数据整理与研究结果分析224.1 测试结果汇总分析224.2 “选取模型”测试题分析234.3 “分配模型”测试题分析37第五章研究结论和建议655.1 主要结论655.2 教学建议685.3 研究的局限性和可继续研究的问题69附录一：学生测试卷70附录二：学生访谈提纲72参考文献73致谢76第一章 引言1.1 研究背景 我国普通高中数学课程标准中指出：“计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具”（第62页）。“计数原理”的教学要求是“通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题”（第63页）。它要求教师“引导学生根据计数原理分析、处理问题，而不应机械地套用公式。同时，在这部分教学中，应避免繁琐的、技巧性过高的计数问题。”（第64页）。上海市中小学数学课程标准指出“计数问题，与中学所讨论的其他数学问题有不同的特点，要重视对具体问题的分析，重视数学思维品质的培养”（第80页）。“排列组合”的教学要求是“通过实例分析，学习和掌握乘法原理和加法原理、排列和组合的概念及其计算，但所涉及的难题情境比较简单”，“排列、组合问题中的限制条件不超过两个；不讨论重复排列问题。解排列和组合的问题，限用常见方法（包括枚举法）。会利用计算器求排列数和组合数”（第80页）。以上是全国课程标准与上海课程标准对排列组合的课程教学要求，总的来说，既承认这部分内容对提高学生思维品质有帮助，又强调要严格控制课程难度。“排列组合”是高中教材中相对独立的一个章节，很多学生（包括教师）觉得它和其他章节联系不大，在高考中所占分值很少，对其不重视。其实，当今排列组合的应用已经超越了历史上的自然数计数范畴，与计算机算法结合，在计算机科学、编码和密码学等学科有着广泛的应用。无论是从历史文化角度看，还是从对培养人们逻辑思维的影响看，它都有着重要的教育价值。上海高三年级的数学教材中有介绍排列组合的历史，中国周代初期（公元前1035公元前879）的周易中有“四象”和“八卦”，宋代科学家沈括在梦溪笔谈中讨论了围棋可能摆出的棋局数是“以一为基，三百六十一次三乘之”，意思是“用3连乘361次”，即（围棋每格可有白子、黑子或空格三种可能，棋盘共有361个位置），而他也提到计算数值太大，无法表达。在西方，罗马时代有人曾讨论过从个东西中任意取两个的组合数；12世纪印度数学家婆什迦罗已经知道从个东西中任意取个东西的组合数；法国数学家帕斯卡作为排列组合公式的发明者之一，在1321年用数学归纳法证明了 ，并指出这些组合数可以是二项式展开式的各对应项的系数（参见上海教育出版社2008年版的数学高中三年级第一学期（试用本）第82页）。当今社会，排列组合也有其重要的应用。在生产调度中，排列组合可用于计算各种可能的调度方案的数目；在科学实验中，可用于计算各种配置方式的数目；在交通问题中，可用于计算可能路径的数目。而组合数学更是涉及计算机科学、生物学、化学、心理学以及基因工程等前沿学科中的最新应用，例如在基因工程中，每组基因密码都是从四个碱基：腺嘌呤(a)，乌漂呤(g),胞嘧啶(c)和胸腺嘧啶(t)中可重复选取三个进行排列而成，而人类疾病的发生往往就是某些碱基的组合而形成的，所以碱基的组合研究在基因工程研究中是不能缺少的。当今高中数学课程中的排列组合看似独立，其实，它涉及集合、函数、方程、数列、几何等多个领域，例如在数列中，对原数列每一项进行不同组合都会产生一个新的数列，产生新的性质；在立体几何中，可以用排列组合方法来统计某些立体图形内的顶点数、边数、面数、异面直线对数、正交线面对数等等，比直接数数要便利，尤其是在很难画清图形的情况下；排列组合也为概率统计学习如二项分布、古典概率计算等提供了必要的基础。所以，排列组合的学习不应当是孤立的，在培养数学优秀生时应当重视其在思维训练中的重要价值。 排列组合问题内容抽象、类型繁多、解法灵活，所以历来是教师教学中比较困难的部分，也是广大学生极易犯错，却很难纠正的一个学习主题。总结一下，最常被提到的有以下几个难点：(1) 从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力；(2) 限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词（特别是逻辑关联词和量词）准确理解；(3) 计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；(4) 计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力，采用缩小数据和一题多解等方法加以检验。基于此，在学完基本的原理与公式后，更需要学生自我探究与感悟，达到真正的理解。同时，教师也要倾听学生的想法，以便及时了解和帮助学生学习。荷兰数学家弗赖登塔尔认为（张奠宙，李士锜，李俊，2003，第39页）：(1) 数学起源于现实,数学教育必须基于学生的“数学现实”，而且每个学生有各自不同的“数学现实”。数学教师的任务之一是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实。(2) 学生学习数学是一个“再创造”的过程。学生不是被动地接受知识，而是在创造，把前人已经创造过的数学知识重新创造一遍。弗赖登塔尔“数学现实”的基本出发点是“数学来源于现实，也必须扎根于现实，并应用于现实”。他所说的“数学现实”是客观现实与人的数学认识的统一体，而且每个人都应该有自己的“数学现实”。所以每个学生在做排列组合题时都会有自己的问题，而发展“数学现实”就是应该从了解学生的错误出发，找到其原因，让其在这条道路上顺畅地走下去。而教师的另一作用是启发学生自己想出更多的途径，达到主动探究，主动学习。这样，学生才能在比较中选择最为合理的方法，实现对数学的“再创造”过程。由此看来，排列组合无论是其历史渊源、当今社会地位及高中数学教育中的作用都是不容小觑的，但教师难教、学生易错也确实是我们面临的难题，对排列组合学习中学生的错误及成因研究是很有必要的。1.2 研究问题 鉴于排列组合在高中数学及现实世界中的重要性，以及师生在这一章节的教与学均存在一定困难，所以笔者决定以高二学生对排列组合的认知错误为研究主题。具体来说，主要采取问卷测试和访谈的方法，深入了解学生在解排列组合题时的常见错误及主要原因。笔者主要关注以下两个方面：1. 高中学生在学习排列组合时有哪些常见错误？2. 导致高中生发生错误的主要原因有哪些？1.3 研究意义 解排列组合综合题常常需要学生具备良好的语言理解能力、扎实的数学知识功底、过硬的计算能力等，因为计数结果庞大，学生往往无法检查答案的正确性，思考时也容易出现错误，降低了学生做题的兴趣。这不仅让很多学生惧怕排列组合题，也给教师的教学带来了很多阻碍。排列组合问题对学生分析问题、解决问题能力有较高要求，同一个答案可以有多种思考途径到达，除了结论的对错外，很难有其他严格证明的方式去验证。教师自己解答题目不一定有困难，但是要发现学生思考中的问题却是一个不小的挑战。因此，对排列组合的教和学生的学进行深入研究并提出改进建议是很有必要的。 虽然中外文献中涉及排列组合知识和教学的为数不少，很多期刊论文也分析了学生常见的错误，但是国内文章很少是基于实证研究的。本文希望能结合文献研究与对学生的测试调查来找出学生在求解排列组合问题中的常见错误表现，确认、修改和补充已有文献关于学生在排列组合学习中的主要困难，让我们更加了解学生的“数学现实”。这是笔者想要了解的第一方面。通过测试和访谈的方式了解学生的真实想法是什么？到底是什么原因让学生出现这些错误？学生希望教师做何教学改进？这是笔者想要了解的第二方面。最后，在上述研究的基础上，笔者将对本主题的教学提出具体的有针对性的建议，以促进教师改进教学。第二章 文献综述本章主要从四个方面着手，对相关文献进行综述。第一个方面是“关于排列组合问题模型”；第二个方面是“课程中的排列组合知识及其要求”；第三个方面是“常见的错误类型及其成因”；最后一个方面是“关于排列组合教学”。2.1 关于排列组合问题模型 由于排列组合问题常常是文字描述相近但却可能分属于完全不同的类型，因此教学中一般都采用分类讲模型的办法，所以，应该对文献中的问题归类作一个梳理。 指导求解排列组合问题的文章较多。国内常见的排列组合题型归类主要有以下几种：特殊元素与特殊位置问题、相邻问题、相离问题、定序问题、分组分配问题、配对问题、多排问题（对象站成多排进行排队）、环排问题、相同元素排列问题（参与排列的部分元素完全相同）等等，每种问题都有相应的解题策略。这种教法因为问题之间缺乏联系，类型多而且要仔细地根据问题的特征来判断，不容易准确记忆，学生普遍感觉难学。于是课程标准通过限制问题中最多只能出现两个约束条件和不讨论重复排列问题的办法降低课程难度，而上述归类中的多排问题、环排问题和相同元素排列问题都不在现行课标范围内。 相对国内的分类，笔者发现dubois(1984)的分法比较清晰。dubois首先将排列组合问题分为三大类：选取模型（selection model），分配模型（distribution model）和分割模型（partition model），再将选取模型分为4个小类，分配模型分为6个小类，下面作具体介绍。 选取模型借用了抽样概念，它是指“从一个有m个元素的集合中选取n个元素”的问题。在选取模型下，分别对应以下几种可能性：表2-1 选取模型的四种可能性样本有序样本无序放回不放回 其中表示从m个元素中有放回地取n个元素的排列，表示从m个元素中取n个元素的排列，表示从m个元素中有放回地取n个元素的组合，表示从m个元素中取n个元素的组合。 分配模型则是借用映射的概念，它是指“将集合中的n个元素分配进m个容器”。在分配模型下dubois(1984)提出6种基本模型：（1）不同元素在不同容器间的有序分配；（2）不同元素在相同容器间的有序分配；（3）不同元素在不同容器间的无序分配；（4）不同元素在相同容器间的无序分配；（5）相同元素在不同容器间的分配；(因为元素相同，顺序可忽略)（6）相同元素在相同容器间的分配。(顺序可忽略)分割模型是指将一个有n个元素的集合分割为m个子集。其与分配模型有相似之处，属于“不同元素在不同容器间的无序分配”,不同之处在于更强调每个容器内的元素个数，可以有容器内无元素，即空集，可以是各个容器内元素个数平均或不平均。笔者发现，上述模型的叙述还有一个不足，既然选取模型的m个元素来自同一个集合，所以是不同的m个元素，这样就可以像我们教材中那样明确指出是“m个不同元素”，但是，分配模型若要包括（5）、（6）两种情况的话，就不能说“将集合中的n个相同元素”进行分配，否则会与集合的“互异性”有冲突。因此，在模型的叙述上还需要作修改，应去掉集合的限制。 胡海霞(2006)在访谈4位在读教育硕士时发现，教师们并不知晓上述dubois的三种模型，他们有自己的归类，如：简单组合、简单排列、全排列、均匀分组、有序均匀分组、有重复元素的排列等等。这样的分类也是“经验性的，缺乏理论指导，比较凌乱”（胡海霞，2006）。我国20世纪80年代对排列组合的教学要求比较高，教学中常会出现有两个限制条件的问题，这两个限制条件还存在三种类型（胡兰田，1985）：按照两个限制条件，所有元素被分成两个子集，若这两个子集是“相离”关系时，两个子集元素可独立选取，互不干扰；是“包含”关系时，可从里到外先后从各自的集合中选元素；是“相交”关系时，可任意从某一子集开始选，但需分为两类来选元素，一类为不属于的元素，另一类为中的元素。例如：问3000-8000之间有多少个没有重复数字的奇数。这里千位可用数字3,4,5,6,7，个位可选数1,3,5,7,9，它们有交集，所以两个限制条件是“相交”关系，要对个位数字分“选用3,5,7”和“选用1,9”这两种情况。不过，我国现行教材中已经不讲这种高难度的问题了。这是基于两个限制条件对排列组合问题作的进一步分类，对解决两个限制条件的问题很有指导意义。2.2 课程中的排列组合知识及其要求2.2.1 课程标准及考纲要求上海市中小学数学课程标准（试行稿）和2012年上海高考数学考纲中对排列组合的要求总结如表2-2。表2-2 课程标准和考纲要求学习内容考纲要求课程标准要求乘法原理掌握乘法原理通过实例分析，学习和掌握乘法原理和加法原理、排列和组合的概念及其计算，但所涉及的难题情境比较简单。说明：排列、组合问题中的限制条件不超过两个；不讨论重复排列问题。解排列和组合的问题，限用常见方法（包括枚举法）。会利用计算器求排列数和组合数排列与排列数掌握排列的概念及其计算。会用常见方法（包括枚举法）解排列的问题。会利用计算器求排列数组合与组合数掌握组合的概念及其计算。会用常见方法（包括枚举法）解组合的问题。会利用计算器求组合数加法原理掌握加法原理 在上述课程标准和考纲中，都对两个原理和排列组合的概念提出了掌握的要求，都提出要求学生运用常见方法解题，如枚举法。可见对于学生的要求是要掌握排列组合的基本原理和方法，不需要在问题情境和限制条件方面给学生增加太大难度。在上海高考中，排列组合往往与概率问题结合，一般只出现在一道小题中，2004年至2013年上海高考数学中的排列组合题(包括概率题)见表2-3。表2-3 2004-2013年上海高考数学考查的排列组合题(包括概率题)年份题目答案2004(文、理)若在二项式的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是_。2005(文、理)某班有50名学生，其中15人选修a课程，另外35人选修b课程。从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是_。2006(文)有一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是_。(理)两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本。将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是_。(文)(理)2007(文、理)有数字1,2,3,4,5，若从中任取三个数字，剩下两个数字为奇数的概率为_。2008(文) 在平面直角坐标系中，从五个点：a(0,0)、b(2,0)、c(1,1)、d(0,2)、e(2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是_。(理)在平面直角坐标系中，从六个点：a(0,0)、b(2,0)、c(1,1)、d(0,2)、e(2,2)、f(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是_。(文) (理)2009(文)若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1人的概率是_。(理)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望=_。(文)(理) 2010(文)从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率为_。(理) 从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张，事件a为“抽得红桃k”，事件b为“抽得为黑桃”，则概率。(文)(理) 2011(文、理)随机抽取的9个同学中，至少2个同学在同一月出生的概率是_。(默认每月天数相同)2012(文) 三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是_(理)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是_(文) (理)2013(文)盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是_。(理)盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是_。(文) (理) 2009年与2010年排列组合都与统计题相结合，其余年份均与概率一起以填空题的形式考查。笔者发现这些题目中除06年的理科题是元素的分配，其余都是对元素的选取。除11年和12年之外，元素都是不可重复使用，且元素都是进行有序操作，除06年理科题和09年文科题外，题目限制条件都只有一个。即高考中的题目涵盖了选取模型和分配模型，既考虑了元素的可重复性和分配的有序性，又考虑了题目的限制条件，只是高考题型有降低考察难度，只考查无重复有序选取模型且只有一个限制条件的趋势。2.2.2 教材要求 在上海的高中数学必修教材中，排列组合的知识结构框架如下：图2-1 上海教材排列组合知识结构框架 该教材主要介绍了排列和组合的基本概念和计算公式以及两个计数原理。在排列中侧重以例题涵盖不相邻问题、相邻问题和特殊元素优先考虑等问题，之后的内容侧重在有一个限制条件的排列组合混合题上。 同属亚洲国家的新加坡，由panpac education出版社于2007年出版的高中选修教材其排列组合部分的教材内容比上海现行教材内容多，两套教材该内容的具体目录见表2-4。表2-4 上海与新加坡排列组合部分的教材目录比较上海教育出版社（2008）新加坡panpac教育出版社（2007）16.1 计数原理i乘法原理1.1 加法和乘法计数原理16.2 排列1.2 一排内的排列16.3 计数原理ii加法原理(a) 排列不同的对象16.4 组合(b) 排列相同的对象(c) 排列与限制1.3 组合1.4 环形排列注：上海为必修教材，新加坡为选修教材 由表中目录可见，新加坡教材比上教版教材增加了环形排列，这在上海的课标中不作要求。在顺序上，新加坡教材将两个计数原理放在一起在开始时便作了介绍，而上教版教材将计数原理与排列组合穿插进行教学。除了排列和组合知识以及加法原理和乘法原理，新加坡教材对元素的异同作了更为细致的分类，分为排列不同的对象和排列相同的对象，教材中对不相邻问题、相邻问题以及分组问题也在例题旁特别标明，知识结构更加清晰。 枚举法是介于直接数数和使用排列组合计数的一种方法，在上教版和新加坡两种教材中，计数原理和排列组合数简单应用的问题都用树状图枚举出所有结果，这部分上教版教材在排列中有3道题，组合中有1道题完全使用树状图，这些题都处在起始位置。新加坡只有在乘法原理的引入处用了树状图解答了1道题，但是在原理引入时使用了一次列表法。在之后的较难的排列组合问题中，上教版教材的13道例题中有2题使用了图示，其余用的都是排列数、组合数公式，没有再使用具体的树状图或者列表法。新加坡教材8道例题中有4道用了具体的图示和表格，这样做有利于初学者，强调了从具体到抽象的过程。相比之下，上教版教材入门阶段的直观化方法次数用得比新加坡多，但总体上说方法比较单一，而且在引出两个计数原理和排列数、组合数公式后，太快扔掉了具体的直观形象。2.3 关于排列组合常见错误类型及其成因人的计数能力是在不断发展的，儿童时期的计数是具体化的，从最初的数数到借助一定方法有步骤地计数，再到使用排列组合数计数。学生学习排列组合通常从直观的“枚举法”开始，“枚举”是分析解答数学题的一种方法，它是根据问题的要求，把不重复的、不遗漏的有限情况一一列举出来，达到解答问题的目的。它适用于枚举数量不大的计数问题，但枚举过程要求有缜密的思维，否则容易遗漏或重复。 高中生学习了排列组合，计数能力会有更大提高，但是也会有很多主观与客观的因素影响他们答题的准确率。 batanero等人（batanero, godino,& navarro-pelayo，1997）对9所不同中学24个班级共720名14-15岁的学生做了组合推理方面的测试，这些学生中有352名学过组合学，348名没有学过，并对其中的17名学生作了诊断性访谈。研究发现，学生的错误类型有：“对问题陈述的误解(改变了问题陈述中的数学模型、简单问题复杂化、动词意思理解错误)”、“分不清排列还是组合”、“分不清元素是否可重复使用”、“混淆对象异同性”、“相同元素只当做一个元素”、“列举无系统性”、“凭直觉的错误解答”、“公式错误”、“树状图的错误解释（用树状图分析题目时与题目条件不一致）”、“组合数性质错误”等。但是他们并没有继续就这些错误的成因作具体分析，他们统计错误类型是为了确定影响排列组合问题难度的主要因素。 国内对于学生在排列组合学习中的错误及其成因的研究有很多，但基本是期刊上的短文章，一般会按问题类型，介绍正确的求解方法，或者罗列学生的典型错误，很少通过测试访谈等进行实证研究的。 笔者认为比较重要的论文有胡海霞的影响高中生组合推理的因素和徐娟的高中排列组合的教学研究与实践。 胡海霞（2006）基于batanero的研究，对国内高中生作了类似的测试。通过对867名学过和未学过排列组合知识的高中生的测试，她将学生排列组合常见错误类型归结为“与两个基本原理和概念有关的错误”、“文字或语义理解上的错误”、“重复和遗漏”、“关于公式和计算的错误”、“错误的直观解答（学生凭直觉直接作答）”等，但她也没有做详细的错因剖析。 徐娟（2006）在2006年对兰州市的326位高中生进行了测试，其中理科班159人，文科班167人。设计了十道问卷调查题和三道测试题，问卷与测试内容囊括了学生学习目的、概念掌握、原理应用等方面。其调查是在学生刚学完排列组合后两周，开始总复习时进行的，花时15分钟。调查得到的主要错误类型有：“对问题陈述的误解”、“顺序错误”、“重复错误”、“混淆对象类型(元素异同)”、“混淆单元类型(容器异同)”、“混淆题目类型”和“错误的直观解答”等。 比较她们两位对于错误类型的总结，她们都提到了“题意本身的理解错误”和“重复错误”，这两种也是相关的期刊论文常常提到的。笔者认为，“题意本身的理解错误”其实是对于很多错误的一种涵盖，还需要进一步细化。对于重复错误，刘明远（2009）的排列组合中重复性错误的六种表现、欧阳尚昭（2003）的排列组合中几种常见的“重复性”错误、应朝伟（1990）的排列组合计算中的重复错误浅析等都对其做了详细的剖析，这是学生在思考排列组合题时思维很容易出现的一个差错。 在徐娟的调查分析中，她对研究得出的错误类型做了一定的成因分析，笔者将其列表如下。表2-5 错误类型及其成因分析（徐娟，2006）错误类型错误原因理解错误、概念错误问题书面陈述的复杂性与顺序、重复有关的错误组合运算类型的多样性混淆单元类型、题目类型组合与重复排列之间的相似性和差异性无法抽象出模型知识迁移的困难性 徐娟对于错误原因的解释比较笼统，但是也点出了学生的错误有客观原因，如问题书面陈述的复杂性，也有主观原因，如知识迁移的困难性等。尤其是她提到的最后一点“学生不能很好地进行知识迁移、类比解题”（第18页），再次说明排列组合学习的困难性，学生不能靠记忆、套公式的方法解决新的问题，要靠自己的阅读理解和分析解答。 在对于学生产生问题的原因解释中，研究客观原因，即排列组合知识特点和问题本身特点的研究较多，而对于学生认知方面的原因，即思考过程研究较少，这与学生难以用书面形式表达清楚自己的思维也有关。2.4 关于排列组合教学 徐娟（2006）在其论文中除了对学生的排列组合错误类型做出分析外，还专门针对教师的教学做了研究。她对兰州市的60位高中教师做了调查问卷，问卷包含10道题，主要包括排列组合教学的现状、教学中存在的问题、教师教学的目的以及排列组合教学的思考等方面。她的调查结果是“基本上所有的教师都认为排列组合知识是高中阶段的难点，有近40%的教师认为教学的主要任务是迎接高考的选拔”。而在教师的教学实践中，有以下几个问题：（徐娟，2006，第19-20页）(1) 两个原理与概念的讲解不透彻。教师在讲解过程中往往认为两个原理的理解很容易，交代清楚后便进行习题训练，把重点放在解题方法上。学生在利用原理时出现了不会分类或有重复或遗漏的情况。在区分排列与组合问题时，学生也出现了问题。(2) 忽视了读懂题目，导致学生在求解问题时，不了解要解决的问题是什么或要达到什么目的，不知如何下手做题。(3) 忽视了教学过程中前后知识联系的重要性。有些排列组合问题，如果直接从排列组合的角度着手，很难找到解题方向，可考虑引进集合，找到解题的突破口。部分教师可能自身缺乏高水平运用知识的能力。(4) 教师对学生解决问题的实际操作过程了解和重视不够，导致教师不知道学生是怎么想的。(5) 题目的相似性与差异性困扰了学生，学生不能辨别清楚。教师在教学中渗透思想方法教学的不多，知识零散，难以进一步迁移。(6) 教师教学研究不够，很多教师认为排列组合教学需要改革，但做过教学研究的教师很少。 这些问题的存在的确会影响教学效果，同时也影响着学生的思考方式，导致学生解题错误。 其他文章基本上都是凭教学经验总结得到的成果，采用实证方法研究教学的极少。笔者归纳教师对于排列组合教学的主要策略有（范泳南，1996；何家立，2009）：1、讲清加法原理与乘法原理的联系与区别 加法原理与乘法原理是解排列组合应用题的基础，掌握它们有利于学生从原理的角度去思考问题。要解决这一问题，关键是引导学生理解加法原理中的“分类”与乘法原理中的“分步”，尤其让学生明白乘法原理中的每一步都是相互独立的。此外，应该把加法原理和乘法原理的教学贯穿于整个章节。2、指导学生正确判断排列与组合问题 能判断一个问题是排列问题还是组合问题是解决排列组合复杂问题的基础。要引导学生通过具体的实例，用比较直观的方法如框图与树状图对问题进行分析，相互对比，使学生切实把握排列与组合的概念以及他们的区别。3、指导学生正确选择分析对象 对于一个具体的复杂问题，要先考虑题中哪些具体对象应看成“元素”，哪些作为“容器”，选对正确的分析角度。4、重视解题模型的分析与训练 解决排列组合问题必须重视解法的分析和训练，提高学生的解题能力。主要通过一般与特殊相结合、分析与判断相结合、将复杂问题简单化等方面来训练学生的思维。5、重视教学中数学思想的渗透 主要是分类思想、特殊化思想、转化思想和对应思想的渗透，促使学生思想认识发生“飞跃”，达到不但“学会”，而且“会学”的效果。第三章 研究的设计和实施 笔者希望通过测试寻找学生的常见错误，通过对排列组合题型的归类，寻找错误之间的关系以及产生错误的原因，为教师的教学带来更多的理论指导。本章主要介绍本研究的研究对象、测试题的设计以及研究的实施与数据编码。3.1 研究对象本研究的测试对象是高二学生，测试是在他们高二下的期末考试刚结束时进行的。学生该学期刚学了排列组合，经过期末考前复习又对知识加深了理解。笔者选取了自己所在的一所普通私立高中（以下简称为普通中学）和另一所市重点公立高中（以下简称为重点中学）的学生作为测试对象。普通中学共4个班参与测试，人数为171人，重点中学有5个班参与测试，人数为174人。 为了更清楚地了解学生的解题过程，在分析完测试卷后，笔者就试卷中一些比较特殊的回答和笔者还不了解的想