解圆锥曲线离心率的求法大全.doc

求解圆锥曲线离心率的方法离心率是圆锥曲线的一个重要性质，在高考中频繁出现，下面例析几种常用求法。椭圆的离心率e（0，1），双曲线的离心率e1，抛物线的离心率e=1一、直接求出a、c，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式来解决。例. 已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（）a. b. c. d. 解：抛物线的准线是，即双曲线的右准线，则，解得，故选d变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为f1(1，0)，f2(3，0)，则其离心率为( )a. b. c. d.解：由f1、f2的坐标知 2c=31，c=1，又椭圆过原点，ac=1，a+c=3，a=2，c=1,所以离心率e=.故选c.变式练习：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为( )a. b. c. d2解析：由题设a=2，2c=6，则c=3，e=,因此选c变式练习： 点p（-3，1）在椭圆的左准线上，过点p且方向为a=（2，-5）的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）a. b. c. d. 解：由题意知，入射光线为，关于的反射光线（对称关系）为，则解得则。故选a。二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，沟通a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。例. 已知f1、f2是双曲线的两焦点，以线段f1f2为边作正三角形mf1f2，若边mf1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）a. b. c. d. 解：如图，设mf1的中点为p，则p的横坐标为。由焦半径公式，即，得，解得，故选d。变式练习：设双曲线1(0ab)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0,b)两点.已知原点到直线的距离为c，则双曲线的离心率为( )a.2 b. c. d. 解：由已知，直线l的方程为bx+ay -ab=0.由点到直线的距离公式，得 c，又c2=a2+b2, 4ab=c2,两边平方，得16a2(c2a2)=3c4.两边同除以a4，并整理，得 3e4-16e2+16=0.解得 e24或e2.又0a2，e24，e2.故选a.变式练习：双曲线虚轴的一个端点为m，两个焦点为f1，f2，f1mf2120，则双曲线的离心率为（ ） （a） （b） （c） （d）解：如图所示，不妨设m(0，b)，f1(-c,0), f2(c,0),则|mf1|=|mf2|=.又|f1f2|2c，在f1mf2中， 由余弦定理，得cosf1mf2,即cos120，b2c2a2，3a22c2，e2，e.故选b.三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例设椭圆的两个焦点分别为f1、f2，过f2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点p，若f1pf2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_。解：如右图所示，有四、根据圆锥曲线的统一定义求解例4.设椭圆+1 (ab0)的右焦点为f1，右准线为l1，若过f1且垂直于x轴的弦的长等于点f1到l1的距离，则椭圆的离心率是.解：如图1所示，ab是过f1且垂直于x轴的弦，adl1于d，|ad|为f1到准线l1的距离，根据椭圆的第二定义，e=， 即 e=.故填. 变式练习：五、构建关于e的不等式，求e的取值范围例5. 设，则二次曲线的离心率的取值范围为（ ）a. b. c. d. （）另：由x2coty2tan=1，(0，)，得a2tan，b2= cot,c2a2+b2tan+cot,e21+ cot2,(0，)，cot21,e22，e.故选d.例6 如图，已知梯形abcd中，ab2cd，点e分有向线段所成的比为，双曲线过c、d、e三点，且以a、b为焦点当时，求双曲线离心率e的取值范围解：以ab的垂直平分线为y轴，直线ab为x轴，建立如图3所示的直角坐标系xoy，则cdy轴.因为双曲线经过点c、d，且以a、b为焦点，由双曲线的对称性知c、d关于y轴对称依题意，记a(c，0)，c(，h),e(x0，y0)，其中c=ab为双曲线的半焦距，h是梯形的高由定比分点坐标公式得 x0，y0设双曲线的方程为1，则离心率e=. 由点c、e在双曲线上，所以，将点c的坐标代入双曲线方程得 1 ，将点e的坐标代入双曲线方程得()2()21 再将e=、得 1，1 ，()2()21 将式代入式，整理得 （44）12，1由题设得，1解得e所以双曲线的离心率的取值范围为，练习：1.（天津理4） 设双曲线的离心率为且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为a.b.c.d.2.（全国2 文11）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）abcd3.（2006全国ii）已知双曲线的一条渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为 （a） (b) (c) (d)4（2006山东卷）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 (a) (b) (c) (d)5（2006山东卷）在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的离心率为 (a) (b)2 (c) (d)26.（安徽理9）如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为 （a）（b）（c）（d）7.（湖南文9）设分别是椭圆的左、右焦点，p是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是a b. c. d. 8.（全国2理11）设f1，f2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点a，使f1af2=90，且|af1|=3|af2|，则双曲线离心率为(a) (b)(c) (d) 9.（2006福建卷）已知双曲线(a0,bb0），则有，据此求出e5.不妨设双曲线方程为（a0，b0），则依题意有，据此解得e，选c6.解析：如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，连接af1，af2f1=30，|af1|=c，|af2|=c， ，双曲线的离心率为，选d。7.由已知p（），所以化简得8.设f1，f2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点a，使f1af2=90，且|af1|=3|af2|，设|af2|=1，|af1|=3，双曲线中， 离心率，选b。9.双曲线的右焦点为f，若过点f且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，