七年级数学思维探究（26）图形面积的计算（含答案）

海伦，古希腊数学家、测量学家和工程师，在数学史上，他以出色解决几何测量问题而闻名 他提出了不少计算图形面积和体积的精确或近似公式，其中包括著名的已知三角形三边，求三角形面积的“海伦公式” 26 图形面积的计算 解读课标 面积是平面几何中一个重要概念，计算图形面积是平面几何中最常见的基本问题之一，与面积相关的知识有： 1 常见图形面积计算公式； 2 等底等高的两个三角形面积相等； 3 等高（或等底）两个三角形面积的比等于对应底（或高）的比 面积的计算主要是求一些非常规图形的面积 非常规图形面积的计算往往可转化为常规图形面积的计算，在转化的过程中常用到恰当连线、图形割补、等积变形、代数化等知识方法 熟悉以下基本图形 问题解决 例 1 如图，梯形 对角线分为 4 个小三角形， 和 的面积分别为 225，梯形的面积是 _ 2 隐含多对面积相等的三角形，要求梯形的面积需求出 的，过线段的比把三角形面积联系起来 例 2 如图，正方形 边长分别为 m 、 n ，那么 的面积的值（ ） A 只与 m 的大小有关 B 只与 n 的大小有关 C 与 m 、 n 的大小都有关 D 与 m 、 n 的大小都无关 试一试 略 例 3 如图， 三角形 的线段 交于点 O ，已知 D ， 2E 设三角形 三角形 三角形 四边形 面积分别为 1S 、 2S 、 3S 、 4S （ 1）求 13: （ 2）如果 2 2S ，求 4S 的值 试一试 恰当连线（如连 ，把线段比转化为对应的三角形面积比 对于（ 2），设 ，利用三角形面积之间的关系建立方程 例 4 如图， 的面积为 1， D 、 E 为 三等分点， F 、 G 为 三等分点 1314 1）四边形 面积； （ 2）四边形 面积 试一试 （ 1）连 设 ， ，可建立关于 x ， y 的方程组，解题的关键是把相关图形的面积用 x ， y 的代数式表示，并利用等分点导出隐含图形的面积；（ 2） 连 仿（ 1），先求出 面积，再得出 面积，进而可求四边形 面积 例 5 如图，已知正方形 面积为 1， M 为 中点 求图中阴影部分的面积 解法 1 如图， 14 ， 为公共部分，所以 ，因为 与 高相等（以 A 为顶点作高）， 与 的高相等（以 C 为顶点作高）， 所以 A M G M C D M C M D ，即 141142M C G M C ， 解得 16， 11263S 阴 影 解法 2 如图，连接 由正方形的对称性得 ， 又 1122A M G A B G A G S ， 所以 2 2 1 1= 2 2 21 2 3 4 3A G D A M S 阴 影 解法 3 如图，连接 设 于点 O ， ， 因为 14A M D A O D A B C S ， 所以 G O D A O D A G D A M D A G D A M S S S S x 又 G O x ， S S x ， 因为 A O B A G M G O B B M S S ， 即 14 ，所以 112x 所以 123A G D M C G A M D A M S S S 阴 影 皮克公式 例 6 用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为 1的小正方形格子，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形 设格点多边形的面积为 S ，它各边上格点的个数和为 x A A 1） 上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出 S 与 x 之间的关系式 答： S _ 多边形的序号 多边形的面积 S 2 3 4 各边上格点的个数和 x 4 5 6 8 （ 2）请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有 2 个格点 此时所画的各个多边形的面积 S 与它各边上格点的个数和 x 之间的关系式是： S _ （ 3）请你继续探索， 当格点多边形内部有且只有 n 个格点时，猜想 S 与 x 有怎样的关系？ 试一试 本例是按多边形内部的点来分情况探究的 对于（ 3），可以研究当多边形内部的点数为 3 、 4 、5 等的情况，从特殊到一般作出猜想 数学冲浪 知识技能广场 1 如图，一个大正方形被 2 条线段分割成 2 个小正方形和 2 个长方形，如果 21 75 ， 22 15 ，那么大正方形的面积 S _ 2 2 图中最大正方形的边长是 10那么，阴影部分的总面积是 _ 2 3 如图，将边长为 4等边 沿边 右平移 2 ， 于点 G ，则: 边 形 _ 4 把三张大小相同的正方形卡片 A ， B ， C 叠放在一个底面为 正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分 用阴影表示 若按图摆放时，阴影部分的面积为 1S ；若按图 摆放时，阴影部分的面积为 2S ，则 1S _ 2S （填“ ”、“ ”或“ ”） 35 如图，在直角扇形 ，分别以 直径作半圆，两条半圆弧相交于点 D ，整个图形被分成 1S 、 2S 、 3S 、 4S 四部分，则 2S 与 4S 的大小关系是（ ） A 24 B 24 C 24 D 无法确定的 6 已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为 1的正方形， A 、 B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点 C 也在小方格的顶点上，且以 A 、 B 、 C 为顶点的三角形的面积为 1个平方单位，则点 C 的个数为（ ） A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个 7 如图，在长方形 ， 11 223A E B G B F A D A B ， E 、 H 、 G 在同一条直线上，则阴影部分的面积等于（ ） A 8 B 12 C 16 D 20 8 如图，凸四边形 ，对角线 交于 O 点，若三角形 面积是 2 ，三角形 ，三角形 面积是 4 ，则四边形 面积是（ ） A 16 B 15 C 14 D 13 9 如图，正方形 正方形 位置如图所示，点 G 在线段 ，已知正方形 ，求 的面积 10 如图， 的边 30， 25，点 D 、 F 在 ，点 E 、 G 在 ，: : : : 1 : 2 : 3 : 4 : 5A D E D E F E F G F G C G B S S S ，求 长 2D 维方法天地 11 如图，若长方形 面积分别为 7 、 4 、 6 ，则阴影部分的面积是 _ 12 如图，三角形 面积为 1， : 2 :1C ， E 是 中点， 交于点 P ，那么四边形 面积为 _ 13 如图，长方形 ， 60， 45， Q 为 中点，在 取一点 P ，使 面积等于 2900则 _ 14 如图，若 P 为平行四边形 的一点，且 5 ， 2 ，则 _ 15 如图， 平行四边形， E 在 ， F 在 ， 1214B C E C D F A B C S 平 行 四 边 形 ，则 _ 16 如图，大圆中有 4 个面积相等的小圆， 已知小圆半径为 5大圆半径等于小圆直径，则空白部分的面积是 _ 2 取 3 ） D D 7 如图，三角形 面积为 1， E 是 中点， O 是 中点，连接 延长交 D ，连接 延长交 F 求四边形 面积 18 如图， 中， 12D C E A F E C F A ，求 积的 面 积的值 应用探究乐园 19 在如图至图中， 的面积为 a 探索 （ 1）如图，延长 的边 点 D ，使 C ，连接 若 的面积为 1S ，则 1S_（用含 a 的代数式表示）； （ 2） 如图 ，延长 的边 点 D ，延长 点 E ，使 C ， A ，连接 若 面积为 2S ，则 2S _（用含 a 的代数式表示），并写出理由； （ 3） 在图的基础上延长 点 F ，使 B ，连接 得到 （如图） 若阴影部分的面积为 3S ，则 3S _（用含 a 的代数式表示） 发现 像上面那样，将 各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到 （如图），此时，我们称向外扩展了一 次，可以发现，扩展一次后得到的 的面积是原来 面积的 _倍 应用 10m 的 空地上栽种了某种花卉 今年准备扩大种植规模，把 向外进行两次扩展，第一次由 扩展成 ，第二次 由 扩展成 （如图） 求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少 2m ？ 20 如图，红黄绿三块一样大的正方形纸片放在一个正方形盒内，它们之间互相重叠 已知露在外面的部分中，红色的面积是 20 ，黄色的面积是 14，绿色的面积是 10，求正方形盒子的面积 红 绿黄26 图形面积的计算 问题解决 例 1 144 23 5 c D B O ， A O D D O O B O O S ，得 24 9 c 例 2 B 连 E ， 212A G E G C n 例 3 （ 1） 23， 212，得 13: 1: 2 （ 2）由 2 2S ，得 1 1S ， 3 2S ，连接 设 ，则 1A O D A O x ， 因 2 故 1 2 2 ， 解得 3x ， 14x ，所以 4 3 4 7S 例 4 （ 1）133133 ， ，得 16，即 16四 边 形 （ 2）连 设 ， ， 则 2 ， 2 ， 则1332233 ，解得121421 ， 故 1 1 1 53 2 1 6 4 2B E C B N G N P E C S S 四 边 形 四 边 形 例 6 （ 1） 12（ 2） 1 12；（ 3） 1 12S x n 数学冲浪 1 108 2 25 3 2:1 边 形 4 5 B 6 D 7 B 8 B 9 16D E K 正 方 形 10 设 x ，则 2 x ， 3 x ， 由 : 1 2 3 : 4 3 : 2A F G F G ，得 2 x ， 3 2 2 5AC x x ，故 5x ，即 5， 同理 G ， 2G ， 20， 10 11 连 12 73013 40 设 x ，则 6 0 c x ，由 1 4 5 1 1 4 56 0 4 5 6 0 4 5 6 0 9 0 02 2 2 2 2x x ，得 40x 14 3 设 ， ，则 1252B H C B H C A B C DS n m S S 平 行 四 边 形 15 74连 则 1B C ， 12， 4平 行 四 边 形 ， 2B ， E 为 点， 4D ，34D ， 3344A E F A D ， 1 3 741 2 4 4C E F C D F A E F B C C S S S 平 行 四 边 形 16 150 如图，因为 1与 2 、 3 与 4 、 5 与 6 、 7 与 8 、 9 与 10、 11与 12部分的面积相等，所以空白部分的面积为半个大圆的面积，即 20 . 5 1 0 5 0 150 （平方厘米） 17 16设 ， ，则 14A O E C O E A O B C O S S ， 14 ， 34 ， 14 由 A O F A C F B C F S ，得 134414x，即 22131 6 4x x x ，解得 112x 同理有 14， 34， 14，由 B O D D A C D D S ，得 112y 故 1 1 11 2 1 2 6B D O FS x y 四 边 形 18 17连 设 ， ， ， 则1332233x y Sx y S ，解得121421 ，同理可得 121E A H F B S ，又 13A D C B E S ，得1 2 53 2 1 2 1G C E H H A F S S 四 边 形 四 边 形， 这样 2 1 0 1 13 2 1 2 1 7 S ，即 17 19 探索：（ 1） a ； （ 2） 2a ；理由：连接 C ， A ， D A C D A E A B S a ， 2 2；