2017年中考数学专题训练《二次函数的应用》含答案解析

二次函数的应用 一 1二次函数 y=24x+5 的对称轴方程是 x= ；当 x= 时， y 有最小值是 2有一个抛物线形拱桥，其最大高度为 16 米，跨度为 40 米，现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为 3某公司的生产利润原来是 a 元，经过连续两年的增长达到了 y 万元，如果每年增长的百分数都是 x，那么 y 与 x 的函数关系是（ ） A y=x2+a B y=a（ x 1） 2 C y=a（ 1 x） 2 D y=a（ 1+x） 2 4把一段长 铁丝围成长方形 宽为 积为 当 y 最大时，x 所取的值是（ ） A 、典例精析 8用铝合金型材做一个形状如图 1 所示的矩形窗框，设窗框的一边为 户的透光面积为 y 与 x 的函数图象如图 2 所示 （ 1）观察图象，当 x 为何值时，窗户透光面积最大？ （ 2）当窗户透光面积最大时，窗框的另一边长是多少？ 9某市人民广场上要建造一个圆形的喷水池 ，并在水池中央垂直安装一个柱子 子顶端 P 处装上喷头，由 P 处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）若已知 米，喷出的水流的最高点 A 距水平面的高度是 4 米，离柱子 距离为 1 米 （ 1）求这条抛物线的解析式； （ 2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？ 三、中考演练 10二次函数 y=0x 5 的最小值为 11某飞机着陆滑行的路程 s（米）与时间 t（秒）的关系 式为： s=60t 么飞机着陆后滑行 米才能停止 12矩形周长为 16的一边长为 积为 y 与 x 之间函数关系为 13苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落的时间 t 满足 s= g 是不为 0 的常数），则 s 与 t 的函数图象大致是（ ） A B C D 14将一张边长为 30正方形纸片的四角分别剪去一个边长为 小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体当 x 取下面哪个数值时，长方体的体积最大（ ） A 7 B 6 C 5 D 4 15下列函数关系中，是二次函数的是（ ） A在弹性限度内，弹簧的长度 y 与所挂物体质量 x 之间的关系 B当距离一定时，火车行驶的时间 t 与速度 v 之间的关系 C等边三角形的周长 C 与边长 a 之间的关系 D圆心角为 120的扇形面积 S 与半径 R 之间的关系 16根据下列表格中二次函数 y=bx+c 的自变量 x 与函数值 y 的对应值，判断方程bx+c=0（ a 0， a， b， c 为常数）的一个解 x 的范围是（ ） x y=bx+c 6 x x x x 7如图，用长为 18m 的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃 （ 1）设矩形的一边为 x（ m），面积为 y（ 求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （ 2）当 x 为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？ 18体育测试时，初三一名高个学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线 y=x2+x+2 的一部分，根据关系式回答： （ 1）该同学的出手时最大高度是多少？ （ 2）铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？ （ 3）该同学的成绩是多少？ 二次函数的应用 参考答案与试题解析 一 1二次函数 y=24x+5 的对称轴方程是 x= 1 ；当 x= 1 时， y 有最小值是 3 【考点】二次函数的性质；二次函数的最值 【分析】将原式化为顶点式即可解答 【解答】解：原式 =2（ 2x） +5， =2（ 2x+1 1） +5， =2（ x 1） 2+3 二次函数 y=24x+5 的对称轴为 x=1，当 x=1 时， y 有最小值为 3 故答案为 1， 1， 3 【点评】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数的最值，熟悉配方法和顶点式是解题的关键 2有一个抛物线形拱桥，其最大高度为 16 米，跨度为 40 米，现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为 y= x 【考点】根据实际问题列二次函数关系式 【专题】压轴题 【分析】由题意抛物线过点（ 0， 0）和（ 40， 0），抛物线的对称轴为 x=20，根据待定系数法求出函数的解析式 【解答】解：因为抛物线过点（ 0， 0）和（ 40， 0）， y=x 40） 又 函 数过点（ 20， 16）代入 得 20a（ 20 40） =16， 解得 a= 抛物线的解析式为 y= x； 故答案为 y= x 【点评】此题主要考查二次函数的基本性质及用待定系数法求出函数的解析式，比较简单，要学会设合适的函数解析式 3某公司的生产利润原来是 a 元，经过连续两年的增长达到了 y 万元，如果每年增长的百分数都是 x，那么 y 与 x 的函数 关系是（ ） A y=x2+a B y=a（ x 1） 2 C y=a（ 1 x） 2 D y=a（ 1+x） 2 【考点】根据实际问题列二次函数关系式 【分析】本题是增长率的问题，基数是 a 元，增长次数 2 次，结果为 y，根据增长率的公式表示函数关系式 【解答】解：依题意， 得 y=a（ 1+x） 2 故选 D 【点评】在表示增长率问题时，要明确基数，增长次数，最后的结果 4把一段长 铁丝围成长方形 宽为 积为 当 y 最大时，x 所取的值是（ ） A 考点】二次函数的应用 【分析】先根据周长表示出长方形的长，由长方形的面积公式可以求出表达式，根据函数的解析式的性质就可以求出结论 【解答】解：由题意，得 y=x（ x）， y= =（ x 2+ a= 1 0， 抛物线开口向下，当 x=， y 最大值 故选 B 【点评】本题考查了矩形的周长的运用，面积的运用，二次函数的解析式的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键 二、典例精析 8（ 2006长春）用铝合金型材做一个形状如图 1 所示的矩 形窗框，设窗框的一边为 户的透光面积为 y 与 x 的函数图象如图 2 所示 （ 1）观察图象，当 x 为何值时，窗户透光面积最大？ （ 2）当窗户透光面积最大时，窗框的另一边长是多少？ 【考点】二次函数的应用 【分析】（ 1）由图象知当 x=1 时， y 最大，即透光面积最大； （ 2）因为 x=1 时，面积最大，为 据图形是矩形，由面积公式易得另一边为 【解答】解：（ 1）由图象可知，当 x=1 时，窗户透光面积最大 （ 2）因为最大透光面积是 方米， 即矩形的最大面积是 方米，此时 x=1 米， 根据矩形面积计算公式，另一边为 所以窗框另一边长为 （ 5 分） 【点评】从图象中获取相关信息解决问题是学习函数的基本功，体现了数形结合的思想方法 9（ 2016 秋 天门期末）某市人民广场上要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子 子顶端 P 处装上喷头，由 P 处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）若已知 米，喷出的水流的最高点 米，离柱子 距离为 1 米 （ 1）求这条抛物线的解析式； （ 2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？ 【考点】二次函数的应用 【分析】（ 1）根据题意可设解析式为顶点式形式，由 A、 P 两点坐标求解析式； （ 2）求水池半径即时求当 y=0 时 x 的值 【解答】解： （ 1）设这条抛物线解析式为 y=a（ x+m） 2+k 由题意知：顶点 A 为（ 1， 4）， P 为（ 0， 3） 4=k， 3=a（ 0 1） 2+4， a= 1 所以这条抛物线的解析式为 y=（ x 1） 2+4 （ 2）令 y=0，则 0=（ x 1） 2+4， 解得 ， 1 所以若不计其它因素，水池的半径至少 3 米，才能使喷出的水流不至于落在池外 【点评】本题考查二次函数的实际应用，根据实际问题求二次函数，再运用二次函数求最大值此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题 三、中考演练 10二次函数 y=0x 5 的最小值为 30 【考点】二次函数的最值 【专题】计算题 【分析】直接利用最值公式，把 a、 b、 c 的值正代入计算即可 【解答】解： a=1， 函数有最小值 = = = 30， 故答案是 30 【点评】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是熟记求最值公式 11某飞机着陆滑行的路程 s（米）与时间 t（秒）的关系式为： s=60t 么飞机着陆后滑行 600 米才能停止 【考点】二次函数的应用 【分析】飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值 【解答】解： 0， 函数有最大值 当 t= =20 时， s 最大值 = =600， 即飞机着陆后滑行 600 米才能停止 故答案为： 600 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法是解题关键 12矩形周长为 16的一边长为 积为 y 与 x 之间函数关系为 y= x 【考点】根据实际问题列二次函数关系式 【分析】矩形周长为 16两邻边之和为 8边长为 一边长为（ 8 x）据矩形 的，面积公式列函数式 【解答】解：因为矩形一边长为 另一边长为（ 8 x） 依题意得： 矩形的面积 y=x（ 8 x）， 即 y= x 故应填： y= x 【点评】本题考查了用矩形边长表示矩形面积，列函数式的方法 13苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落的时间 t 满足 s= g 是不为 0 的常数），则 s 与 t 的函数图象大致是（ ） A B C D 【考点】二次函数的应用；二次函数的图象 【专题】压轴题 【分析】根据 s 与 t 的函数关系，可判断二次函数，图象是抛物线；再根据 s、 t 的实际意义，判断图象在第一象限 【解答】解： s= 二次函数的图象是一条抛物线 又 g 0， 应该开口向上， 自变量 t 为非负数， s 为非负数 图象是抛物线在第一象限的部分 故选 B 【点评】应熟练掌握二次函数的图象有关性质：二次函数的图象是一条抛物线；当 a 0时，开口向上；当 a 0 时，开口向下 14将一张边长为 30正方形纸片的四角分别剪去一个边长为 小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体当 x 取下面哪个数值时，长方体的体积最大（ ） A 7 B 6 C 5 D 4 【考点】展开图折叠成几何体 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题 【解答】解：长方体体积 =（ 30 2x） 2x， 将 x=7 代入得：体积为（ 30 14） 2 7=1792； 将 x=6 代入得：体积为（ 30 12） 2 6=1944； 将 x=5 代入得：体积为（ 30 10） 2 5=2000； 将 x=4 代入得：体积为（ 30 8） 2 4=1936， 则 x=5 时，体积最大 故选 C 【点评】本题虽然是选择题，但答案的获得需要学生经历一定的实验操作过程，当然学生也可以将操作活动转化为思维活动，在头脑中模拟（想象）折纸、翻转活动，较好地考查了学生空间观念 15下列函数关系中，是二次 函数的是（ ） A在弹性限度内，弹簧的长度 y 与所挂物体质量 x 之间的关系 B当距离一定时，火车行驶的时间 t 与速度 v 之间的关系 C等边三角形的周长 C 与边长 a 之间的关系 D圆心角为 120的扇形面积 S 与半径 R 之间的关系 【考点】二次函数的定义 【分析】根据各选项的意思，列出个选项的函数表达式，再根据二次函数定义的条件判定则可 【解答】解： A、 y=mx+b，当 m 0 时（ m 是常数），是一次函数，错误； B、 t= ，当 s 0 时，是反比例函数，错误； C、 C=3a，是正比例函数，错误； D、 S= 二次函数，正确 故选 D 【点评】本题考查二次函数的定义 16根据下列表格中二次函数 y=bx+c 的自变量 x 与函数值 y 的对应值，判断方程bx+c=0（ a 0， a， b， c 为常数）的一个解 x 的范围是（ ） x y=bx+c 6 x x x x 考点】抛物线与 x 轴的交点 【专题】压轴题 【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质 【解答】解：由表格中的数据看出 接近于 0，故 x 应取对应的范围 故选 C 【点评】该题考查了用表格的方式求函数的值的范围 17如图，用长为 18m 的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃 （ 1）设矩形的一边为 x（ m），面积为 y（ 求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （ 2）当 x 为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？ 【考点】二次函数的应用 【分析】（ 1）篱笆只有两边，且其和为 18，设一边为 x，则另一边为（ 18 x），根据公式表示面积；据实际意义， 0 x 18； （ 2）根据函数性质求最值，可用公式法或配方法 【解答】解：（ 1）由已知，矩形的另一边长为（ 18 x） m 则 y=x（ 18 x） = 8x 自变量 x 的取值范围是 0 x 18 （ 2） y= 8x=（ x 9） 2+81 当 x=9 时（ 0 x 18），苗圃的面积最大，最大面积是 81 又 解： a= 1 0， y 有最大值， 当 x= 时（ 0 x 18）， y 最大值 = =81（ 【点评】运用函数性质求最值解决实际问题时常需考虑自变量的取值范围；二次函数求最值常用配方法和公式法 18体育测试时，初三一名高个学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线 y=x2+x+2 的一部分，根据关系式回答： （ 1