福建省福州市2017届高三5月适应性测试理科数学试卷含答案

2017 年福州市高三毕业班适应性 数学 (理 科 )试 卷 本试题卷分共 4 页， 23 题（含选考题）。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 祝考试顺利 注意事项： 1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试 题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 。 (1) 已知集合 3 0 , 2 , 1 , 0 , 11xA x ，则 （ A） 1 （ B） 2 （ C） 3 （ D） 4 (2) 已知 i 是虚数单位，且 1 i 7 （ , ），则 的虚部等于 （ A） 17（ B） 314（ C） 15（ D） 35(3) 已知命题 4: 0 , 4p x ，则 p 为 （ A） 4: 0 4p x ，剟（ B） 4: 0 4p x ，剟（ C） 4: 0 4p x ，（ D） 4: 0 4p x ， (4) 某市组织了一次高三调研考试，考后统计的数学成绩 80,100N ，则下列说法中 不正确的是 （ A） 该市这次考试的数学平均成绩为 80 分 （ B） 分数 在 120 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数相同 （ C） 分数在 110 以上的人数与分数在 50 分以下的人数相同 （ D） 该市这次考试的数学成绩的标准差为 10 (5) 已知圆锥曲线 221mx y的一个焦点与抛物线 2 8的焦点重合，则此圆锥曲线的离心率为 （ A） 2 （ B） 233（ C） 32（ D） 不能确定 (6) 某几何体的正（主）视图与侧（左） 视图均为边长为 1 的正方形，则下列图形一定不是该几何体俯视图的是 (7) 执行右图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的 S 值是 （ A） 2017 （ B） 1008 （ C） 3024 （ D） 3025 (8) 若将函数 ( ) c o s s x x x的图象向右平移 m 个单位后恰好与函 数 ()y f x 的图象重合 ,则 m 的值可以为 （ A） 4（ B） 2（ C） 34（ D） (9) 我国古代数学名著数学九章中有“天池盆测雨”：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中积水深九寸，则平地降雨量约为 （注： 平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸， 1 寸约等于33 （ A） 33（ B） 66（ C） 99（ D） 132(10) 已知 ,的内角 ,对的边，点 M 为 的重心若33a M A b M B c M C 0，则 C （ A） 4（ B） 2（ C） 56（ D） 23(11) 过抛物线 :C 2 8的焦点作直线 l 与 C 交于 两点，它们到直线 3x 的距离之和等于 7，则满足条件的 l 11111111（ A） （ B） （ C） （ D） （ A） 恰有一条 （ B） 恰有两条 （ C） 有无数多条 （ D） 不存在 (12) 已知函数 2017( ) s i nf x x x x ，若 0,2 , 2c o s 3 s i n 3 2 0f m f m 恒成立，则实数 m 的取值范围是 （ A） 1,3 （ B） 1,3 （ C） 1,3 （ D） 1,3第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22 23、 题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 (13) 随着智能手机的普及，网络购物越来越受到人们的青睐，某研究性学习小组对使用智能手机的利与弊随机调查了 10 位同学，得到的满意度打分如茎叶图所示若这组数据的中位数、平均数分别为 , , (14) 若 2 0 1 7 2 2 0 1 70 1 2 2 0 1 7( 1 ) ( 1 ) ( 1 )x a a x a x a x ，则2017122 2 0 1 73 3 3 = (15) 如图，在直角坐标系 ，将直线2直线 1x 及 x 轴所围成的图形（阴影部分）绕 x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积 21130 0 2 1 2xV x x 圆 锥据此类比：将曲线3（ 0x ）与直线 8y 及 y 轴所围成的图形绕 y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积 V = (16) 若函数 22( ) ( 4 ) | 2 | 2f x x x a x a 有四个零点 ,则 实数 a 的取值范围是 三、解答题：解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 (17) （本小题满分 12 分） 已知数列 n 项和为 2115 , ( 1 )n S n S n n （）求证：数列为等差数列； （）若 121n nb ，判断 n 项和6的大小关系，并说明理由 (18) （本小题满分 12 分） 为了开一家汽车租赁公司，小王调查了市面上 两种车型的出租情况，他随机抽取了某租赁公司的这两种车型各 100 辆，分别统计了每辆车在某一周内的出租天数，得到下表的统计数据： 5439973187657 型车 出租天数 1 2 3 4 5 6 7 车辆 数 5 10 30 35 15 3 2 型车 出租天数 1 2 3 4 5 6 7 车辆数 14 20 20 16 15 10 5 以这 200 辆车的出租频率代替每辆车的出租概率，完成下列问题： （） 根据上述统计数据，估计该公司一辆 型车，一辆 型车一周内合计出租天数恰好为天的概率； （）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，在不考虑其他因素的情况下，运用所学的统计学知识，你会建议小王选择购买哪种车型的车，请说明选择的依据 (19) （本小题满分 12 分） 如图，梯形 ， /D ，矩形 在的平面与平面 直，且 12A D D C C B B F A B （）求证：平面 平面 （）若 P 为线段 一点，平面 平面 ，求 的最小值 (20) （本小题满分 12 分） 已知 , 角 坐 标 平 面 轴 正 方 向 上 的 单 位 向 量 ， 1, a i j 1 b i j（ , ），且 6 （）求点 ( , )M x y 的轨迹 C 的方程； （）过点 0,1 作直线 l 与曲线 C 交于 两点， A ，是否存在直线 l ，使得四边形 矩形？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 (21) （本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) l n 1 1f x x k x （）求 ()单调区间； （）若 ( ) 1 恒成立，求实数 k 的取值范围； （）求证：2 1)14n （ 2 ） 请考生在第 22 、 23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分 。 (22) （本小题满分 10 分）选修 41 ：几何证明选讲 ，曲线1 3 ,24 （ t 为参数）以坐标原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2 （）求曲线1 （）若1B, 两点，点 P 的极坐标为 2 2,4，求 11| | | |B的值 (23) （本小题满分 10 分）选修 44 ：坐标系与参数方程 已知函数 ( ) 2 1 1 , ( )f x x x g x x a x a （）解不等式 ( ) 9； （）12, 得12( ) ( )f x g x，求实数 a 的取值范围 2017 年福州市高三毕业班适应性 理 科数学 参考答案及评分细则 评分 说明： 1 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根 据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 。 2 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 。 3 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 。 4 只给整数分数 。 选择题和填空题不给中间分 。 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 60 分 （ 1） B （ 2） D （ 3） D （ 4） B （ 5） A （ 6） D （ 7） D （ 8） B （ 9） C （ 10） D （ 11） D （ 12） A 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 20 分 （ 13） （ 14）20174( ) 13 （ 15） 965（ 16） 256( 8 , 0 ) ( 0 , ) 27 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 (17) 本 小 题考查等差数列的通项公式、列求和 等基础知识 ， 考查运算求解能力 ， 考查 函数与方程思想、 分类与整合思想 等 满分 12 分 解：（） 211( 1 ) , ( ) , 5 n S n n n N a 1 11 ( 1 ) ( 1 ) , 1 , 511S n S n n 3 分 数列 ,公差为 1 的等差数列 , 4 分 （ ）25 ( 1 ) 4 , 4 ,n nS n n S n 5 分 当 2n 时 ,1 2 3 , 1n n S n n 时也符合 , 故 2 3 , ( )na n n N 6 分 1 1 1 1( ) .( 2 1 ) ( 2 3 ) 2 2 1 2 3nb n n n n 8 分 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( )2 3 5 5 7 2 1 2 3 2 3 2 3 6nT n n n . 12 分 (18) 本小题主要考查 频 数 分布 表、相互独立事件的概率、期望 等基础知识，考查 抽象概括能力、 数据处理能力、运算求解能力 、 应用意识 ， 考查 统计与概率 思想 、分类与整合思想等 满分 12 分 解： （）设事件 型车在一周内出租的天数恰好为 i 天 ; 事件 型车在一周内出租的天数恰好为 j 天 ; 其中 , 1 2 3 , 7,， ， ， 则估计该公司一辆 A 型车 ,一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率为 : 1 3 2 2 3 1 9() 125P A B A B A B ，估计该公司一辆 A 型车 ,一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率是 9125 6 分 （）设 X 为 A 型车出租的天数 ,则 X 的分布列为 X 1 2 3 4 5 6 7 P Y 为 B 型车出租的天数 ,则 Y 的分布列为 Y 1 2 3 4 5 6 7 P (X)=1 E(Y)=1 一辆 A 型车一周的平均出租天数为 一辆 B 型车一周的平均出租天数为 以选择购买 A 型车 . 12 分 (19) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系 、二面角 等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查 数形结合思想、 化归与转化思想等满分 12 分 解：（） 取 点 F ,连接 因为 1 A B B F所以四边形 平行四边形 , ,B 2 分 依题意 , 为正三角形 , D 3 分 因为平面 面 平面 面 B , ,A D D B A D平面 所以 平面 5 分 又 平面 平面 平面 6 分 （ ） 因为四边形 矩形 ,所以 如图建立空间直角坐标系 设 ,则 ( 1 0 0 ) , ( 0 3 0 ) , ( 0 , , 1 ) ( 0 3 ) ,A B P t t， ， ， ， 7 分 ( 1 , , 1 ) , ( 1 , 3 , 0 )A P t A B ,设 ( , , )m x y z 是平面 法向量 ,则 0,3 0 .x ty 取 ( 3 , 1, 3 ) 9 分 又平面 一个法向量为 (0,1,0) 10 分 m i o s , 0 , ) ,2 2 33 1 ( 3 )t . 12 分 (20) 本小题主要考查坐标法、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、 化归与转化 思想 等 满分 12 分 解：（） 依题意 ,点 ( , )M x y 到点12( 1 0), (1 0)， ，的距离之和为 612| | 2 3 分 所以点 M 的轨迹是以12焦点 ,长 轴长为 6 的椭圆 ,其方程为： 22198. 5 分 （ ） 设直线 l 的方程为 1y ， 代入 22198得 22( 9 8 ) 1 8 6 3 0k x k x , 6 分 设1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y. 则1 2 1 2221 8 6 3, 9 8kx x x 7 分 四边形 平行四边形 ,若四边形 矩形 ,则 B 8 分 即 21 2 1 2 1 2 1 2( 1 ) ( ) 1 0 ,O A O B x x y y k x x k x x 222226 3 1 8( 1 ) 1 0 , 7 2 5 5 9 8 11 分 所以满足条件的直线不存在 . 12 分 (21) 本小题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力 、抽象概括能力 等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合分 12 分 解：（） 函数 ()定义域为 ( 1, ). 1 分 1( ) x 2 分 0k 时 , ( ) 0, ()递增区间为 ( 1, ), 无递减区间 ; 3 分 0k 时 ,令 ( ) 0得 ()递增区间为 1( 1, 1 ),k 递减区间为 1( 1 , )k . 4 分 （ ） 由 ( )知， 0k 时 , () ( 1, ) 上递增 , (0) 0 ,不合题意 , 6 分 故只考虑 0k 的情况 ,由 ( )知m a x 1( ) ( 1 ) 1 l n ( ) 1f x f ，l n ( ) 0 1 1 .k k k ， ， 8 分 （）由 ( )得 当 2x 恒成立 . 则 22l n 1 ( , 2 )n n n N n 即 2 1 ) ( 1 ) ,